عام ورڇ جي متوقع قدر تي بحث جي سوال جي مثال
عام تقسيم، جنهن کي گاسي تقسيم جي نالي سان پڻ سڃاتو وڃي ٿو، شماريات ۽ امڪان ۾ سڀ کان وڌيڪ استعمال ٿيندڙ مسلسل امڪاني تقسيم مان هڪ آهي. هي تقسيم اڪثر ڪري مختلف شمارياتي نتيجن ۾ بنيادي مفروضن جي طور تي استعمال ڪيو ويندو آهي ڇاڪاڻ ته ان جي سازگار رياضياتي خاصيتن، جهڙوڪ توازن ۽ هڪ اوسط (µ) ۽ معياري انحراف (σ) سان پيراميٽرائيزيشن ۾ ان جي انفراديت. هي مضمون مثالن تي بحث ڪندو ۽ عام تقسيم جي متوقع قدر تي بحث ڪندو ته جيئن هن تصور جي گهري سمجھ مهيا ڪري سگهجي.
عام ورڇ کي سمجهڻ
عام ورڇ کي هڪ هموار گھنٽي وکر سان ڏيکاريو ويو آهي، جنهن ۾ گهڻا قدر وچين قدر، يا اوسط جي چوڌاري مرڪوز آهن. هن ورڇ اندر، اوسط (µ) ۽ معياري انحراف (σ) ٻه اهم پيرا ميٽر آهن جيڪي ڊيٽا ۾ پکيڙ جي جڳهه ۽ مقدار کي طئي ڪن ٿا.
عام ورڇ جو امڪاني کثافت فنڪشن (PDF) آهي:
\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x – \mu)^2}{2\sigma^2}}\]
انسان ۾:
- \( \mu \) سراسري يا سراسري آهي
- \( \سگما \) معياري انحراف آهي
- \( x \) هڪ بي ترتيب متغير آهي
عام ورڇ ۾ متوقع قدر
هڪ عام ورڇ سان هڪ بي ترتيب متغير جي متوقع قدر ورڇ جي اوسط جي برابر آهي. جيڪڏهن \( X \sim N(\mu, \sigma^2) \)، ته پوءِ متوقع قدر \( E(X) \) آهي:
\[ اي (ايڪس) = \ميون \]
اچو ته اسان جي سمجھ کي مضبوط ڪرڻ لاءِ عام تقسيم ۾ متوقع قدرن جي حوالي سان مسئلن جي ڪجهه مثالن سان جاري رکون.
نموني سوال ۽ بحث
مثال سوال 1:
فرض ڪريو \( X \) هڪ عام طور تي ورهايل بي ترتيب متغير آهي جنهن ۾ \( \mu = 50 \) ۽ \( \sigma = 10 \) شامل آهن. \( X \) جي متوقع قدر جو حساب ڪريو.
بحث:
جيئن اڳ ذڪر ڪيو ويو آهي، هڪ عام ورڇ ۾، متوقع قدر \( E(X) \) \( \mu \) جي برابر آهي. تنهن ڪري،
\[ اي (ايڪس) = \ميون = 50 \]
مثال سوال 2:
هڪ بي ترتيب متغير ڏنو ويو آهي \( Y \) عام طور تي \( \mu = 120 \) ۽ \( \sigma = 15 \) سان ورهايو ويندو آهي. \( Y \) جي متوقع قدر ڳولهيو.
بحث:
ساڳئي طرح پهرين مثال وانگر، \( Y \) جي متوقع قدر عام ورڇ جي وچين قدر يا اوسط آهي، يعني:
\[ اي (وائي) = \ميون = 120 \]
مثال سوال 3:
جيڪڏهن بي ترتيب متغير \( Z \) هڪ عام تقسيم جي پٺيان \( \mu = 0 \) ۽ \( \sigma = 1 \) (معياري عام تقسيم) سان گڏ اچي ٿو، ته \( Z \) جي متوقع قدر ڇا آهي؟
بحث:
معياري عام ورڇ جو مطلب \( \mu = 0 \) آهي، تنهن ڪري متوقع قدر \( E(Z) \) آهي:
\[ اي (ز) = \م = 0 \]
مثال سوال 4:
فرض ڪريو \( W \) هڪ عام طور تي ورهايل بي ترتيب متغير آهي جنهن جو مطلب \( \mu = 75 \) ۽ معياري انحراف \( \sigma = 20 \) آهي. جيڪڏهن اسان هڪ نئون بي ترتيب متغير \( V = 2W + 3 \) بيان ڪريون ٿا، ته \( V \) جي متوقع قدر ڇا آهي؟
بحث:
\( V \) جي متوقع قدر ڳولڻ لاءِ، اسان کي متوقع قدر جي لڪيريت جي ملڪيت کي استعمال ڪرڻ جي ضرورت آهي. ڏنو ويو \( V = 2W + 3 \)، پوءِ:
\[ اي (وي) = اي (2 ڊبليو + 3) \]
متوقع قدر جي لڪيريت جي ملڪيت جي بنياد تي، اسان مستقل کي بي ترتيب متغير کان الڳ ڪري سگھون ٿا:
\[ اي (وي) = 2 اي (ڊبليو) + اي (3) \]
اهو ڄاڻڻ ته هڪ مستقل جي متوقع قدر خود مستقل آهي:
\[ اي (3) = 3 \]
۽ \( W \) جي متوقع قدر عام ورڇ جو اوسط آهي \( W \):
\[ اي (ڊبليو) = \ميون = 75 \]
تنهن ڪري،
\[ اي (وي) = 2 \ ڀيرا 75 + 3 \]
\[ اي (وي) = 150 + 3 \]
\[ اي (وي) = 153 \]
مثال سوال 5:
بي ترتيب متغير \( Q \) هڪ عام ورڇ جي پٺيان لڳندو آهي جنهن ۾ اوسط \( \mu = 40 \) ۽ معياري انحراف \( \sigma = 5 \) هوندو آهي. جيڪڏهن \[ U = Q/2 \] هجي ته \( Q \) جي متوقع قدر ڇا هوندي؟
بحث:
اسين مثال 4 ۾ ڏنل اصول استعمال ڪريون ٿا، يعني متوقع قدر جي لڪيريت ملڪيت. ڏنو ويو ته \( U = Q/2 \)، پوءِ:
\[ اي (يو) = اي \ کاٻو (\ فريڪ {ق} {2} \ ساڄي) \]
متوقع قدر جي لڪيريت ملڪيت جي بنياد تي:
\[ اي (يو) = \فريڪ{1}{2} اي (ڪيو) \]
اسان ڄاڻون ٿا ته \( Q \) جي متوقع قدر عام ورڇ جو اوسط آهي \( Q \):
\[ اي (ق) = \م = 40 \]
تنهن ڪري،
\[ اي (يو) = \فريڪ{1}{2} \ ڀيرا 40 \]
\[ اي (يو) = 20 \]
نتيجو
هڪ عام ورڇ ۾، هڪ بي ترتيب متغير جي متوقع قدر هميشه ورڇ جي اوسط (µ) جي برابر هوندي آهي. مٿي ڏنل مثال جا مسئلا لڪير جي ملڪيت کي استعمال ڪندي متوقع قدر جي حساب لاءِ مختلف حالتن کي ظاهر ڪن ٿا. هن بنيادي تصور کي سمجهڻ سان انگ اکر ۽ امڪان ۾ عام ورڇ جي مسئلن کي سنڀالڻ آسان ٿي ويندو آهي.
عام ورڇ انگ اکر ۾ اهم آهي ڇاڪاڻ ته اهو عملي ايپليڪيشنن جي وسيع رينج ۾ استعمال ٿيندو آهي، جنهن ۾ مفروضو جاچ، پيرا ميٽر تخمينو، ۽ ٻيا مختلف شمارياتي نتيجا شامل آهن. هن ورڇ جي متوقع قدر جي سٺي سمجھ ڊيٽا جي تجزيي ۾ هڪ اهم پهريون قدم آهي.
اميد آهي ته هي مضمون عام ورڇ ۾ متوقع قدر جي واضح ۽ مفيد وضاحت سان گڏ لاڳاپيل مثال سوالن ۽ بحثن سان گڏ مهيا ڪندو.
