د حساب د بنسټیز تیورم په اړه د بحث لپاره د مثال پوښتنې
کلکولس د ریاضیاتو یوه مهمه څانګه ده چې د حدودو، مشتقاتو او بشپړتیاوو مفکورې پکې شاملې دي. د کلکولس بنسټیز تیورم (FDTC) یو له هغو بنسټیزو تیورمونو څخه دی چې دا مفکورې سره نښلوي. پدې مقاله کې، موږ به د یو لړ مثالي ستونزو او بحثونو له لارې د کلکولس بنسټیز تیورم تعریف او تطبیق وپلټو.
د کلکولس د بنسټیز تیورم پوهیدل
د کلکولس بنسټیز تیورم له دوو اصلي برخو څخه جوړ شوی دی:
۱. لومړۍ برخه: که چیرې \( f \) په وقفه \([a, b]\) کې یو دوامداره فعالیت وي، او \( F \) په هغه وقفه کې د \( f \) ضد مشتق وي، نو:
\[ \int_a^bf(x) \, dx = F(b) – F(a) \]
۲. دوهمه برخه: که چیرې \( f \) په وقفه \([a, b]\) کې یو دوامداره فعالیت وي، او موږ یو فعالیت \( F \) د لاندې په واسطه تعریفوو:
\[ F(x) = \int_a^xf(t) \, dt \]
بیا \( F \) د \( f \) ضد مشتق دی، یعنې:
\[ ف'(ایکس) = ف(ایکس) \]
د اساسي مفهوم له پوهیدو وروسته، راځئ چې مستقیم د ځینو مثالي پوښتنو او د هغوی بحثونو ته لاړ شو ترڅو د محاسبې د بنسټیز تیورم پلي کول روښانه کړو.
د بحث پوښتنو مثالونه
د مثال ستونزه ۱: د کلکولس د بنسټیز تیورم د لومړۍ برخې کارول
پوښتنه:
د \( f(x) = 3x^2 \) فعالیت ته په پام سره. د \( f(x) \) ناڅرګند بشپړوالی له \( x = 1 \) څخه تر \( x = 4 \) پورې محاسبه کړئ.
بحث:
د دې ستونزې د حل لپاره، موږ باید د \( f(x) \) ضد مشتق \( F(x) \) د \( f(x) \) موندلو ته اړتیا لرو.
لومړی ګام: د \( f(x) = 3x^2 \) ضد مشتق \( F(x) \) ومومئ.
\[ \int 3x^2 \، dx = x^3 + C \]
نو، \( F(x) = x^3 \).
دوهم ګام: د ورکړل شویو بشپړ حدودو په اوږدو کې د \( F(x) \) ارزښت محاسبه کړئ.
\[ \int_1^4 3x^2 \، dx = F(4) – F(1) \]
\[ = ۴^۳ – ۱^۳ \]
\[ = ۶۴ – ۱ \]
\" = 63 \]
نو، بشپړ ارزښت 63 دی.
د مثال پوښتنه ۲: د کلکولس د بنسټیز تیورم د دوهمې برخې کارول
پوښتنه:
که \( F(x) = \int_2^x (2t + 1) \, dt \)، د \( F(x) \) مشتق ومومئ.
بحث:
د محاسبې د بنسټیز تیورم د دوهمې برخې له مخې، که \( F(x) = \int_a^xf(t) \, dt \)، نو \( F'(x) = f(x) \).
د ورکړل شوي وضعیت له مخې:
\[ F(x) = \int_2^x (2t + 1) \, dt \]
بیا د \( F(x) \) مشتق دا دی:
\[ F'(x) = 2x + 1 \]
دریمه بېلګه: د کلکولس د بنسټیز تیورم کارول د ډیرو پیچلو دندو سره
پوښتنه:
د \( f(x) = \sqrt{x} \) په پام کې نیولو سره. د \( f(x) \) ناڅرګند بشپړوالی له \( x = 0 \) څخه تر \( x = 4 \) پورې محاسبه کړئ.
بحث:
لومړی ګام: د \( f(x) = \sqrt{x} \) ضد مشتق \( F(x) \) ومومئ.
\[ \int \sqrt{x} \, dx = \int x^{1/2} \, dx \]
د انټیګرلز اساسي قواعد وکاروئ:
\[ \int x^n \، dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \]
نو:
\[ \int x^{1/2} \، dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C \]
\[ = \frac{2}{3} x^{3/2} + C \]
نو، \( F(x) = \frac{2}{3} x^{3/2} \).
دوهم ګام: د ورکړل شویو بشپړ حدودو په اوږدو کې د \( F(x) \) ارزښت محاسبه کړئ.
\[ \int_0^4 \sqrt{x} \, dx = F(4) – F(0) \]
\[ = \کیڼ( \frac{2}{3} \cdot 4^{3/2} \ښي) – \کیڼ( \frac{2}{3} \cdot 0^{3/2} \ښي) \]
\[ = \frac{2}{3} \cdot 8 – 0 \]
\[ = \frac{16}{3} \]
نو، د بشپړوالي ارزښت \( \frac{16}{3} \) دی.
د مثال څلورمه پوښتنه: د کسري دندو سره یوځای کول
پوښتنه:
د \( f(x) = \frac{2}{x} \) د \( x = 1 \) څخه \( x = 3 \) ته یوځای کړئ.
بحث:
لومړی ګام: د \( f(x) = \frac{2}{x} \) ضد مشتق \( F(x) \) ومومئ.
\[ \int \frac{2}{x} \, dx = 2 \int \frac{1}{x} \, dx \]
موږ پوهیږو چې:
\[ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| +C\]
نو:
\[ \int \frac{2}{x} \، dx = 2 \ln |x| +C\]
او \( F(x) = 2 \ln |x| \).
دوهم ګام: د ورکړل شویو بشپړ حدودو په اوږدو کې د \( F(x) \) ارزښت محاسبه کړئ.
\[ \int_1^3 \frac{2}{x} \، dx = F(3) – F(1) \]
\[ = 2 \ln |3 | – 2 \ln |1| \]
\[ = ۲ \ln ۳ – ۲ \ln ۱ \]
\[ = ۲ \ln ۳ – ۰ \]
\[ = ۲ \ln ۳ \]
نو، د انټیګرل ارزښت \( 2 \ln 3 \) دی.
د مثال پنځمه پوښتنه: د مثلثي دندو بشپړول
پوښتنه:
د \( f(x) = \sin x \) د \( x = 0 \) څخه \( x = \pi \) ته یوځای کړئ.
بحث:
لومړی ګام: د \( f(x) = \sin x \) ضد مشتق \( F(x) \) ومومئ.
\[ \int \ګناه x \، dx = -\cos x + C \]
او \( F(x) = -\cos x \).
دوهم ګام: د ورکړل شویو بشپړ حدودو په اوږدو کې د \( F(x) \) ارزښت محاسبه کړئ.
\[ \int_0^\pi \ګناه x \، dx = F(\pi) – F(0) \]
\[ = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) \]
\[ = -(-1) – (-1) \]
\[ = ۱ – (-۱) \]
\[ = ۱ + ۱ \]
\" = 2 \]
نو، بشپړ ارزښت 2 دی.
پایله
د کلکولس بنسټیز تیورم په عمومي ډول په حسابونو او ریاضي کې یو پیاوړی وسیله ده. د مشتقاتو او بشپړو سره نښلولو سره، دا تیورم موږ ته اجازه راکوي چې د یوې منحني لاندې ساحه محاسبه کړو او د فعالیت بدلون په ډیر ژور ډول درک کړو. د عمل له لارې د دې تیورم پلي کول پوهیدل او ماسټر کول د محاسبې په مهارت کې د مهارت ترلاسه کولو کلیدي ده. دا مقاله یوازې د هغه څه سطحه سکریچ کوي چې د کلکولس بنسټیز تیورم سره ترلاسه کیدی شي، مګر هیله ده چې د یو له خورا بنسټیزو ریاضيکي مفاهیمو سره د کار کولو څرنګوالي روښانه انځور چمتو کړي.
