Ruch kołowy – zadania i rozwiązania

Ruch kołowy – problemy i rozwiązania

1. Ciało o masie 10 kg porusza się po okręgu ze stałą prędkością 4 m/s. Jeśli promień okręgu wynosi 0.5 metra, to:

1) Częstotliwość okręgów wynosi 4/π Hz

2) Przyspieszenie dośrodkowe wynosi 32 ms ^-2

3) Siła dośrodkowa wynosi 320 N

4) Okres wynosi 4π s.

Które stwierdzenia są prawdziwe?

Znany:

Masa obiektu (m) = 10 kg

Prędkość liniowa (v) = 4 m/s

Promień okręgu (r) = 0.5 metra

rozwiązanie:

1) Częstotliwość okręgu

v = 2 π rf

4 = 2 π (0.5) f

4 = π f

f = 4/π herców

2) Przyspieszenie dośrodkowe

a _s = v ² / r = 4 ² / 0,5 = 16 / 0,5 = 32 m/s ²

3) Siła dośrodkowa

F = ma _s = (10)(32) = 320 N

4) Okres

T = 1 : f = 1 : 4/π = 1 x π/4 = π/4

2. Obiekt porusza się po okręgu o promieniu 6 metrów. Jeśli obiekt zatoczył 16 okręgów w ciągu 2 minut, jaka jest jego prędkość liniowa?

Znany:

Promień (r) = 6 metrów

Prędkość kątowa (ω) = 16 obrotów / 2 minuty = 8 obrotów / minuty = 8 obrotów / 60 sekund = 0.13 obrotów na sekundę.

Poszukiwana: prędkość liniowa (v)?

rozwiązanie:

v = r ω = (6 metrów)(0.13 obrotów na sekundę) = 0.8 metra na sekundę

W radianach:

1 obrót = 2π radianów = 2(3.14) = 6.28 radianów

Prędkość kątowa = 8 (6.28) radianów / 60 sekund = 50.24 radianów / 60 sekund = 0.84 radianów na sekundę

v = r ω = (6 metrów)(0.84 radianów na sekundę) = 5.04 radianów na sekundę.

3. Obiekt o promieniu 20/π cm obraca się 4 razy w ciągu 1 sekundy. Jaka jest prędkość liniowa krawędzi obiektu?

Znany:

Promień (r) = 20/π cm = 20 / 3.14 cm = 6.4 cm = 0.064 metra

Prędkość kątowa (ω) = 4 obroty / 1 sekunda = 4 obroty / sekundę.

1 obrót = (2)(3.14) radianów = 6.28 radianów

Prędkość kątowa (ω) = (4)(6.28) radianów na sekundę = 25.12 radianów na sekundę

Poszukiwana: prędkość liniowa krawędzi obiektu (v)

rozwiązanie:

v = r ω = (0.064 metra)(25.12 radianów na sekundę) = 1.6 metra na sekundę

4. Obiekt porusza się po okręgu ze stałą prędkością. Prędkość liniowa obiektu zależy od…

rozwiązanie:

Równanie prędkości liniowej ruchu kołowego:

v = prędkość liniowa

d = 2πr = obwód

T = okres = czas potrzebny na wykonanie jednego pełnego obrotu.

5. Obiekt porusza się po okręgu o promieniu 50 metrów. Jeśli prędkość kątowa obiektu wynosi 120 obr./min, jaki jest odstęp czasu i prędkość liniowa obiektu?

Znany:

Promień (r) = 50 cm = 0.5 metra

Prędkość kątowa (ω) = 120 obr./min = 120 obrotów / 1 minuta = 120 obrotów / 60 minut = 2 obroty / 1 sekunda

1 obrót = 2π radianów

Prędkość kątowa (ω) = 2 (2π radianów) / 1 sekunda = 4π radianów/sekundę

Poszukiwany: przedział czasu (T) i prędkość liniowa (v)

rozwiązanie:

Koniec dyskusji) :

Okres to czas potrzebny na wykonanie jednego pełnego obrotu.

Obiekt wykonuje dwa obroty w ciągu 1 sekundy = 1 obrót na 0.5 sekundy. Okres = 0.5 sekundy.

Prędkość liniowa (v):

v = r ω = (0.5 metra)(4π radianów/sekundę) = 2π metrów/sekundę.

Jaka jest różnica między prędkością styczną a prędkością kątową w ruchu kołowym?
Odpowiedź : Prędkość styczna to prędkość liniowa punktu na obracającym się obiekcie i wskazuje, jak szybko punkt porusza się po torze kołowym. Prędkość kątowa natomiast odnosi się do szybkości zmiany kąta podczas obrotu obiektu. Prędkość styczna jest zazwyczaj mierzona w metrach na sekundę (m/s), natomiast prędkość kątowa w radianach na sekundę (rad/s).
Czym jest przyspieszenie dośrodkowe i jaki ma związek z ruchem kołowym?
Odpowiedź : Przyspieszenie dośrodkowe to przyspieszenie, jakiego doświadcza obiekt poruszający się po torze kołowym. Jest ono zawsze skierowane w stronę środka okręgu i odpowiada za utrzymanie obiektu na torze kołowym. Wzór na przyspieszenie dośrodkowe to: $a_{c} = v ^{2 /r}$ , gdzie $v$ to prędkość styczna, a $r$ to promień okręgu.
Dlaczego obiekt poruszający się ruchem jednostajnym po okręgu ma przyspieszenie, nawet jeśli jego prędkość jest stała?
Odpowiedź : Podczas gdy wartość (lub wielkość) prędkości pozostaje stała w ruchu jednostajnym po okręgu, kierunek prędkości ulega zmianie. Ponieważ przyspieszenie definiuje się jako zmianę prędkości, a prędkość jest wielkością wektorową, posiadającą zarówno wartość, jak i kierunek, każda zmiana kierunku stanowi przyspieszenie. W tym przypadku jest to przyspieszenie dośrodkowe.
Jaki jest związek między siłą potrzebną do utrzymania ruchu po okręgu a masą obiektu i promieniem okręgu?
Odpowiedź : Siła wymagana do utrzymania ruchu po okręgu jest dana wzorem na siłę dośrodkową: $F_{c} = m \times a_{c} = m \times v ^{2 /r}$
Dlaczego czujesz się wypychany na zewnątrz, gdy samochód bierze ostry zakręt (np. na rondzie)?
Odpowiedź : Dzieje się tak z powodu „fikcyjnej” siły odśrodkowej, która jest siłą pozornie działającą na zewnątrz na ciało poruszające się po okręgu. Nie jest to rzeczywista siła w sensie pchania lub ciągnięcia, lecz raczej efekt bezwładności. Twoje ciało chce poruszać się po linii prostej (pierwsze prawo Newtona), ale ściany samochodu lub pas bezpieczeństwa wywierają siłę, która utrzymuje cię w ruchu po okręgu. To powoduje wrażenie bycia wypychanym na zewnątrz.
Jaką rolę odgrywa tarcie w ruchu okrężnym, zwłaszcza gdy samochód skręca na drodze?
Odpowiedź : Tarcie między oponami a drogą zapewnia niezbędną siłę dośrodkową, która umożliwia samochodowi skręcanie. Bez wystarczającego tarcia samochód wpadałby w poślizg, nie podążając zamierzonym torem okrężnym.
Jak zmieni się siła dośrodkowa, jeżeli promień toru kołowego zmniejszy się o połowę, a prędkość pozostanie taka sama?
Odpowiedź : Jeżeli promień zmniejszymy o połowę, a prędkość pozostanie taka sama, siła dośrodkowa się podwoi, ponieważ siła dośrodkowa jest odwrotnie proporcjonalna do promienia.
Dlaczego w ruchu kołowym nie może występować siła odśrodkowa bez siły dośrodkowej?
Odpowiedź : Siła odśrodkowa to siła reaktywna lub „fikcyjna” obserwowana w obracającym się układzie odniesienia. Wydaje się, że wypycha obiekty na zewnątrz od środka obrotu. Jednak aby obiekt poruszał się po torze kołowym, musi istnieć rzeczywista siła działająca w kierunku środka, czyli siła dośrodkowa. Bez siły dośrodkowej ruch kołowy w ogóle nie byłby możliwy, a zatem nie byłoby postrzegania siły odśrodkowej.
W jaki sposób siła grawitacji między Ziemią i Księżycem odpowiada za kołową orbitę Księżyca?
Odpowiedź : Siła grawitacyjna między Ziemią a Księżycem działa jak siła dośrodkowa, która utrzymuje Księżyc na orbicie wokół Ziemi. Bez tego przyciągania grawitacyjnego Księżyc poruszałby się po linii prostej, a nie po orbicie kołowej (a dokładniej eliptycznej).
Jak zmieni się naprężenie sznurka, jeśli sznurek przywiązany do piłki skrócimy o połowę, a piłkę będziemy kręcić po okręgu z tą samą prędkością?

Odpowiedź : Jeśli długość struny (odpowiadająca promieniowi toru kołowego) zostanie zmniejszona o połowę, przy zachowaniu stałej prędkości, wymagana siła dośrodkowa (a tym samym naprężenie struny) podwoi się. Dzieje się tak, ponieważ siła dośrodkowa (i, w zależności od scenariusza, naprężenie struny) jest odwrotnie proporcjonalna do promienia.