Критерий Краскала-Уоллиса в статистике
Критерий Краскала-Уоллиса — это непараметрический статистический метод, используемый для сравнения различий между тремя или более группами. Во многих исследованиях ученые часто хотят определить, имеют ли несколько групп статистически значимые различия в значениях определенной переменной. Если данные соответствуют предположениям о нормальности распределения и однородности дисперсии, обычно первым выбором является однофакторный дисперсионный анализ (ANOVA) . Однако, когда эти предположения не выполняются — например, данные имеют ненормальное распределение, присутствуют экстремальные выбросы или шкала измерения является порядковой — критерий Краскала-Уоллиса является мощной и широко используемой альтернативой.
Определение и основные понятия
Критерий Краскала–Уоллиса (часто обозначается как критерий Краскала–Уоллиса H) является расширением критерия Манна–Уитни U, позволяющим применять его к группам, превышающим две. Его основной принцип заключается в сравнении «рангов» данных, а не фактических значений. Поскольку он основан на рангах, этот критерий не требует нормального распределения и относительно устойчив к влиянию выбросов.
Интуитивно понятно, что если несколько групп имеют одинаковое распределение, то ранги данных в этих группах будут случайным образом перемешаны. И наоборот, если некоторые группы имеют тенденцию к более высоким или более низким значениям, то ранги сгруппируются, что приведет к большему значению тестовой статистики.
В каких случаях используется критерий Краскала-Уоллиса?
Критерий Краскала-Уоллиса используется в следующих случаях:
1. Количество групп ≥ 3, и исследователь хочет сравнить различия в центральном положении (обычно медиане) между группами.
2. Данные не соответствуют предположениям дисперсионного анализа, особенно в отношении нормальности остатков.
3. Шкалы порядковых данных (например, оценки удовлетворенности: от крайне неудовлетворенного до крайне удовлетворенного) или интервальные/количественные данные, не подчиняющиеся нормальному распределению.
4. Независимые выборки, то есть члены одной группы не связаны и не имеют родственных связей с членами других групп.
Например: исследователь хочет сравнить уровни удовлетворенности пациентов качеством услуг в трех разных больницах, используя шкалу Ликерта от 1 до 5. Поскольку данные являются порядковыми, критерий Краскала-Уоллиса является подходящим выбором.
Предположения теста Крускала-Уоллиса
Несмотря на то, что критерий Краскала-Уоллиса непараметрический, он все же имеет ряд важных допущений:
1. Независимость наблюдений: данные в каждой группе должны быть получены от разных людей.
2. Зависимая переменная должна быть как минимум порядковой: данные должны быть сортируемыми.
3. Формы распределения между группами должны быть схожими: если формы распределения сильно различаются, интерпретация различий может быть более сложной. Этот тест часто интерпретируется как разница медиан, но интерпретация медианы наиболее уместна, если формы распределения схожи.
Гипотеза в тесте Крускала-Уоллиса
В критерии Краскала-Уоллиса проверяется следующая гипотеза:
– Нулевая гипотеза (H0): распределение (или медиана) всех групп одинаково.
– H1 (альтернативная гипотеза): существует по крайней мере одна группа, распределение (или медиана) которой отличается.
Следует отметить, что при отклонении нулевой гипотезы (H0) критерий Краскала-Уоллиса просто констатирует наличие различий, но не указывает, какие именно группы отличаются. Это требует дальнейшего тестирования (постфактум).
Этапы расчета
Вкратце, этапы критерия Краскала-Уоллиса следующие:
1. Объедините все данные из всех групп.
2. Расположите значения в порядке убывания. При совпадении значений используйте средний ранг.
3. Сложите баллы в каждой группе.
4. Вычислите статистику критерия H₀.
Общая статистическая формула H выглядит следующим образом:
\[
H = \frac{12}{N(N+1)} \sum_{i=1}^{k} \frac{R_i^2}{n_i} – 3(N+1)
\]
Примечания:
– \(N\) = сумма всех наблюдений
– \(k\) = количество групп
– \(n_i\) = количество наблюдений в i-й группе
– \(R_i\) = количество рангов в i-й группе
Затем значение H сравнивается с распределением хи-квадрат (\(\chi^2\)) с \(k-1\) степенями свободы. Если p-значение меньше уровня значимости (например, 0,05), то H0 отклоняется.
Иллюстративный пример
Предположим, преподаватель хочет узнать, есть ли разница в результатах статистических тестов при использовании трех методов обучения: A, B и C. После сбора данных выясняется, что результаты не распределены нормально, поскольку имеется несколько экстремальных значений. Тогда преподаватель использует критерий Краскала-Уоллиса.
Если результаты теста показывают значение p, равное 0,01 (меньше 0,05), то делается вывод о наличии существенной разницы между как минимум двумя методами обучения. Однако преподаватель еще не знает, какой метод лучше: A или B. Именно здесь необходим апостериорный анализ.
Постхок-тест по Краскалу-Уоллису
Если критерий Краскала-Уоллиса показывает статистически значимый результат, следующим шагом является проведение попарных сравнений. К распространенным методам относятся:
1. Тест Данна: чаще всего используется для апостериорного сравнения по критерию Краскала-Уоллиса.
2. Попарный критерий Манна-Уитни с поправкой (Бонферрони, Холма или Бенджамини-Хохберга) для контроля ошибок, возникающих из-за повторных испытаний.
Цель этой поправки — предотвратить увеличение вероятности ошибки первого типа (указание на различие там, где его нет) из-за проведения множества сравнений.
Размер эффекта
Помимо статистической значимости, многие современные исследования акцентируют внимание на величине эффекта, чтобы помочь читателям понять масштаб различий. К числу величин эффекта, часто ассоциируемых с моделью Крускала-Уоллиса, относятся:
– Эта-квадрат (η²) на основе H:
\[
\eta^2 = \frac{H – k + 1}{N – k}
\]
– Эпсилон в квадрате (ε²) как более консервативная альтернатива.
Размер эффекта помогает определить, является ли разница малой, средней или большой, а не просто «значительной или нет».
Преимущества и ограничения
Келебихан
1. Не требует предположения о нормальном распределении.
2. Подходит для порядковых данных.
3. Более устойчив к выбросам, чем параметрические методы.
Ограничения
1. Не позволяет определить, какие группы различаются, без проведения апостериорного анализа.
2. Интерпретация как разницы медиан наиболее корректна, если форма распределения групп схожа.
3. Если фактические данные имеют нормальное распределение и однородны, дисперсионный анализ может быть более мощным (с большей мощностью).
обложка
Критерий Краскала-Уоллиса — важный инструмент в инференциальной статистике , особенно когда исследователи работают с данными, которые не соответствуют предположениям параметрических методов. Благодаря ранговому подходу этот критерий позволяет проводить более гибкие сравнения трех или более групп, особенно для порядковых или ненормальных данных. Однако его использование по-прежнему требует понимания предположений, интерпретации результатов и необходимости апостериорного анализа для выявления действительно различных пар групп. Путем объединения p-значений, размеров эффекта и соответствующего дальнейшего анализа критерий Краскала-Уоллиса может обеспечить надежные и актуальные выводы в различных областях исследований, от здравоохранения и образования до бизнеса и социальных наук.
