Mișcarea proiectilului

Articol despre mișcarea proiectilului și exemple de probleme cu soluții

Viteza inițială (v_o) și componenta vitezei inițiale (v_ox și v_oy)

Un obiect ale cărui mișcări parabolice au întotdeauna o viteză inițială. Deoarece mișcarea parabolică este o combinație de mișcări în direcții orizontală și verticală, viteza inițială are și componente orizontale și verticale.

Dacă obiectul se mișcă parabolic, așa cum se arată în Figurile 1 și 3, atunci viteza inițială pe direcție orizontală (v _ox ) și viteza inițială pe direcție verticală (v _oy ) se calculează folosind ecuația:

v _ox = v _o cos θ

v _oy = v _o sin θ

Dacă obiectul se mișcă parabolic ca în figura 2, atunci v _o = v _ox (v _oy = 0)

Viteză (v)_x și v_y) și Poziție (x și y)

Viteza pe direcția orizontală și verticală la un anumit interval de timp se calculează folosind ecuația:

v _x = v _ox = constantă ( mișcare liniară uniformă )

v _y = v _oy + gt sau v _y ² = v _oy ² + 2 gh (mișcare în cădere liberă)

Poziția obiectelor pe direcțiile orizontală (x) și verticală (y) la un anumit interval de timp se calculează folosind ecuația:

x = v _ox t

y = v _oy t + 1⁄2 ^gt²

Rezultanta vitezei (v) și a poziției (h)

Viteza rezultantă la un interval de timp specificat se calculează folosind ecuația:

Direcția obiectelor la un anumit interval de timp se calculează folosind ecuația:

note:

1. Componenta orizontală a mișcării parabolice este considerată mișcarea liniară uniformă, deci vox = vx este întotdeauna constantă

2. Componenta verticală a mișcării parabolice este considerată mișcarea de cădere liberă, deci dacă obiectul se mișcă parabolic, cum ar fi în Figurile 1 și 3, componenta verticală a vitezei obiectului la înălțimea maximă este zero (vy ₌ 0). Dacă aruncați o bilă în poziție verticală în sus la o înălțime maximă, obiectul se odihnește un moment (vy ₌ 0) înainte de a se întoarce în jos. Prin urmare, viteza obiectului care mișcă parabolicul la înălțimea maximă = _vx = _vx

3. Dacă obiectul se mișcă parabolic, așa cum se arată în Figura 2, componenta verticală a mișcării parabolice este considerată mișcarea de cădere liberă. Dacă obiectul se mișcă parabolic, așa cum se arată în Figurile 1 și 3, atunci componenta verticală a mișcării parabolice este considerată mișcarea verticală ascendentă.

Probleme de probă:

1. Un glonț este tras în direcție orizontală cu o viteză inițială de 20 m/s. Dacă arma se află la 5 metri deasupra solului, determinați:

(a) timpul în aer

(b) înălțimea maximă

(c) distanța orizontală

(d) viteza glonțului când atinge pământul

Soluţie:

Mișcarea pe direcție orizontală este analizată ca mișcarea liniară uniformă, în timp ce mișcarea pe direcție verticală este analizată ca mișcarea de cădere liberă.

Cunoscut:

v _ox = 20 m/s, v _oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ ^s²

a) Timpul în aer

Soluția constă în determinarea intervalului de timp (t) în mișcarea de cădere liberă.

Cunoscut: v _oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ ^s²

Caut: t

b) Înălțimea maximă

Înălțimea maximă = h = 5 metri.

c) Distanța orizontală (d)

Soluția este ca și cum ai determina distanța pe mișcarea liniară uniformă

Cunoscut: v _ox = 20 m/s, t = 1 secundă

Caut: d

d = vt

d = (20 m/s)(1 s) = 20 m

d) Viteza la atingerea solului de către glonț

v _tx = v _ox = 20 m/s

v _ty = ?

Mai întâi, calculăm viteza finală pe direcție verticală (vty). Soluția este similară cu determinarea vitezei finale a mișcării în cădere liberă.

Cunoscut: v _oy = 0, g = 9.8 m/s² ^, t = 1 s

Caut: v _ty

v _t = v _o + gt —> vo = 0

v _t = gt

vt ₌ (9.8 m/s² ⁾ (1 s)

vt ₌ 9.8 m/s

Viteza unui glonț când atinge pământul:

Direcția glonțului:

Deoarece v _tx este în direcția axei x pozitive (spre dreapta) și v _ty este în direcția axei y negative (spre jos),

Direcția glonțului când atinge pământul este de -26.1 ^o față de axa x pozitivă (vezi figura de mai jos).

2. Tunul a tras un glonț la un unghi de 30 ^° față de orizontală cu o viteză de 60 m/s. Determinați:

(a) înălțimea maximă

(b) viteza glonțului la înălțimea maximă

(c) timpul în aer

(d) distanța orizontală

(e) viteza glonțului când atinge pământul. Să presupunem că pământul este plat. 🙂

Soluţie:

Mișcarea pe direcție orizontală este analizată ca mișcarea liniară uniformă, iar mișcarea pe direcție verticală este analizată ca mișcarea verticală ascendentă.

Cunoscut: v _o = 60 m/s, theta = 30 ^o.

Pe baza datelor cunoscute, calculăm mai întâi componentele verticală (v _oy ) și orizontală (v _ox ) ale vitezei inițiale (v _o ).

a) Înălțimea maximă (h)

Soluția este ca și cum ai determina înălțimea maximă în mișcarea verticală ascendentă.

Cunoscut:

v _ox = v _o cos θ = (60)(cos 30) = (60)(0.87) = 52 m/s

v _oy = v _o sin θ = (60)(sin 30) = (60)(0.5) = 30 m/s

a) Înălțimea maximă (h)

Soluția este ca și cum ai determina înălțimea maximă în mișcarea verticală ascendentă.

Cunoscut:

v _oy = 30 m/s (aceasta este viteza inițială a glonțului)

v _ty = 0 m/s (La înălțimea maximă, viteza verticală a glonțului = 0 m/s. Aceasta este viteza finală.)

g = – 9.8 m/ ^s²

Se caută: h

v _t² = v ^o² ₊ 2 ^gh

0 ² = 30 ² + 2 (-9.8) h

0 = 900 – 19.6 ore

900 = 19.6 ore

h = 900 / 19.6

h = 45.9 metri

Înălțimea maximă atinsă de glonț = 45.9 metri.

b) Viteza la înălțimea maximă

La înălțimea maximă, viteza pe direcție verticală = 0 m/s. La altitudinea maximă, există doar viteză pe direcție orizontală. Viteza pe direcție orizontală la înălțimea maximă este egală cu viteza inițială pe direcție orizontală, care este de 52.2 m/s. Direcția vitezei pe direcție orizontală este întotdeauna constantă, adică în direcția axei x pozitive (dacă mișcarea unui obiect este descrisă în diagrama de mai sus).

c) Timpul în aer

Soluția este similară cu determinarea intervalului de timp (t) în discuția despre mișcarea verticală ascendentă.

Cunoscut:

v _oy = 30 m/s (aceasta este viteza inițială a glonțului pe direcție verticală)

g = – 9.8 m/ ^s²

h = 0 m (când glonțul revine la sol, deplasarea glonțului pe direcție verticală = 0 m)

Caut: t

h = v _o t + ½ ^gt²

0 = (30) t + ½ (-9.8 m/ ^s² ) ^t²

0 = (30) t – 4.9 ^t²

(30) t = 4.9 ^t²

30 = 4.9 t

t = 30 / 4.9

t = 6.12 de secunde

Timp în aer = 6.12 secunde

d) Distanța orizontală (d)

Soluția este ca și cum am determina distanța (d) pe mișcarea liniară uniformă.

Cunoscut:

v _ox = 52.2 m/s

t = 6.12 de secunde

Caut: d

d = vt = (52.2 m/s)(6.12 secunde) = 319.5 m

e) Viteza la atingerea pământului de către glonț

v _tx = v _ox = 52.2 m/s

v _ty = ?

Mai întâi, calculăm viteza finală pe direcție verticală (v/ _ty ). Soluția constă în determinarea vitezei finale pe mișcarea verticală ascendentă.

Dorit: v _oy = 30 m/s, g = -9.8 m/s² ^, t = 6.12 secunde

Caut: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = (30) + (-9.8)(6.12)

v _ty = (30) – (60)

v _ty = -30 m/s

Un semn negativ indică faptul că direcția vitezei finale este descendentă. Rețineți că viteza inițială pe direcție verticală este egală cu viteza finală pe direcție verticală.

Viteza glonțului când atinge pământul:

Direcția glonțului:

Deoarece v _tx este în direcția axei x pozitive (spre dreapta) și vty este în direcția axei y negative (spre jos),

Direcția vitezei glonțului când atinge solul este de -30 ^° în jurul axei x pozitive (vezi figura de mai jos).

3. O minge este aruncată de la marginea unei clădiri înalte de 50 de metri cu o viteză inițială de 10 m/s. Dacă mingea este aruncată la un unghi de 30° față de orizontală, determinați:

(a) intervalul de timp în care mingea atinge solul

(b) viteza mingii când atinge solul

(c) distanța orizontală care poate fi atinsă de minge este măsurată de la marginea clădirii

(d) înălțimea maximă atinsă de minge

Soluţie:

Mai întâi, calculăm componenta verticală (v _oy ) și componenta orizontală (v _ox ) a vitezei inițiale (v _o ).

v _ox = v _o cos 30 ^o = (10 m/s)(0.87) = 8.7 m/s

v _oy = v _o sin 30 ^o = (10 m/s)(0.5) = 5 m/s

a) Intervalul de timp în care mingea ajunge la sol

Soluția este similară determinării intervalului de timp (t) într-o mișcare verticală ascendentă. Magnitudinea vectorului a cărui direcție este în sus este aleasă ca fiind pozitivă, magnitudinea vectorului a cărui direcție este în jos este aleasă ca fiind negativă. Poziția mingii în care este aruncată este selectată ca punct de referință. h este negativ deoarece suprafața solului este sub punctul de referință, iar g este negativ deoarece direcția accelerației gravitaționale este în jos.

Cunoscut:

v _oy = 5 m/s, h = – 5 m, g = – 9.8 m/ ^s²

Caut: t

h = v _o t + ½ ^gt²

-5 = 5 t + ½ (-9.8) ^t²

-5 = 5 t – 4.9 ^t²

-4.9 t² ⁺ 5 t + 5 = 0

Folosește formula pătratică:

Timpul în aer = intervalul de timp scurs de la aruncarea mingii până la atingerea solului = 1.64 secunde.

b) Viteza mingii când atinge suprafața solului

v _tx = v _ox = v _x = 8.7 m/s

v _ty = ?

Mai întâi, calculăm viteza finală pe direcție verticală (v/ _ty ). Soluția este similară cu determinarea vitezei finale pe mișcarea verticală ascendentă.

Cunoscut: v _oy = 5 m/s, g = -9.8 m/s² ^, t = 1.64 secunde

Caut: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = 5 + (-9.8)(1.64)

v _ty = 5 – 16

v _ty = -11 m/s

Semnul negativ indică faptul că direcția vitezei finale este descendentă.

Viteza glonțului când atinge pământul:

Direcția vitezei glonțului = direcția mișcării glonțului când atinge pământul:

Viteza glonțului când atinge pământul:

Deoarece vtx este în direcția axei x pozitive (spre dreapta) și vty este în direcția axei y negative (spre jos),

Direcția glonțului când atinge pământul este de -52o în jurul axei x pozitive (vezi figura de mai jos).

c) Distanța orizontală care poate fi atinsă de minge se măsoară de la marginea clădirii

Soluția este ca și cum am determina distanța parcursă (d) pe mișcarea liniară uniformă.

Cunoscut: t = 1.64 secunde, v _x = 8.7 m/s

Caut: d

d = vt = (8.7 m/s)(1.64 s) = 14.3 m

d) Înălțimea maximă atinsă de minge

Cunoscut: v _oy = 5 m/s, v _ty = 0 m/s ( componenta verticală a vitezei la înălțimea maximă = 0 m/s), g = -9.8 m/ ^s².

Se caută: h

v _ty² ⁼ v _oy² + 2 ^gh

0 m/s = (5 m/s) ^² + 2(-9.8 m/s² ⁾ (h)

0 m/s = 25 (m/s) ^² + (-19.6 m/s² ⁾ (h)

25 (m/s) ^² = -19.6 m/s² (h)

h = 25 (m/s) ^² : -19.6 m/s² ⁼ 1.3 metri

Înălțimea maximă atinsă de minge = 1.3 metri deasupra vârfului clădirii = 1.3 m + 50 m = 51.3 metri deasupra suprafeței solului.