د عادي ویش د متوقع ارزښت په اړه د بحث پوښتنې مثال
نورمال ویش، چې د ګاوزی ویش په نوم هم پیژندل کیږي، په احصایو او احتمالاتو کې یو له خورا ډیر کارول شوي دوامداره احتمالي ویشونو څخه دی. دا ویش ډیری وختونه د هغې د مناسب ریاضيکي ځانګړتیاو له امله په مختلفو احصایوي استنباطاتو کې د بنسټیز انګیرنې په توګه کارول کیږي، لکه همغږي او د اوسط (µ) او معیاري انحراف (σ) سره د پیرامیټر کولو کې د هغې ځانګړتیا. دا مقاله به د مثالونو په اړه بحث وکړي او د نورمال ویش د متوقع ارزښت په اړه به بحث وکړي ترڅو د دې مفهوم ژوره پوهه چمتو کړي.
د نورمال ویش پوهیدل
نورمال ویش د یو متوازي زنګ منحني په واسطه ښودل شوی، چې ډیری ارزښتونه د منځنۍ ارزښت یا اوسط شاوخوا متمرکز دي. د دې ویش دننه، اوسط (µ) او معیاري انحراف (σ) دوه مهم پیرامیټرونه دي چې په معلوماتو کې د خپریدو موقعیت او اندازه ټاکي.
د نورمال ویش د احتمال کثافت فعالیت (PDF) دا دی:
\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x – \mu)^2}{2\sigma^2}}\]
چیرته:
– \( \mu \) اوسط یا اوسط دی
– \( \sigma \) معیاري انحراف دی
– \( x \) یو ناڅاپي متغیر دی
په نورمال ویش کې تمه شوی ارزښت
د یو ناڅاپي متغیر متوقع ارزښت د عادي ویش سره د ویش د اوسط سره مساوي دی. که \( X \sim N(\mu, \sigma^2) \) وي، نو متوقع ارزښت \( E(X) \) دی:
\[ ای (ایکس) = \مونو \]
راځئ چې د خپل پوهاوي د پیاوړتیا لپاره په نورمال ویش کې د متوقع ارزښتونو په اړه د ستونزو ځینې مثالونو سره دوام ورکړو.
نمونې پوښتنې او بحث
د مثال دریمه پوښتنه:
فرض کړئ \( X \) یو عادي ویشل شوی تصادفي متغیر دی چې \( \mu = 50 \) او \( \sigma = 10 \) لري. د \( X \) تمه شوی ارزښت محاسبه کړئ.
بحث:
لکه څنګه چې مخکې یادونه وشوه، په عادي ویش کې، تمه شوې ارزښت \( E(X) \) د \( \mu \ سره مساوي دی. نو،
\[ ای (ایکس) = \مونو = ۵۰ \]
د مثال دریمه پوښتنه:
ورکړل شوی یو ناڅاپي متغیر \( Y \) په نورمال ډول د \( \mu = 120 \) او \( \sigma = 15 \) سره ویشل کیږي. د \( Y \) تمه شوی ارزښت ومومئ.
بحث:
د لومړي مثال په څیر، د \( Y \) تمه شوی ارزښت د نورمال ویش منځنی ارزښت یا اوسط دی، یعنې:
\[ E(Y) = \mu = ۱۲۰ \]
د مثال دریمه پوښتنه:
که چیرې تصادفي متغیر \( Z \) د \( \mu = 0 \) او \( \sigma = 1 \) (معیاري نورمال ویش) سره یو عادي ویش تعقیب کړي، نو د \( Z \) تمه شوې ارزښت څومره دی؟
بحث:
د معیاري نورمال ویش اوسط \( \mu = 0 \) لري، نو تمه شوې ارزښت \( E(Z) \) دا دی:
\[ ای (ز) = \م = ۰ \]
د مثال دریمه پوښتنه:
فرض کړئ \( W \) یو عادي ویشل شوی تصادفي متغیر دی چې اوسط \( \mu = 75 \) او معیاري انحراف \( \sigma = 20 \) لري. که موږ یو نوی تصادفي متغیر \( V = 2W + 3 \) تعریف کړو، نو د \( V \) تمه شوی ارزښت څومره دی؟
بحث:
د \( V \) د متوقع ارزښت موندلو لپاره، موږ باید د متوقع ارزښت د خطي ملکیت وکاروو. ورکړل شوی \( V = 2W + 3 \)، نو:
\[ E(V) = E(2W + 3) \]
د متوقع ارزښت د خطي ملکیت پراساس، موږ کولی شو ثابت له تصادفي متغیر څخه جلا کړو:
\[ E(V) = 2E(W) + E(3) \]
په دې پوهیدل چې د ثابت تمه شوی ارزښت پخپله ثابت دی:
\"E(3) = 3 \]
او د \( W \) تمه شوی ارزښت د نورمال ویش اوسط دی \( W \):
\[ E(W) = \mu = 75 \]
نو،
\[ E(V) = ۲ \ ځله ۷۵ + ۳ \]
\[ E(V) = ۱۵۰ + ۳ \]
\[ E(V) = ۱۵۳ \]
د مثال دریمه پوښتنه:
تصادفي متغیر \( Q \) د اوسط \( \mu = 40 \) او معیاري انحراف \( \sigma = 5 \) سره یو عادي ویش تعقیبوي. که \[ U = Q/2 \] وي نو د \( Q \) تمه شوې ارزښت څومره دی؟
بحث:
موږ د څلورم مثال په څیر ورته اصل کاروو، یعنې د تمه شوي ارزښت د خطي ملکیت. په پام کې نیولو سره چې \( U = Q/2 \)، نو:
\[ E(U) = E\کیڼ(\frac{Q}{2}\ښي) \]
د تمه شوي ارزښت د خطي ملکیت پر بنسټ:
\[ E(U) = \frac{1}{2} E(Q) \]
موږ پوهیږو چې د \( Q \) تمه شوی ارزښت د نورمال ویش اوسط دی \( Q \):
\[ E(Q) = \mu = 40 \]
نو،
\[ E(U) = \frac{1}{2} \40 ځله \]
\[ E(U) = 20 \]
پایله
په یوه عادي ویش کې، د یو ناڅاپي متغیر متوقع ارزښت تل د ویش د اوسط (µ) سره مساوي وي. پورته ذکر شوي مثال ستونزې د خطي ملکیت په کارولو سره د تمه شوي ارزښت محاسبه کولو لپاره مختلف شرایط ښیې. د دې اساسي مفهوم پوهیدل په احصایو او احتمال کې د عادي ویش ستونزو اداره کول اسانه کوي.
نورمال ویش په احصایو کې خورا مهم دی ځکه چې دا په پراخه کچه عملي غوښتنلیکونو کې کارول کیږي، پشمول د فرضیې ازموینې، د پیرامیټر اټکل، او مختلف نور احصایوي استنباطات. د دې ویش د تمه شوي ارزښت ښه پوهه د معلوماتو تحلیل کې یو مهم لومړی ګام دی.
هیله ده چې دا مقاله به د عادي ویش کې د متوقع ارزښت روښانه او ګټور وضاحت د اړونده مثال پوښتنو او بحثونو سره یوځای وړاندې کړي.
