Как рассчитать квартили, децили и процентили в статистических данных
В статистике часто возникает необходимость определить положение значения в наборе данных. Простого вычисления среднего или медианы недостаточно, поскольку эти показатели не описывают распределение данных и не позволяют сравнить наблюдаемое значение с другими. Именно здесь вступают в игру квартили, децили и процентили. Эти три показателя являются позиционными мерами, которые делят отсортированные данные на равные части. В этой статье рассматриваются определения, общие шаги и способы вычисления квартилей, децилей и процентилей как для отдельных, так и для сгруппированных наборов данных.
-
1. Основная концепция: данные необходимо отсортировать.
Перед вычислением квартилей, децилей или процентилей важнейшим шагом является сортировка данных от наименьшего к наибольшему. После сортировки данных можно определить положение квартилей, децилей или процентилей на основе их индексных позиций.
В общем:
– Квартили делят данные на 4 части.
– Децили делят данные на 10 частей.
– Процентили делят данные на 100 частей.
На практике квартили, децили и процентили обычно используются для анализа результатов тестов, данных о доходах, антропометрических измерений (рост/вес) и оценки успеваемости.
-
2. Как рассчитать квартили (Q1, Q2, Q3)
А. Квартили в отдельных данных (без группировки)
Квартили состоят из:
– Q1: нижний квартиль (25% данных находятся ниже него)
– Q2: медиана (50%)
– Q3: верхний квартиль (75%)
Этапы расчета квартилей отдельных данных:
1. Отсортируйте данные.
2. Рассчитайте позицию в квартиле, используя формулу позиции:
– Позиция Q1 = \((n+1)/4\)
– Позиция Q2 = \(2(n+1)/4\) или \((n+1)/2\)
– Позиция Q3 = \(3(n+1)/4\)
Если позиция задана целым числом, возьмите значение в этой позиции. Если позиция задана дробью, выполните интерполяцию (возьмите значение между двумя ближайшими точками данных).
Быстрый пример:
Отсортированные данные: 4, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 15 (n = 8)
Позиция Q1 = (8+1)/4 = 2,25 → находится между 2-м и 3-м данными.
Таким образом, Q1 находится между 6 и 7. Интерполяция:
Q1 = 6 + 0,25(7−6) = 6,25.
-
Б. Квартили в сгруппированных данных (частотное распределение)
Для сгруппированных данных (например, интервалов классов) квартили рассчитываются по следующей формуле:
\[
Q_k = L + \left( \frac{\left(\frac{k}{4}n – F\right)}{f} \right) \times c
\]
Примечания:
– \(Q_k\): k-й квартиль (k = 1,2,3)
– \(L\): нижняя граница квартильного класса
– \(n\): количество данных (общая частота)
– \(F\): кумулятивная частота до класса квартилей
– \(f\): частота в квартильном классе
– \(c\): длина класса
Общие шаги:
1. Создайте кумулятивную частоту.
2. Определите положение квартиля: \(k/4 \times n\).
3. Найдите класс, в котором находится эта позиция.
4. Введите в формулу.
-
3. Как рассчитать децили (от D1 до D9)
Децили делят данные на 10 частей, так что:
– \(D_1\) обозначает нижний 10% предел данных,
– \(D_5\) равно медиане,
– \(D_9\) обозначает 90%-ный предел данных.
А. Децили в рамках одного набора данных
Формула децильной позиции:
\[
Положение D_k = \frac{k(n+1)}{10}
\]
с \(k = 1,2,\dots,9\).
После определения позиции метод вычисления значения тот же, что и для квартиля: если значение целое, вычисляйте его напрямую, если дробное — интерполируйте.
-
Б. Децили в сгруппированных данных
Формула децилей для сгруппированных данных:
\[
D_k = L + \left( \frac{\left(\frac{k}{10}n – F\right)}{f} \right) \times c
\]
Описание такое же, как и для квартиля, только делитель равен 10.
Лангка:
1. Вычислите \(k/10 \times n\).
2. Определите децильный класс на основе кумулятивной частоты.
3. Подставьте в формулу.
Децили часто используются в экономическом анализе, например, для разделения доходов людей на 10 групп (1-й дециль — самые бедные, 10-й — самые богатые).
-
4. Как рассчитать процентили (от P1 до P99)
Процентили более детализированы, поскольку они делят данные на 100 частей. Значение P25 = Q1, P50 = медиана, и P75 = Q3. Это означает, что квартили фактически являются частным случаем процентилей.
А. Процентили по отдельным данным
Формула процентильного положения:
\[
Положение P_k = \frac{k(n+1)}{100}
\]
с \(k = 1,2,\dots,99\).
Процедура та же: отсортировать данные, вычислить позицию, затем взять значение или выполнить интерполяцию.
-
Б. Процентили в сгруппированных данных
Формула процентиля для сгруппированных данных:
\[
P_k = L + \left( \frac{\left(\frac{k}{100}n – F\right)}{f} \right) \times c
\]
Этапы идентичны порядку деления на децили/квартили:
1. Определите положение \(k/100 \times n\).
2. Найдите процентильный класс кумулятивной частоты.
3. Используйте формулу.
Процентили часто используются в академических и медицинских оценках. Например, рост ребенка, соответствующий 80-му процентилю, означает, что ребенок выше, чем 80% детей его возраста.
-
5. Важные советы и распространенные ошибки
1. Данные необходимо сортировать (особенно отдельные данные). Без сортировки квартили/децили/процентили бессмысленны.
2. При работе с непрерывными понятиями обязательно используйте ребра классов для сгруппированных данных (а не границы классов).
3. Накопленная частота должна быть указана корректно, поскольку класс квартиля/дециля/процентиля определяется на основе накопленной частоты.
4. Обратите внимание на длину класса (c). Длина класса не должна быть указана неверно, поскольку это влияет на результаты вычислений.
5. Интерполяция важна, когда координаты не округляются. Многие студенты сразу округляют координаты, хотя это может снизить точность.
-
6. Пенутуп
Квартили, децили и процентили — важные статистические инструменты для понимания распределения данных. Квартили подходят для простых сводок (например, в виде ящичной диаграммы), децили полезны для более детальных группировок, таких как анализ доходов, а процентили помогают оценить положение конкретного человека в популяции. Понимая основные шаги — упорядочивание данных, определение положения и использование соответствующих формул для отдельных или сгруппированных данных — вы можете рассчитывать квартили, децили и процентили с большей точностью и уверенностью.
Если хотите, я могу добавить полный пример таблицы сгруппированных данных (интервал, частота, кумулятивная частота), а затем подробно рассчитать Q1, D7 и P85, чтобы вам было проще попрактиковаться.
