Критерий Манна-Уитни в статистике
Статистика — это раздел математики, занимающийся сбором, анализом, интерпретацией и представлением данных. Статистика используется в различных областях для принятия решений на основе данных. Одним из часто используемых методов в статистике является критерий Манна-Уитни (также известный как U-критерий Манна-Уитни или критерий ранговых сумм Вилкоксона). Это непараметрический метод , используемый для определения наличия существенной разницы между двумя непарными группами.
Введение в тест Манна-Уитни
Критерий Манна-Уитни был предложен Генри Манном и Дональдом Уитни в 1947 году как непараметрическая альтернатива t-критерию. Этот метод не требует предположения о нормальном распределении. Поэтому он особенно полезен, когда данные не подчиняются нормальному распределению или когда размер выборки слишком мал для проверки предположения о нормальности.
Основные принципы теста Манна-Уитни
Критерий Манна-Уитни используется для сравнения медиан двух групп. Основной принцип таков:
1. Ранжирование наблюдений: Все данные из обеих групп объединяются и ранжируются от наименьшего к наибольшему. Если значения совпадают, каждое наблюдение ранжируется по среднему значению соответствующего ранга.
2. Расчет статистического критерия: Значение статистического критерия (U) рассчитывается на основе суммы рангов для каждой группы. Существует два способа расчета: один начинается с первой группы, другой — со второй.
– Общая формула для U выглядит следующим образом:
\[
U_1 = n_1 \times n_2 + \frac{n_1 \times (n_1 + 1)}{2} – R_1
\]
или
\[
U_2 = n_1 \times n_2 + \frac{n_2 \times (n_2 + 1)}{2} – R_2
\]
ди мана:
– \(n_1\) и \(n_2\) – количество наблюдений в каждой группе,
– \(R_1\) и \(R_2\) – количество рангов в каждой группе.
3. Проверка значимости: Проверка значимости проводится для определения p-значения. В условиях большого размера выборки U-распределение может быть аппроксимировано нормальным распределением.
Предположения теста Манна-Уитни
Хотя критерий Манна-Уитни является непараметрическим критерием и не требует предположения о нормальном распределении, для достоверности результатов необходимо соблюдение ряда связанных с ним предположений:
1. Независимость: Каждое наблюдение в обеих группах должно быть независимым от других.
2. Порядковая или интервальная шкала: Данные должны быть представлены по порядковой или интервальной шкале. Это означает, что данные могут быть отсортированы и содержат информацию о ранжировании.
3. Диапазон распределения: Распределение обеих групп должно иметь одинаковую форму (хотя медиана может отличаться).
Этапы проведения теста Манна-Уитни
Ниже описаны шаги, обычно выполняемые для проведения теста Манна-Уитни:
1. Объединение и сортировка данных: Объедините данные из обеих групп и отсортируйте их в целом. Ранжирование производится в соответствии с порядком с поправками, учитывающими среднее значение.
2. Подсчитайте количество рангов: Рассчитайте количество рангов для каждой группы.
3. Определение U-значения статистических данных: Используйте формулу, объясненную ранее, для расчета U-значения для обеих групп.
4. Определение критического значения или p-значения: Сравните полученное U-значение с критическим значением из таблицы U-распределения (или рассчитайте p-значение), чтобы определить, является ли разница между группами статистически значимой.
Например, предположим, у нас есть два набора данных A и B. Эти данные могут представлять два разных метода лечения определенного заболевания, и мы хотим узнать, какой из методов лечения эффективнее другого.
Контох Практис
Допустим, у нас есть две терапевтические группы:
– Терапия А: [85, 90, 88, 75, 91]
– Терапия B: [80, 78, 95, 87, 92]
1. Объединение и сортировка данных:
– Составной: [85, 90, 88, 75, 91, 80, 78, 95, 87, 92]
– Порядок и рейтинг: [75(1), 78(2), 80(3), 85(4), 87(5), 88(6), 90(7), 91(8), 92(9), 95(10)]
2. Расчет количества рангов:
– Количество оценок «А» по терапии: 4 + 7 + 6 + 1 + 8 = 26
– Количество оценок «B» по терапии: 3 + 2 + 10 + 5 + 9 = 29
3. Расчет значения U:
\[
U_A = n_1 \times n_2 + \frac{n_1 \times (n_1 + 1)}{2} – R_A = 5 \times 5 + \frac{5 \times (5 + 1)}{2} – 26 = 25 + 15 – 26 = 14
\]
\[
U_B = n_1 \times n_2 + \frac{n_2 \times (n_2 + 1)}{2} – R_B = 5 \times 5 + \frac{5 \times (5 + 1)}{2} – 29 = 25 + 15 – 29 = 11
\]
Выберите меньшее значение U, а именно U = 11.
4. Определение значимости:
Сравните полученное значение U с критическим значением U. таблица распределения Критерий Манна-Уитни или вычисление p-значения. Если U меньше критического значения или p-значение меньше альфа (например, 0,05), мы отклоняем нулевую гипотезу. нулевая гипотеза и пришли к выводу, что между двумя группами существует значительная разница.
Преимущества и ограничения критерия Манна-Уитни
Преимущества:
1. Непараметрический метод: не требует предположения о нормальном распределении.
2. Гибкость: Может использоваться, когда данные представлены в порядковой шкале или содержат выбросы.
3. Простота и эффективность: Легко рассчитать и интерпретировать.
Кетербатасан:
1. Снижение эффективности: В нормальном распределении t-критерий более эффективен.
2. Предположение об одинаковой форме распределения: Данный тест предполагает одинаковую форму распределения между двумя группами.
3. Ограничение для малых размеров выборки: асимптотическое распределение может быть менее точным на очень малых выборках.
заключение
Критерий Манна-Уитни — это мощный и гибкий непараметрический инструмент для выявления различий между двумя непарными группами. Понимая его основные принципы и этапы применения, мы можем использовать этот критерий в самых разных областях исследований. Несмотря на некоторые ограничения, его преимущества в определенных условиях делают его очень ценным методом в статистике.
