Методы построения гистограмм на сгруппированных данных
Гистограмма — часто используемый инструмент представления данных в статистике, особенно при работе с сгруппированными данными. В отличие от обычной столбчатой диаграммы, которая отображает дискретные категории, гистограмма отображает частотное распределение числовых данных, сгруппированных в интервалы классов. С помощью гистограммы можно наблюдать закономерности распределения данных, тенденции (например, асимметрия вправо или влево) и даже оценить форму распределения (нормальное, асимметричное, бимодальное и т. д.). В этой статье рассматриваются методы систематического создания гистограмм для сгруппированных данных, от построения таблицы частотного распределения до построения правильной гистограммы.
1. Понимание сгруппированных данных и гистограмм
Группированные данные — это числовые данные, сгруппированные в несколько интервалов. Например, результаты тестов учащихся больше не отображаются по отдельности, а группируются в диапазоны 40–49, 50–59, 60–69 и так далее. Каждому интервалу соответствует частота, то есть количество точек данных, попадающих в этот интервал.
Гистограмма — это график, состоящий из близко расположенных столбцов без промежутков (или с очень маленькими промежутками), поскольку она представляет непрерывный диапазон значений. Ширина столбца представляет длину интервала класса, а высота столбца — частоту или плотность частоты (в зависимости от того, одинаковы или различны ширины классов).
2. Составление таблицы частотного распределения
Первым шагом при создании гистограммы является построение таблицы частотного распределения. Этот процесс обычно включает в себя:
1. Определите минимальное и максимальное значения данных.
2. Рассчитайте размах = максимум − минимум.
3. Определите количество классов (k).
4. Определите длину класса (p) = диапазон / k (округлите при необходимости).
5. Расположите интервалы классов и вычислите частоту в каждом интервале.
Существует несколько руководств по определению количества классов. Одно из популярных — формула Стерджеса:
k = 1 + 3,3 log10(n)
где n — количество точек данных. Результат k округляется до ближайшего целого числа.
Простой пример: если n = 40, то k ≈ 1 + 3,3 log10(40) ≈ 1 + 3,3(1,602) ≈ 6,29, поэтому можно выбрать 6 или 7 классов.
3. Определение границ классов и ребер классов
Распространенная ошибка при построении гистограмм — путать границы классов с ребрами классов.
– Границы классов – это числа, записанные в виде интервалов, например, 50–59.
– Границы классов – это непрерывные границы, разделяющие классы таким образом, чтобы между ними не было «пробелов».
Если данные представляют собой целое число, то граница класса обычно определяется путем добавления и вычитания 0,5.
Contoh:
– Интервал 50–59 имеет границы классов 49,5–59,5
– Интервал 60–69 имеет границы классов 59,5–69,5
Таким образом, границы классов сходятся в точке 59,5, так что гистограмма выглядит единой и действительно непрерывной.
Однако, если данные представляют собой непрерывную величину (например, рост в сантиметрах, который может содержать десятичные знаки), определение границ классов зависит от точности измерения. Принцип заключается в создании границ классов, которые не перекрываются и не оставляют пробелов.
4. Определите масштаб по осям X и Y.
Гистограмма имеет две основные оси:
– Ось X (горизонтальная): отображает интервалы классов (обычно с использованием границ классов для обеспечения непрерывности).
– Ось Y (вертикальная): отображает частоту.
Если все интервалы классов имеют одинаковую ширину, то высота столбца измеряется просто с помощью частоты. Однако, если ширина интервалов классов различна, высоту столбца следует измерять с помощью плотности частоты:
Плотность частоты = частота / ширина класса
Использование плотности важно для того, чтобы площадь столбца была пропорциональна фактической частоте. В противном случае более широкие классы будут казаться «больше» просто из-за своей ширины, а не из-за большего объема данных.
5. Построение гистограммы.
После определения масштаба и интервалов следующим шагом является рисование линейки.
Правильная техника построения гистограммы:
1. Последовательно отметьте границы классов на оси X.
2. Через каждый интервал нарисуйте прямоугольную полосу, ширина которой соответствует этому интервалу.
3. Высота полосы соответствует частоте (или плотности частоты, если ширина классов не одинакова).
4. Убедитесь, что стебли расположены близко друг к другу (без зазоров).
5. Присвойте гистограмме заголовок, подпишите оси X и Y и, при необходимости, единицы измерения.
Например, если интервалы классов равны 40–49, 50–59, 60–69, а их соответствующие частоты — 5, 12, 18, то столбик для класса 60–69 будет выше, чем для других классов, потому что его частота самая высокая.
6. Чтение и интерпретация гистограмм
Гистограмма — это не просто изображение, а аналитический инструмент. Из гистограммы мы можем увидеть:
– Режим работы: класс с самой высокой частотой (самой высокой частотой).
– Форма распределения: симметричная, асимметричная вправо (положительная асимметрия), асимметричная влево (отрицательная асимметрия) или имеющая два пика (бимодальная).
– Распределение данных: сосредоточены ли данные в определенном интервале или широко распределены.
– Индикатор выброса: если в конце имеется класс с низкой частотой, который отделен от основной группы.
Хорошая интерпретация обычно сопровождается кратким заключением. Например: «Большая часть данных находится в диапазоне 60–79, что указывает на то, что баллы участников, как правило, находятся в средней категории».
7. Распространенные ошибки
Вот несколько ошибок, которых следует избегать:
1. Оставьте промежутки между столбцами, чтобы диаграмма выглядела как столбчатая.
2. Использование границ классов, а не ребер классов, что приводит к появлению пробелов в диапазоне данных.
3. Отсутствие регулировки высоты столбцов при различной ширине классов приводит к искажению результатов сравнения частот.
4. Шкалы осей частот не совпадают или не начинаются с нуля (могут визуально вводить в заблуждение).
5. Классовые интервалы не являются последовательными или перекрывающимися, например, 50–60 и 60–70 без объяснения границ классов.
8. Практические советы по повышению информативности гистограмм
Чтобы гистограмма была более понятна:
– Используйте разумное количество классов (обычно от 5 до 12 классов, в зависимости от объема данных).
– Избегайте слишком узких интервалов (слишком большого количества классов), так как гистограмма становится «шумной».
– Избегайте слишком широких интервалов (слишком малого количества классов), поскольку это может привести к потере закономерности распределения.
– При необходимости укажите в отчете источники данных, размер выборки (n) и другую необходимую информацию.
При использовании таких программ, как Excel, Google Sheets или статистических приложений, всегда помните о понятии границы класса и ширины класса, чтобы результаты построения гистограммы не были ошибочными.
обложка
Метод построения гистограммы для сгруппированных данных требует точности при построении интервалов классов, определении границ классов и определении соответствующей высоты столбцов. Если интервалы классов равномерны, достаточно использовать частоту в качестве высоты столбцов. Если интервалы неравномерны, используйте плотность частоты для обеспечения адекватной и точной визуализации. Правильно построенная гистограмма позволяет быстро получить общее представление о распределении данных и сделать более точные выводы в статистическом анализе.
При желании я могу добавить примеры данных и выполнить все этапы вычислений до завершения построения гистограммы (вручную или с помощью Excel/Sheets).
