د لیکلو د فعالیت مشتقاتو په اړه د بحث پوښتنو مثال

د لیکلو د فعالیت مشتقاتو په اړه د بحث کولو لپاره د مثال پوښتنې

د فعالیت مشتق په محاسبه کې یو بنسټیز مفهوم دی، چې ډیری وختونه د ساینس په مختلفو برخو کې کارول کیږي، لکه فزیک، اقتصاد، بیولوژي، او انجینرۍ. د فعالیت مشتق اندازه کوي چې د هغې ارزښت څومره ژر د هغې د خپلواک متغیرونو کې د بدلونونو په اړه بدلون مومي. پدې مقاله کې، موږ به د فعالیت د مشتق لیکلو سره تړلو څو مثالي ستونزو په اړه بحث وکړو، چې د توضیحاتو سره بشپړ شي.

د مثال لومړۍ پوښتنه: د ساده دندو مشتق

پوښتنه: د فعالیت لومړی مشتق ومومئ \( f(x) = 3x^2 + 5x + 7 \).

بحث:
د یو فعالیت د لومړي مشتق د ټاکلو لپاره \( f(x) \)، موږ د توپیر اساسي قواعد کاروو، یعنې:

\[
\frac{d}{dx}(ax^n) = انکس^{n-1}
\]

نو، موږ کولی شو په دې فعالیت کې د هرې اصطلاح مشتق په لاندې ډول محاسبه کړو:

\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(5x) + \frac{d}{dx}(7)
\]

\[
f'(x) = 3 \cdot 2x^{2-1} + 5 \cdot 1x^{1-1} + 0
\]

\[
f'(x) = 6x + 5
\]

نو، د فعالیت لومړی مشتق \( f(x) = 3x^2 + 5x + 7 \) \( f'(x) = 6x + 5 \) دی.

د مثال پوښتنه ۲: د مثلثي دندو مشتقات

پوښتنه: د فعالیت لومړی مشتق ومومئ \( g(x) = \sin(x) + \cos(x) \).

بحث:
موږ د مثلثاتو دندو لپاره د مشتق اساسي قواعد کاروو:

\[
\frac{d}{dx}(\ګناه(x)) = \cos(x)
\]
\[
\frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\ګناه(x)
\]

نو:

\[
g'(x) = \frac{d}{dx}(\ګناه(x)) + \frac{d}{dx}(\cos(x))
\]

\[
g'(x) = \cos(x) – \ګناه(x)
\]

نو، د فعالیت لومړی مشتق \( g(x) = \sin(x) + \cos(x) \) \( g'(x) = \cos(x) – \sin(x) \) دی.

د مثال دریمه پوښتنه: د ضرب فعالیت مشتق

پوښتنه: د فعالیت لومړی مشتق ومومئ \( h(x) = x^2 \sin(x) \).

بحث:
د هغو دندو لپاره چې د دوو دندو محصول وي، موږ د ضرب قاعده کاروو:

\[
\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
\]

فرض کړئ \( u(x) = x^2 \) او \( v(x) = \sin(x) \). بیا:

\[
u'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x
\]

\[
v'(x) = \frac{d}{dx}(\ګناه(x)) = \cos(x)
\]

د ضرب د قاعدې په کارولو سره، موږ کولی شو ولیکو:

\[
h'(x) = [x^2]' \ګناه(x) + x^2 [\ګناه(x)]'
\]

\[
h'(x) = 2x \ګناه(x) + x^2 \cos(x)
\]

نو، د فعالیت لومړی مشتق \( h(x) = x^2 \sin(x) \) دی \( h'(x) = 2x \sin(x) + x^2 \cos(x) \).

د مثال څلورمه پوښتنه: د ترکیبي فعالیت مشتق

پوښتنه: د فعالیت لومړی مشتق \( k(x) = \sin(x^2) \) ومومئ.

بحث:
د هغو دندو لپاره چې د دوو دندو ترکیب وي، موږ د زنځیر قاعده کاروو:

\[
\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)
\]

راځئ چې \( f(u) = \sin(u) \) او \( u = x^2 \). بیا \( f'(u) = \cos(u) \) او \( g'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \).

د زنځیر د قاعدې په کارولو سره، موږ کولی شو ولیکو:

\[
k'(x) = \frac{d}{dx}[\ګناه(x^2)] = \cos(x^2) \cdot 2x
\]

نو، د فعالیت لومړی مشتق \( k(x) = \sin(x^2) \) \( k'(x) = 2x \cos(x^2) \) دی.

د مثال پنځمه پوښتنه: د عقلي دندو مشتق

ستونزه: د فعالیت لومړی مشتق ومومئ \( m(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \).

بحث:
د هغو دندو لپاره چې د دوو دندو برخه وي، موږ د برخې قاعده کاروو:

\[
\frac{d}{dx}\کیڼ اړخ[\frac{u(x)}{v(x)}\ښي اړخ] = \frac{u'(x)v(x) – u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
\]

فرض کړئ \( u(x) = 2x \) او \( v(x) = x^2 + 1 \). بیا:

\[
u'(x) = 2
\]

\[
v'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x
\]

د برخې د قاعدې په کارولو سره، موږ کولی شو ولیکو:

\[
m'(x) = \frac{[2x]'(x^2 + 1) – 2x[x^2 + 1]'}{(x^2 + 1)^2}
\]

\[
m'(x) = \frac{2(x^2 + 1) – 2x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}
\]

\[
m'(x) = \frac{2x^2 + 2 – 4x^2}{(x^2 + 1)^2}
\]

\[
m'(x) = \frac{-(2x^2 – 2)}{(x^2 + 1)^2}
\]

\[
m'(x) = \frac{2 – 2x^2}{(x^2 + 1)^2}
\]

نو، د فعالیت لومړی مشتق \( m(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \) \( m'(x) = \frac{2 – 2x^2}{(x^2 + 1)^2} \) دی.

پایله

په دې مقاله کې، موږ د دندو د مشتقاتو په اړه د ستونزو څو مثالونه بحث کړي دي، چې له ساده دندو، مثلثي دندو، ضرب، ترکیب، او منطقي دندو څخه نیولې تر دي. هره بیلګه د مشتق قواعدو مناسب کارول ښیي، لکه بنسټیز قاعده، د زنځیر قاعده، د ضرب قاعده، او د برخې قاعده. د دې قواعدو د پلي کولو پوهیدل د مختلفو څانګو په اوږدو کې د ډیرو پیچلو محاسبوي ستونزو د حل لپاره خورا مهم دي. تکرار تمرین او روزنه به ستاسو د دندو په توپیر کې د پوهې او مهارتونو پیاوړتیا کې مرسته وکړي.