د برخې لخوا د ویکتور اضافه کولو په اړه د بحث کولو مثال پوښتنې
د ویکتور اضافه کول په فزیک او ریاضیاتو کې یوه بنسټیزه پروسه ده چې د دوو یا ډیرو ویکتورونو د پایلې موندلو لپاره کارول کیږي. د ویکتور اضافه کولو حل کولو لپاره د اجزاو وار طریقه په ځانګړي ډول ګټوره میتود دی، په ځانګړي توګه کله چې د دوه یا دریو ابعادو کې د ویکتورونو سره معامله کیږي. دا مقاله به د اجزاو وار ویکتور اضافه کولو مفهوم تشریح کړي او د څو مثالونو ستونزې او حلونه به وړاندې کړي.
د اجزاو ویکتور اضافه کولو مفهوم
هر ویکتور په دوه بعدي (2D) ځای کې په دوو برخو ویشل کیدی شي: یو x (افقي) جز او یو y (عمودي) جز. په درې بعدي (3D) کې، ویکتورونه یو اضافي جز لري، د z (ژوروالی) جز.
فرض کړئ چې موږ دوه ویکتورونه A او B لرو. د دې ویکتورونو اجزا په لاندې ډول څرګند کیدی شي:
– ویکتور A په 2D کې \(A_x\) او \(A_y\) برخې لري (یا هم \(A_z\) په 3D کې).
– ویکتور B په 2D کې \(B_x\) او \(B_y\) اجزا لري (یا هم \(B_z\) په 3D کې).
د دې دوو ویکتورونو اضافه کول به یو پایله لرونکی ویکتور R تولید کړي چې لاندې برخې لري:
\[ ر_ایکس = الف_ایکس + ب_ایکس \]
\[ R_y = A_y + B_y \]
د درې بعدي ویکتورونو لپاره، د z برخه هم لاندې ده:
\[ ر_ز = الف_ز + ب_ز \]
د پایله لرونکي ویکتور د هرې برخې محاسبه کولو وروسته، موږ کولی شو د پایله لرونکي ویکتور ماډول (شدت) او سمت د فورمول په کارولو سره ومومو:
\[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \] (د دوه بعدي لپاره)
یا د درې بعدي لپاره:
\[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2 + R_z^2} \]
او د پایله لرونکي ویکتور لوري د همغږۍ محورونو زاویه لخوا ټاکل کیدی شي.
نمونې پوښتنې او بحث
پوښتنه ۴
په دوه بعدي الوتکه کې دوه ویکتورونه ورکړل شوي دي:
– الف ختیځ ته \(5 \, \text{unit}\) دی.
– B شمال ته \(3 \, \text{unit}\) دی.
پایله لرونکی ویکتور R معلوم کړئ.
بحث
لومړی، موږ ویکتور د هغې اړوندو برخو ته واړوو.
– ویکتور A : \(A = (5, 0)\) ځکه چې دا یوازې د x جز لري.
– ویکتور B : \(B = (0, 3)\) ځکه چې دا یوازې د y جز لري.
دلته د اجزاو مجموعه ده:
\[ R_x = A_x + B_x = 5 + 0 = 5 \]
\"R_y = A_y + B_y = 0 + 3 = 3 \]
بیا پایله لرونکی ویکتور R دا دی:
\[ ر = (۵، ۳) \]
د ویکتور R اوږدوالی (ماډول) محاسبه کولو لپاره:
\[ |R| = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \نږدې 5.83 \]
د ویکتور R لوري د ایکس محور ته د θ زاویې په کارولو سره محاسبه کیدی شي:
\[ \تان(\تیټا) = \فریک{R_y}{R_x} = \فریک{3}{5} \]
\[ \theta = \arctan\left(\frac{3}{5}\right) \تقریبا 30.96^\circ \]
په دې توګه، پایله لرونکی ویکتور R شاوخوا 5.83 واحدونه اوږدوالی لري او د ایکس محور سره د 30.96° زاویه جوړوي.
پوښتنه ۴
په درې ابعادو کې دوه ویکتورونه ورکړل شوي:
– الف \(3\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}\) دی
– B دی \(1\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}\)
پایله لرونکی ویکتور R معلوم کړئ.
بحث
لومړی، موږ د هر ویکتور اجزا په ګوته کوو:
– ویکتور الف : \(A_x = 3\)، \(A_y = 2\)، \(A_z = 1\).
– ویکتور ب : \(B_x = 1\)، \(B_y = 4\)، \(B_z = 2\).
دلته د اجزاو مجموعه ده:
\[ R_x = A_x + B_x = 3 + 1 = 4 \]
\"R_y = A_y + B_y = 2 + 4 = 6 \]
\[ R_z = A_z + B_z = ۱ + ۲ = ۳ \]
بیا پایله لرونکی ویکتور R دا دی:
\[ ر = (۴، ۶، ۳) \]
د ویکتور R اوږدوالی (ماډول) محاسبه کولو لپاره:
\[ |R| = \sqrt{4^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 36 + 9} = \sqrt{61} \نږدې 7.81 \]
د x، y، او z محورونو په پرتله د ویکتور R لوري د ډایرکټر د کوزین په کارولو سره محاسبه کیدی شي:
\[ \cos(\alpha) = \frac{R_x}{|R|} = \frac{4}{7.81} \نږدې 0.512 \]
\[ \الفا = \آرکوس (0.512) \تقریبا 59.50^\سرک \]
\[ \cos(\beta) = \frac{R_y}{|R|} = \frac{6}{7.81} \نږدې 0.768 \]
\[ \بیټا = \آرکوس(۰.۷۶۸) \تقریبا ۳۹.۵۰^\سرک \]
\[ \cos(\gamma) = \frac{R_z}{|R|} = \frac{3}{7.81} \نږدې 0.384 \]
\[ \ګاما = \آرکوس(0.384) \تقریبا 67.64^\سرک \]
په دې توګه، پایله لرونکی ویکتور R شاوخوا 7.81 واحدونه اوږدوالی لري او د x، y، او z محورونو په پرتله یې لارښوونې 59.50°، 39.50°، او 67.64° دي.
پوښتنه ۴
دوه ویکتورونه ورکړل شوي:
– P د 4 واحدونو شدت لري او د مثبت ایکس محور ته 45 درجې زاویه جوړوي.
– Q د ۶ واحدونو شدت لري او د مثبت ایکس محور ته د ۱۲۰ درجې زاویه جوړوي.
پایله لرونکی ویکتور R معلوم کړئ.
بحث
لومړی، موږ ویکتور د هغې په x او y برخو ویشو:
– ویکتور P : \(P_x = 4\cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \تقریباً 2.83\)، \(P_y = 4\sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \تقریباً 2.83\).
– ویکتور Q : \(Q_x = 6\cos(120^\circ) = 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -3\)، \(Q_y = 6\sin(120^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \تقریبا 5.2\).
دلته د اجزاو مجموعه ده:
\[ R_x = P_x + Q_x = 2.83 – 3 = -0.17 \]
\[ R_y = P_y + Q_y = 2.83 + 5.2 = 8.03 \]
بیا، پایله لرونکی ویکتور R دا دی:
\[ ر = (-0.17، 8.03) \]
د ویکتور R اوږدوالی (ماډول) محاسبه کولو لپاره:
\[ |R| = \sqrt{(-0.17)^2 + 8.03^2} = \sqrt{0.0289 + 64.48} = \sqrt{64.509} \شاوخوا 8.03 \]
د ویکتور R لوري:
\[ \تان(\تیټا) = \فریک{R_y}{R_x} = \فریک{8.03}{-0.17} = -47.24 \]
\[ \تیټا = \آرکټان (-۴۷.۲۴) \تقریبا -۸۸.۹۹^\سرک \]
په هرصورت، دا زاویه د منفي ایکس محور په شاوخوا کې اندازه کیږي، نو د ستونزې په شرایطو کې اصلي زاویه دا ده:
\[ ۱۸۰^\سرک – ۸۸.۹۹^\سرک \تقریبا ۹۱.۰۱^\سرک \]
په دې توګه، پایله لرونکی ویکتور R شاوخوا 8.03 واحدونه اوږدوالی لري او د مثبت ایکس محور سره د 91.01° زاویه جوړوي.
په دې مقاله کې د اجزاو له مخې د ویکتورونو د اضافه کولو په اړه بحث شوی، چې څو مثالونه یې ستونزې او حلونه وړاندې کړي دي. د اجزاو له مخې طریقه د محاسبې ساده کولو او د فضا په ریاضيکي ابعاد کې د ویکتورونو د ستونزو د حل لپاره د سیستماتیک لارې چمتو کولو کې خورا ګټوره ده.
