Movimento do projétil

Artigo sobre o movimento de projéteis e exemplos de problemas com soluções.

Velocidade inicial (v)_o) e as componentes da velocidade inicial (v_ox e v_oy)

Um objeto cujos movimentos parabólicos sempre possuem uma velocidade inicial. Como o movimento parabólico é uma combinação de movimentos nas direções horizontal e vertical, a velocidade inicial também possui componentes horizontal e vertical.

Se o objeto se move parabolicamente como nas Figuras 1 e 3, então a velocidade inicial na direção horizontal (v_{_ox} ) e a velocidade inicial na direção vertical (v _{_oy} ) são calculadas usando a equação:

v _ox = v _o cos θ

v _oy = v _o sin θ

Se o objeto se move parabolicamente como na figura 2, então v _o = v _ox (v _oy = 0)

Velocidade (v)_x e v_y) e Posição (x e y)

A velocidade nas direções horizontal e vertical em um determinado intervalo de tempo é calculada usando a equação:

v _x = v _ox = constante ( movimento linear uniforme )

v _y = v _oy + gt ou v _y ² = v _oy ² + 2 gh (movimento de queda livre)

A posição dos objetos nas direções horizontal (x) e vertical (y) em um determinado intervalo de tempo é calculada usando a equação:

x = v _ox t

y = v _oy t + 1⁄2 gt ²

Resultante da velocidade (v) e da posição (h)

A velocidade resultante em um intervalo de tempo específico é calculada usando a equação:

A direção dos objetos em um determinado intervalo de tempo é calculada usando a equação:

Observações:

1. A componente horizontal do movimento parabólico é considerada como um movimento linear uniforme, portanto vox = vx é sempre constante.

2. A componente vertical do movimento parabólico é considerada como o movimento de queda livre; portanto, se o objeto se move em uma trajetória parabólica, como nas Figuras 1 e 3, a componente vertical da velocidade do objeto na altura máxima é zero (v _y = 0). Se você lançar uma bolinha de gude verticalmente para cima na altura máxima, o objeto ficará em repouso por um instante (v_{_y} = 0) antes de começar a descer. Portanto, a velocidade do objeto que descreve a parábola na altura máxima é igual a v_{_x} = v_{_ox.}

3. Se o objeto se move parabolicamente como mostrado na Figura 2, a componente vertical do movimento parabólico é considerada como o movimento de queda livre. Se o objeto se move parabolicamente como nas Figuras 1 e 3, então a componente vertical do movimento parabólico é considerada como o movimento vertical ascendente.

Exemplos de problemas:

1. Um projétil é disparado na horizontal com uma velocidade inicial de 20 m/s. Se a arma estiver a 5 metros do solo, determine:

(a) tempo no ar

(b) a altura máxima

(c) a distância horizontal

(d) a velocidade da bala ao atingir o solo

Solução:

O movimento na direção horizontal é analisado como um movimento linear uniforme, enquanto o movimento na direção vertical é analisado como um movimento de queda livre.

Conhecido:

v _{_ox} = 20 m/s, v_{_oy} = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ ^s²

a) Tempo no ar

A solução consiste em determinar o intervalo de tempo (t) no movimento de queda livre.

Dados: v _{_oy} = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ ^s²

Procura-se: t

b) A altura máxima

Altura máxima = h = 5 metros.

c) Distância horizontal (d)

A solução é semelhante a determinar a distância em um movimento linear uniforme.

Dados: v _{_ox} = 20 m/s, t = 1 segundo

Procura-se: d

d = vt

d = (20 m/s)(1 s) = 20 m

d) Velocidade quando a bala atinge o solo

v _tx = v _ox = 20 m/s

v _ty = ?

Primeiro, calculamos a velocidade final na direção vertical (vty). A solução é semelhante a determinar a velocidade final do movimento de queda livre.

Dados: v _{_oy} = 0, g = 9.8 m/s² ^, t = 1 s

Procura-se: v _ty

v _t = v _o + gt —> vo = 0

v _t = gt

v _t = (9.8 m/s ² )(1 s)

v _t = 9.8 m/s

A velocidade de uma bala ao atingir o solo:

Direção do projétil:

Como v _tx está na direção do eixo x positivo (para a direita) e v _ty está na direção do eixo y negativo (para baixo),

A direção da bala ao atingir o solo é de -26.1 ^° em relação ao eixo x positivo (veja a figura abaixo).

2. O canhão disparou um projétil a 30 ^° em relação à horizontal com uma velocidade de 60 m/s. Determine:

(a) a altura máxima

(b) a velocidade da bala na altura máxima

(c) tempo no ar

(d) a distância horizontal

(e) a velocidade da bala ao atingir o solo. Suponha que o solo seja plano. 🙂

Solução:

O movimento na direção horizontal é analisado como um movimento linear uniforme, e o movimento na direção vertical é analisado como um movimento vertical ascendente.

Dados conhecidos: v _o = 60 m/s, theta = 30 ^o.

Com base nos dados conhecidos, calculamos primeiro as componentes vertical (voy ₎ e horizontal (vox ₎ da velocidade inicial (vo ₎.

a) A altura máxima (h)

A solução é semelhante a determinar a altura máxima em um movimento vertical ascendente.

Conhecido:

v _boi = v _o cos θ = (60)(cos 30) = (60)(0.87) = 52 m/s

v _oy = v _o sen θ = (60)(sen 30) = (60)(0.5) = 30 m/s

a) Altura máxima (h)

A solução é semelhante a determinar a altura máxima em um movimento vertical ascendente.

Conhecido:

v _oy = 30 m/s (esta é a velocidade inicial da bala)

v _ty = 0 m/s (Na altura máxima, a velocidade vertical da bala é igual a 0 m/s. Esta é a velocidade final.)

g = – 9.8 m/ ^s²

Procura-se: h

v _t ² = v _o ² + 2 gh

0 ² = 30 ² + 2 (-9.8) h

0 = 900 – 19.6 h

900 = 19.6 h

h = 900/19.6

h = 45.9 metros

A altura máxima atingida pelo projétil foi de 45.9 metros.

b) A velocidade na altura máxima

Na altura máxima, a velocidade na direção vertical é igual a 0 m/s. Na altitude máxima, existe apenas velocidade na direção horizontal. A velocidade na direção horizontal na altura máxima é igual à velocidade inicial na direção horizontal, que é de 52.2 m/s. A direção da velocidade na direção horizontal é sempre constante, ou seja, na direção do eixo x positivo (se o movimento de um objeto for descrito no diagrama acima).

c) Tempo no ar

A solução é semelhante a determinar o intervalo de tempo (t) na discussão do movimento vertical ascendente.

Conhecido:

v _oy = 30 m/s (esta é a velocidade inicial da bala na direção vertical)

g = – 9.8 m/ ^s²

h = 0 m (quando a bala retorna ao solo, o deslocamento da bala na direção vertical é igual a 0 m)

Procura-se: t

h = v _o t + ½ gt ²

0 = (30) t + ½ (-9.8 m/s ² ) t ²

0 = (30) t – 4.9 t ²

(30) t = 4.9 t ²

30 = 4.9 t

t = 30 / 4.9

t = 6.12 segundos

Tempo no ar = 6.12 segundos

d) Distância horizontal (d)

A solução é semelhante a determinar a distância (d) em um movimento linear uniforme.

Conhecido:

v _ox = 52.2 m/s

t = 6.12 segundos

Procura-se: d

d = vt = (52.2 m/s)(6.12 segundos) = 319.5 m

e) Velocidade quando a bala atinge o solo

v _tx = v _ox = 52.2 m/s

v _ty = ?

Primeiro, calculamos a velocidade final na direção vertical (v _ty ). A solução consiste em determinar a velocidade final no movimento vertical ascendente.

Deseja-se: v _{_oy} = 30 m/s, g = -9.8 m/s² ^, t = 6.12 segundos

Procura-se: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = (30) + (-9.8)(6.12)

v _ty = (30) – (60)

v _ty = -30 m/s

Um sinal negativo indica que a direção da velocidade final é para baixo. Observe que a velocidade inicial na direção vertical é igual à velocidade final na direção vertical.

A velocidade da bala ao atingir o solo:

A direção da bala:

Como v _tx está na direção do eixo x positivo (para a direita) e vty está na direção do eixo y negativo (para baixo),

A direção da velocidade da bala quando atinge o solo é de -30 ^° em torno do eixo x positivo (veja a figura abaixo).

3. Uma bola é lançada da borda de um prédio de 50 metros de altura com uma velocidade inicial de 10 m/s. Se a bola for lançada a 30° em relação à horizontal, determine:

(a) o intervalo de tempo que a bola leva para atingir o solo

(b) a velocidade da bola quando atinge o solo

(c) a distância horizontal que a bola pode alcançar é medida a partir da borda do edifício

(d) a altura máxima atingida pela bola

Solução:

Primeiro, calculamos a componente vertical (v _oy ) e a componente horizontal (v _ox ) da velocidade inicial (v _o ).

v _ox = v _o cos 30 ^o = (10 m/s)(0.87) = 8.7 m/s

v _oy = v _o sen 30 ^o = (10 m/s)(0.5) = 5 m/s

a) Intervalo de tempo que a bola leva para atingir o solo

A solução é semelhante a determinar o intervalo de tempo (t) em um movimento vertical ascendente. A magnitude do vetor cuja direção é para cima é escolhida como positiva, e a magnitude do vetor cuja direção é para baixo é escolhida como negativa. A posição da bola no ponto de lançamento é selecionada como ponto de referência. h é negativo porque a superfície do solo está abaixo do ponto de referência, e g é negativo porque a direção da aceleração da gravidade é para baixo.

Conhecido:

v _oy = 5 m/s, h = – 5 m, g = – 9.8 m/s ²

Procura-se: t

h = v _o t + ½ gt ²

-5 = 5 t + ½ (-9.8) t ²

-5 = 5 t – 4.9 t ²

-4.9t² + ^5t + 5 = 0

Use a fórmula quadrática:

Tempo no ar = intervalo de tempo desde que a bola foi lançada até atingir o solo = 1.64 segundos.

b) Velocidade da bola ao atingir a superfície do solo

v _tx = v _ox = v _x = 8.7 m/s

v _ty = ?

Primeiro, calculamos a velocidade final na direção vertical (v _ty ). A solução é semelhante a determinar a velocidade final no movimento vertical ascendente.

Dados: v _{_oy} = 5 m/s, g = -9.8 m/s² ^, t = 1.64 segundos

Procura-se: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = 5 + (-9.8)(1.64)

v _ty = 5 – 16

v _ty = -11 m/s

O sinal negativo indica que a direção da velocidade final é para baixo.

A velocidade da bala ao atingir o solo:

A direção da velocidade da bala é igual à direção do movimento da bala ao atingir o solo:

A velocidade da bala ao atingir o solo:

Como vtx está na direção do eixo x positivo (para a direita) e vty está na direção do eixo y negativo (para baixo),

A direção da bala ao atingir o solo é de -52º em torno do eixo x positivo (veja a figura abaixo).

c) A distância horizontal que a bola pode alcançar é medida a partir da borda do edifício.

A solução é semelhante a determinar a distância percorrida (d) em um movimento linear uniforme.

Dados conhecidos: t = 1.64 segundos, v _x = 8.7 m/s

Procura-se: d

d = vt = (8.7 m/s)(1.64 s) = 14.3 m

d) A altura máxima atingida pela bola

Dados conhecidos: v _oy = 5 m/s, v _ty = 0 m/s ( componente vertical da velocidade na altura máxima = 0 m/s), g = -9.8 m/s ².

Procura-se: h

v _ty ² = v _oy ² + 2 gh

0 m/s = (5 m/s) ² + 2(-9.8 m/s ² )(h)

0 m/s = 25 (m/s) ² + (-19.6 m/s ² )(h)

25 (m/s) ² = -19.6 m/s 2 (h)

h = 25 (m/s) ² : -19.6 m/s ² = 1.3 metros

A altura máxima atingida pela bola é de 1.3 metros acima do topo do prédio, o que equivale a 1.3 m + 50 m = 51.3 metros acima da superfície do solo.