د مثال په توګه د لږترلږه عاید ارزښت او اعظمي عاید ارزښت د لوړې نقطو په اړه بحث کونکي پوښتنې

د لوړې نقطې د مثال په توګه پوښتنې او بحث: د لږ تر لږه عاید ارزښت او د اعظمي عاید ارزښت

د افراطي نقطو ټاکل، هغه نقطې چې په هغه کې یو فعالیت خپل لږترلږه یا اعظمي ارزښت ته رسیږي، د محاسبې او ریاضيکي تحلیل کې یو اصلي مفهوم دی. پدې مقاله کې، موږ به د څو مثالونو ستونزو له لارې چې لږترلږه او اعظمي بیرته راستنیدو ارزښتونه پکې شامل دي، د افراطي نقطو موندلو او تحلیل کولو څرنګوالی وپلټو.

د موضوع تعریفونه او تیورمونه

د مثالي ستونزو په اړه د بحث کولو دمخه، موږ باید ځینې اساسي مفاهیم او تیورۍ درک کړو:

۱. مهم ټکی: د \( x \) ارزښت دی چیرې چې د فعالیت \( f'(x) \) لومړی مشتق \( f(x) \) صفر وي یا شتون نلري.
۲. د اعظمي بیرته راستنیدو ارزښت: ایا د \( f(x) \) ارزښت د هغه نقطې شاوخوا د \( f(x) \) ارزښت څخه لوی دی؟
۳. د لږ تر لږه بیرته راستنیدو ارزښت: د \( f(x) \) ارزښت دی چې د هغه نقطې شاوخوا د \( f(x) \) ارزښت څخه کوچنی دی.
۴. د فرمټ تیورم: که چیرې \( f \) په \( c \) کې سیمه ایز افراطي ارزښت ولري او مشتق \( f'(c) \) شتون ولري، نو \( f'(c) = 0 \).

د مثال پوښتنه ۲: څلور اړخیز دندې

لومړی، موږ د یو ساده څلور اړخیز فعالیت سره پیل کوو:

\[ f(x) = 2x^2 – 4x + 1 \]

لنګکاه:

۱. د \( f'(x) \ لومړی مشتق ومومئ:
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 – 4x + 1) = 4x – 4
\]

۲. د \( f'(x) = 0 \) په حل کولو سره مهم ټکي ومومئ:
\[
۴x – ۴ = ۰ \ معنی لري x = ۱
\]

۳. د فعالیت ارزښت په مهم ټکي کې وټاکئ:
\[
f(1) = 2(1)^2 – 4(1) + 1 = -1
\]

۴. د ټکي د ماهیت د ټاکلو لپاره دوهم مشتق وکاروئ:
\[
f”(x) = \frac{d}{dx}(4x – 4) = 4
\]
څرنګه چې \( f”(1) > 0 \)، نقطه \( x = 1 \) یو سیمه ایز لږترلږه ټکی دی.

د مثال پوښتنه ۲: پولینومیل دندې

اوس راځئ چې د یو ډیر پیچلي پولینومیل فعالیت سره هڅه وکړو:

\[ g(x) = x^3 – 3x^2 + 2 \]

لنګکاه:

۱. لومړی مشتق \( g'(x) \) مشخص کړئ:
\[
g'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 – 3x^2 + 2) = 3x^2 – 6x
\]

۲. د \( g'(x) = 0 \) په حل کولو سره مهم ټکي ومومئ:
\[
۳x^۲ – ۶x = ۰ \ په ګوته کوي ۳x(x – ۲) = ۰ \ په ګوته کوي x = ۰ \ متن{ یا } x = ۲
\]

۳. د فعالیت ارزښت په مهم ټکي کې وټاکئ:
\[
g(0) = 0^3 – 3(0)^2 + 2 = 2
\]
\[
g(2) = 2^3 – 3(2)^2 + 2 = -2
\]

۴. د ټکي د ماهیت د ټاکلو لپاره دوهم مشتق وکاروئ:
\[
g”(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 – 6x) = 6x – 6
\]
\[
g”(0) = 6(0) – 6 = -6 \quad (\text{ځایي اعظمي ارزښت})
\]
\[
g”(2) = 6(2) – 6 = 6 \quad (\text{محلي لږ تر لږه ارزښت})
\]

نو، \( g(x) \) په محلي اعظمي حد کې \( x = 0 \) او په محلي حد کې \( x = 2 \) لري.

د مثال دریمه پوښتنه: ماورايي دندې

راځئ چې د شدت ورکولو فعالیت وګورو:

\[ h(x) = xe^{-x} \]

لنګکاه:

۱. لومړی مشتق \( h'(x) \) مشخص کړئ:
\[
h'(x) = frac{d}{dx}(xe^{-x}) = e^{-x} – xe^{-x} = (1 – x)e^{-x}
\]

۲. د \( h'(x) = 0 \) په حل کولو سره مهم ټکی ومومئ:
\[
(۱ – x)e^{-x} = ۰ \ په ۱ – x = ۰ \ په x = ۱ معنی لري
\]

۳. د فعالیت ارزښت په مهم ټکي کې وټاکئ:
\[
h(1) = 1e^{-1} = \frac{1}{e}
\]

۴. د ټکي د ماهیت د ټاکلو لپاره دوهم مشتق وکاروئ:
\[
h”(x) = \frac{d}{dx}((1 – x)e^{-x}) = -e^{-x} – (1 – x)e^{-x} = (x – 2)e^{-x}
\]
\[
h”(1) = (1 – 2)e^{-1} = -\frac{1}{e}
\]
څرنګه چې \( h”(1) < 0 \)، نو ټکی \( x = 1 \) یو محلي اعظمي حد دی. د مثال څلورمه ستونزه: منطقي دندې په پای کې، موږ منطقي فعالیت ارزوو: \[ k(x) = \frac{x^2 + 2x}{x - 1} \] ګامونه: ۱. د برخې قاعدې په کارولو سره لومړی مشتق ومومئ: \[ k'(x) = \frac{(2x+2)(x-1) - (x^2+2x)}{(x-1)^2} = \frac{2x^2 - 2x + 2x - 2 - x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2}{(x-1)^2} \] ۲. د \( k'(x) = 0 \) حل کولو له لارې مهم ټکي ومومئ: \[ \frac{x^2 - 2}{(x-1)^2} = 0 \د x^2 - 2 = معنی لري 0 \imply x = \pm \sqrt{2} \] 3. په مهم ټکي کې د فعالیت ارزښت معلوم کړئ: \[ k(\sqrt{2}) = \frac{(\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} = \frac{2 + 2\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} \times \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{(2 + 2\sqrt{2})(\sqrt{2} + 1)}{1} = 4 + 4\sqrt{2} \] \[ k(-\sqrt{2}) = \frac{(-\sqrt{2})^2 + 2(-\sqrt{2})}{-\sqrt{2} - 1} = \frac{2 - 2\sqrt{2}}{-\sqrt{2} - 1} \times \frac{-\sqrt{2} + 1}{-\sqrt{2} + 1} = \frac{(2 - 2\sqrt{2})(-\sqrt{2} + 1)}{1} = -4 + 4\sqrt{2} \] ۴. د ټکي د ځانګړتیاوو د چک کولو لپاره دوهم مشتق وکاروئ: \[ k''(x) = \frac{d}{dx}\left( \frac{x^2 - 2}{(x-1)^2} \right) \] نورې محاسبې د \( k'(x) \) توپیر کولو سره ترسره کیدی شي پایلې به دا په ګوته کړي چې ایا \( x = \sqrt{2} \) او \( x = -\sqrt{2} \) سیمه ایز اعظمي یا لږترلږه ټکي دي. پایله پدې مقاله کې، موږ د څو مثالونو ستونزو په اړه بحث کړی چې ښیې چې څنګه د مختلفو ډولونو دندو افراطیت، یعنی لږترلږه او اعظمي معکوس ارزښتونه، ومومئ. کارول شوي تخنیکونه د مهمو ټکو موندلو لپاره د لومړي مشتق موندل، د ټکو د ماهیت ټاکلو لپاره د دوهم مشتق کارول، او ارزونه شامل دي. په دې ټکو کې فعالیت. دا په محاسبه کې د فعالیتي تحلیل ژورې ډوبولو لپاره یو قوي بنسټ دی.