Движение снаряда

Статья о движении снаряда и примеры задач с решениями.

Начальная скорость (v_o) и компоненты начальной скорости (v)_ox и v_oy)

Объект, параболическое движение которого всегда имеет начальную скорость. Поскольку параболическое движение представляет собой сочетание движений в горизонтальном и вертикальном направлениях, начальная скорость также имеет горизонтальную и вертикальную составляющие.

Если объект движется параболически, как показано на рисунках 1 и 3, то начальная скорость в горизонтальном направлении (v _ox ) и начальная скорость в вертикальном направлении (v _oy ) рассчитываются по уравнению:

v _ox = v _o cos θ

v _oy = v _o sin θ

Если объект движется по параболической траектории, как показано на рисунке 2, то v _o = v _ox (v _oy = 0).

Скорость (v)_x и v_y) и Положение (x и y)

Скорость в горизонтальном и вертикальном направлениях в определенный интервал времени рассчитывается по следующей формуле:

v _x = v _ox = константа ( равномерное линейное движение )

v _y = v _oy + gt или v _y ² = v _oy ² + 2 gh (движение свободного падения)

Положение объектов по горизонтальной (x) и вертикальной (y) осям в определенный момент времени рассчитывается по следующей формуле:

x = v _ox t

y = v _oy t + 1⁄2 gt ²

Результирующая скорости (v) и положения (h)

Результирующая скорость в заданный интервал времени рассчитывается по следующей формуле:

Направление движения объектов в определенный момент времени рассчитывается по следующей формуле:

Примечание:

1. Горизонтальная составляющая параболического движения рассматривается как равномерное прямолинейное движение, поэтому vox = vx всегда остается постоянной.

2. Вертикальная составляющая параболического движения рассматривается как движение свободного падения, поэтому, если объект движется по параболической траектории, как на рисунках 1 и 3, вертикальная составляющая скорости объекта на максимальной высоте равна нулю (v _y = 0). Если бросить шарик вертикально вверх с максимальной высоты, объект на мгновение останавливается (v _y = 0), прежде чем начать движение вниз. Следовательно, скорость объекта, движущегося по параболической траектории на максимальной высоте, равна v _x = v _ox

3. Если объект движется параболически, как показано на рисунке 2, вертикальная составляющая параболического движения рассматривается как движение свободного падения. Если объект движется параболически, как показано на рисунках 1 и 3, то вертикальная составляющая параболического движения рассматривается как движение вверх (вертикальное движение).

Примеры задач:

1. Пуля выстрелена в горизонтальном направлении с начальной скоростью 20 м/с. Если ружье находится на высоте 5 метров над землей, определите:

(а) время в воздухе

(б) максимальная высота

(c) горизонтальное расстояние

(d) скорость пули в момент удара о землю

Решение:

Движение в горизонтальном направлении анализируется как равномерное прямолинейное движение, а движение в вертикальном направлении — как свободное падение.

Известный:

v _ox = 20 м/с, v _oy = 0 м/с, h = 5 м, g = 9.8 м/ ^с²

а) Время в воздухе

Решение заключается в определении временного интервала (t) в процессе свободного падения.

Известно: v _oy = 0 м/с, h = 5 м, g = 9.8 м/ ^с²

Требуется :

б) Максимальная высота

Максимальная высота = h = 5 метров.

c) Горизонтальное расстояние (d)

Решение аналогично определению расстояния при равномерном прямолинейном движении.

Известно: v _ox = 20 м/с, t = 1 секунда

Требуется: d

d = vt

d = (20 м/с)(1 с) = 20 м

d) Скорость, с которой пуля ударяется о землю.

v _tx = v _ox = 20 м/с

v _ty = ?

Сначала вычисляем конечную скорость в вертикальном направлении (vty). Решение аналогично определению конечной скорости свободного падения.

Известно: v _oy = 0, g = 9.8 м/с² ^, t = 1 с

Требуется: v _ty

v _t = v _o + gt —> vo = 0

v _t = gt

v _t = (9.8 м/с² ⁾ (1 с)

v _t = 9.8 м/с

Скорость пули в момент удара о землю:

Направление пули:

Поскольку v _tx направлено вдоль положительной оси x (вправо), а v _ty — вдоль отрицательной оси y (вниз),

Направление пули в момент удара о землю составляет -26.1 ^° относительно положительной оси x (см. рисунок ниже).

2. Пушка выстрелила пулей под углом 30 ^° к горизонтали со скоростью 60 м/с. Определите:

(а) максимальная высота

(б) скорость пули на максимальной высоте

(c) время в воздухе

(d) горизонтальное расстояние

(e) скорость пули в момент удара о землю. Предположим, земля ровная. 🙂

Решение:

Движение в горизонтальном направлении анализируется как равномерное прямолинейное движение, движение в вертикальном направлении анализируется как вертикальное движение вверх.

Известно: v _o = 60 м/с, тета = 30 ^°.

На основе известных данных мы сначала вычисляем вертикальную (voy ₎ и горизонтальную (vox ₎ составляющие начальной скорости (vo ₎.

а) Максимальная высота (h)

Решение аналогично определению максимальной высоты при вертикальном движении вверх.

Известный:

v _ox = v _o cos θ = (60)(cos 30) = (60)(0.87) = 52 м/с

v _oy = v _o sin θ = (60)(sin 30) = (60)(0.5) = 30 м/с

а) Максимальная высота (h)

Решение аналогично определению максимальной высоты при вертикальном движении вверх.

Известный:

v _oy = 30 м/с (это начальная скорость пули)

v _ty = 0 м/с (На максимальной высоте вертикальная скорость пули равна 0 м/с. Это конечная скорость.)

g = – 9.8 м/ ^с²

Требуется: h

v _t ² = v _o ² + 2 gh

0 ² = 30 ² + 2 (-9.8) ч

0 = 900 – 19.6 ч

900 = 19.6 ч

ч = 900/19.6

высота = 45.9 метров

Максимальная высота, достигнутая пулей, составляет 45.9 метра.

б) Скорость на максимальной высоте

На максимальной высоте скорость в вертикальном направлении равна 0 м/с. На максимальной высоте существует только скорость в горизонтальном направлении. Скорость в горизонтальном направлении на максимальной высоте равна начальной скорости в горизонтальном направлении, которая составляет 52.2 м/с. Направление скорости в горизонтальном направлении всегда постоянно, то есть в направлении положительной оси x (если движение объекта описано на приведенной выше диаграмме).

c) Время в воздухе

Решение аналогично определению временного интервала (t) в обсуждении вертикального движения вверх.

Известный:

v _oy = 30 м/с (это начальная скорость пули в вертикальном направлении)

g = – 9.8 м/ ^с²

h = 0 м (когда пуля возвращается на землю, перемещение пули в вертикальном направлении равно 0 м)

Требуется :

h = v _o t + ½ gt ²

0 = (30) t + ½ (-9.8 м/ ^с² ) ^t²

0 = (30) t – 4.9 t ²

(30) t = 4.9 t ²

30 = 4.9 т

т = 30/4.9

т = 6.12 секунд

Время в воздухе = 6.12 секунды

d) Горизонтальное расстояние (d)

Решение аналогично определению расстояния (d) при равномерном прямолинейном движении.

Известный:

v _ox = 52.2 м/с

т = 6.12 секунд

Требуется: d

d = vt = (52.2 м/с)(6.12 секунд) = 319.5 м

e) Скорость, с которой пуля ударяется о землю.

v _tx = v _ox = 52.2 м/с

v _ty = ?

Сначала вычисляем конечную скорость в вертикальном направлении (v _ty ). Решение состоит в определении конечной скорости при вертикальном движении вверх.

Требуемые значения: v _oy = 30 м/с, g = -9.8 м/с² ^, t = 6.12 секунд

Требуется: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = (30) + (-9.8)(6.12)

v _ty = (30) – (60)

v _ty = -30 м/с

Отрицательный знак указывает на то, что направление конечной скорости — вниз. Обратите внимание, что начальная скорость в вертикальном направлении равна конечной скорости в вертикальном направлении.

Скорость пули в момент удара о землю:

Направление пули:

Поскольку _vtx направлено вдоль положительной оси x (вправо), а vty — вдоль отрицательной оси y (вниз),

Направление скорости пули в момент удара о землю составляет -30 ^° относительно положительной оси x (см. рисунок ниже).

3. Мяч брошен с края 50-метрового здания с начальной скоростью 10 м/с. Если мяч брошен под углом 30° к горизонтали, определите:

(а) интервал времени, за который мяч достигает земли

(б) скорость мяча в момент удара о землю

(c) горизонтальное расстояние, на которое может долететь мяч, измеряется от края здания.

(d) максимальная высота, достигнутая мячом

Решение:

Сначала мы вычисляем вертикальную составляющую (voy ₎ и горизонтальную составляющую (vox ₎ начальной скорости (vo ₎.

v _ox = v _o cos 30 ^o = (10 м/с)(0.87) = 8.7 м/с

v _oy = v _o sin 30 ^o = (10 м/с)(0.5) = 5 м/с

а) Интервал времени, за который мяч достигает земли

Решение аналогично определению временного интервала (t) вертикального движения вверх. Величина вектора, направленного вверх, выбирается положительной, а величина вектора, направленного вниз, — отрицательной. Положение мяча, в которое он был брошен, выбирается в качестве точки отсчета. h отрицательно, потому что поверхность земли находится ниже точки отсчета, g отрицательно, потому что направление ускорения свободного падения — вниз.

Известный:

v _oy = 5 м/с, h = – 5 м, g = – 9.8 м/ ^с²

Требуется :

h = v _o t + ½ gt ²

-5 = 5 t + ½ (-9.8) t ²

-5 = 5 т – 4.9 т ²

-4.9 t ² + 5 t + 5 = 0

Используйте формулу для квадратного уравнения:

Время в воздухе = интервал времени с момента броска мяча до падения на землю = 1.64 секунды.

б) Скорость мяча в момент удара о поверхность земли.

v _tx = v _ox = v _x = 8.7 м/с

v _ty = ?

Сначала мы вычисляем конечную скорость в вертикальном направлении (v _ty ). Решение аналогично определению конечной скорости при вертикальном движении вверх.

Известно: v _oy = 5 м/с, g = -9.8 м/с² ^, t = 1.64 секунды

Требуется: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = 5 + (-9.8)(1.64)

v _ty = 5 – 16

v _ty = -11 м/с

Отрицательный знак указывает на то, что конечная скорость направлена ​​вниз.

Скорость пули в момент удара о землю:

Направление скорости пули равно направлению движения пули в момент удара о землю:

Скорость пули в момент удара о землю:

Поскольку vtx направлен вдоль положительной оси x (вправо), а vty — вдоль отрицательной оси y (вниз),

Направление пули при ударе о землю составляет -52° относительно положительной оси x (см. рисунок ниже).

c) Горизонтальное расстояние, на которое может долететь мяч, измеряется от края здания.

Решение аналогично определению пройденного расстояния (d) при равномерном прямолинейном движении.

Известно: t = 1.64 секунды, v _x = 8.7 м/с

Требуется: d

d = vt = (8.7 м/с)(1.64 с) = 14.3 м

d) Максимальная высота, достигнутая мячом.

Известно: v _oy = 5 м/с, v _ty = 0 м/с ( вертикальная составляющая скорости на максимальной высоте = 0 м/с), g = -9.8 м/ ^с².

Требуется: h

v _ty ² = v _oy ² + 2 gh

0 м/с = (5 м/с) ^² + 2(-9.8 м/с² ⁾ (h)

0 м/с = 25 (м/с) ^² + (-19.6 м/с² ⁾ (h)

25 (м/с) ^² = -19.6 м/с² (ч)

h = 25 (м/с) ^² : -19.6 м/с² ⁼ 1.3 метра

Максимальная высота, достигнутая мячом, составляет 1.3 метра над вершиной здания = 1.3 м + 50 м = 51.3 метра над поверхностью земли.