11 przykładów problemów z ruchem jednostajnym po okręgu
1. Cząstka porusza się po okręgu ze stałą prędkością kątową 10 rad/s. Wyznacz (a) prędkość kątową cząstki po 10 sekundach (b) kąt, jaki tworzy cząstka po 10 sekundach.
Pembahasan
(a) prędkość kątowa po 10 sekundach
Cząstka porusza się po jednorodnym okręgu = cząstka porusza się ze stałą prędkością kątową. Zatem prędkość kątowa po 10 sekundach wynosi 10 radianów na sekundę.
(b) kąt zamknięty po 10 sekundach
Stała prędkość kątowa 10 radianów na sekundę oznacza, że co sekundę cząstka obraca się o kąt 10 radianów. Po 2 sekundach cząstka obraca się o kąt 2 x 10 = 20 radianów. Po 10 sekundach cząstka obraca się o kąt 10 x 10 radianów = 100 radianów.
2. Punkt na krawędzi walca porusza się po okręgu ze stałą prędkością 10 m/s. Promień walca wynosi 1 metr. Wyznacz (a) prędkość krawędzi walca 5 sekund później, (b) odległość przebytą przez krawędź walca 5 sekund później, (c) przyspieszenie dośrodkowe punktów znajdujących się w odległości 0,5 metra i 1 metra od osi obrotu.
Pembahasan
(A) prędkość punktu na krawędzi walca po 5 sekundach
Cylinder porusza się po okręgu ze stałą prędkością, zatem po 5 sekundach prędkość krawędzi cylindra wynosi nadal 10 metrów na sekundę.
(B) odległość przebyta przez punkt na krawędzi walca po 5 sekundach
Bez formuły
Prędkość 10 metrów na sekundę oznacza, że punkt na krawędzi walca przesuwa się o 10 metrów w ciągu 1 sekundy. Po 1 sekundzie punkt na krawędzi walca przesuwa się o 10 metrów. Po 2 sekundach punkt na krawędzi walca przesuwa się o 20 metrów. Po 5 sekundach punkt na krawędzi walca przesuwa się po okręgu o 50 metrów.
Korzystając ze wzoru :
v = s / t
s = vt = (10)(5) = 50 metrów
(C) przyspieszenie dośrodkowe (as)
Przyspieszenie dośrodkowe punktu oddalonego o 0,5 metr od osi wynosi:
as = v2 / r = 102 / 0,5 = 100 / 0,5 = 200 m/s2
Przyspieszenie dośrodkowe punktu oddalonego o 1 metr od osi wynosi:
as = v2 / r = 102 / 0,5 = 100 / 1 = 100 m/s2
3. Gramofon o promieniu 2 metrów porusza się ze stałą prędkością kątową 60 obr./min. Wyznacz (a) prędkość kątową gramofonu 2 sekundy później, (b) kąt, jaki zakreśla gramofon po 1 minucie, (b) prędkość styczną, przyspieszenie dośrodkowe i odległość przebytą przez punkt oddalony o 1 metr od osi obrotu, (c) prędkość styczną, przyspieszenie dośrodkowe i odległość przebytą przez punkt na krawędzi gramofonu.
Pembahasan
Wiadomo, że :
Odpowiedź :
(A) prędkość kątowa ( ) po 2 sekundach
Prędkość kątowa jest stała, zatem po 2 sekundach prędkość kątowa stołu obrotowego pozostaje równa 6,28 radianów na sekundę
(B) narożnik ( ) otoczony talerzem obrotowym po 1 minucie
Prędkość kątowa 1 obrót na sekundę oznacza, że co sekundę gramofon wykonuje jeden obrót. Po 60 sekundach gramofon wykonał 60 obrotów. Inaczej mówiąc,
Prędkość kątowa 6,28 radianów na sekundę oznacza, że co sekundę gramofon obraca się o kąt 6,28 radianów. Po 60 sekundach gramofon obrócił się o kąt 376,8 radianów.
4. Koło samochodu zawsze wykonuje 120 obrotów na minutę. Jaka jest prędkość kątowa koła? Podaj ją w: (a) obrotów na minutę (rpm) lub obroty na minutę (b) stopnie na sekundę (o/s) (c) radiany na sekundę (rad/s)
Pembahasan
(A) prędkość kątowa koła w obrotach na minutę (obr./min)
120 obrotów / 60 sekund = 120 obrotów / 1 minuta = 120 obrotów / minuta = 120 obr./min
(B) prędkość kątowa koła w stopniach na sekundę (o/ s)
1 obrót = 360o, 120 obrotów = 43200o
Tak więc 120 obrotów / 60 sekund = (120)(360o) / 60 sekund = 43200o / 60 sekund = 720o/drugi
(C) prędkość kątowa koła w radianach na sekundę (rad/s)
1 obrót = 6,28 radianów
Tak więc 120 obrotów / 60 sekund = (120)(6,28) radianów / 60 sekund = 753,6 radianów / 60 sekund = 12,56 radianów na sekundę
5. Kulka jest wirowana w okrągłej misie o średnicy 1 m. Jeżeli kulka obraca się wokół krawędzi misy ze stałą prędkością kątową równą 50 obr./min, to prędkość liniowa i przyspieszenie dośrodkowe kulki wynoszą….
A. 50 ms-1 i 2500 ms-2
B. 5π ms-1 i 25π2 SM-2
C. 5π/3 ms-1 i 25π2/18 ms-2
D. 5π/6 ms-1 i 25π2/18 ms-2
E. 5π/12 ms-1 i 25π2/36 ms-2
Pembahasan
Wiadomo, że:
Średnica koła (D) = 1 metr
Promień okręgu (r) = 0,5 metra
Prędkość kątowa (ω) = 50 obr./min = 50 obrotów / 1 minuta
1 obrót = 2π radianów
50 obrotów = 50 (2π radianów) = 100π radianów
1 minuta = 60 sekund
Prędkość kątowa (ω) = 100π radianów / 60 sekund = (10π/6) radianów/sekundę
Pytanie: Prędkość liniowa (v) i przyspieszenie dośrodkowe (a)s)
Jawab:
Prędkość liniowa (v):
v = r ω = (0,5)(10π/6) = 5π/6 m/s
Przyspieszenie dośrodkowe (a)s)
as = v2/r = (5π/6)2 : 0,5 = 25π2/36 : 0,5 = (25π2/36)(1/0,5)
as = (25π2/18) m/s2
Prawidłowa odpowiedź to D.
6. Obiekt porusza się po okręgu o promieniu 50 cm. Jeśli obiekt obraca się z prędkością 120 obr./min, to czas obrotu i prędkość obiektu wynoszą odpowiednio…
A. 0,5 s i 2π ms-1
B. 0,5 s i 0,2π ms-1
C. 0,5 s i π ms-1
D. 2 s i 5π ms-1
E. 2 s i 10π ms-1
Pembahasan
Wiadomo, że:
Promień (r) = 50 cm = 0,5 metra
Prędkość kątowa (ω) = 120 obr./min = 120 obrotów / 1 minuta = 120 obrotów / 60 minut = 2 obroty / 1 sekunda
1 obrót = 2π radianów
Prędkość kątowa (ω) = 2 (2π radianów) / 1 sekunda = 4π radianów/sekundę
Pytanie: Czas obrotu (T) i prędkość liniowa (v)
Jawab:
Czas cyklu lub okres (T):
Okres to czas, w którym obiekt wykonuje jeden obrót.
Obiekt wykonuje 2 obroty na sekundę = obiekt wykonuje 1 obrót na 0,5 sekundy. Zatem czas lub okres obrotu wynosi 0,5 sekundy.
Prędkość obiektu (v):
v = r ω = (0,5 metra)(4π radianów/sekundę) = 2π metrów/sekundę
Prawidłowa odpowiedź to A.
Aby lepiej zrozumieć dyskusję na temat tego zagadnienia, zapoznaj się z materiałem dotyczącym ruchu kołowego i regularnego ruchu po okręgu .
7. Koło o promieniu 10 cm obraca się ruchem jednostajnym, wykonując 180 obrotów na minutę. Prędkość liniowa punktu na krawędzi koła wynosi…
Pembahasan
Wiadomo, że:
Zapytano:
Prędkość liniowa (v) ?
Jawab:
Punkt na krawędzi koła znajduje się 0,1 metra od środka koła.
Prawidłowa odpowiedź to A.
8. Obiekt porusza się ze stałą prędkością v po torze kołowym o promieniu R z przyspieszeniem dośrodkowym (as). Tak więc przyspieszenie dośrodkowe stanie się trzykrotnie większe od pierwotnego, wtedy...
A. v jest powtórzone 4 razy, a R jest powtórzone 2 razy
B. v jest powtórzone 2 razy, a R jest powtórzone 4 razy
C. v jest powtórzone 3 razy, a R jest powtórzone 3 razy ponownie
D. v pozostaje, a R jest ponownie podwojone
E. v jest ponownie podwojone, a R pozostaje
Pembahasan
Prawidłowa odpowiedź to C.
9. Koła A, B i C są połączone ze sobą, jak pokazano na rysunku. Jeśli promienie kół A, B i C wynoszą odpowiednio 10 cm, 4 cm i 2 cm, a koło B obraca się z prędkością kątową 5 rad.s-1 następnie koło C obraca się z prędkością kątową….
A. 80 rad.s-1
B. 55 rad.s-1
C. 40 rad.s-1
D. 25 rad.s-1
E. 10 rad.s-1
Pembahasan
Wiadomo, że:
Jawab:
Relacja między kołem A i kołem B
Koła A i B są ze sobą połączone, więc obracają się razem. Ponieważ obracają się razem, prędkość kątowa koła A jest równa prędkości kątowej koła B.
Związek między kołem A i kołem C
Obwód koła A jest znacznie większy niż obwód koła C. Jeżeli koło C przyjęło kąt 360°,o lub wykonaj jeden obrót, w tym samym czasie koło A nie osiągnęło 360 stopnio lub jeden obrót. Zatem prędkość kątowa koła A nie jest taka sama jak prędkość kątowa koła C.
Jednakże koła A i C są połączone liną. Ponieważ są połączone liną, w tym samym przedziale czasu odległość przebyta przez krawędź koła A jest równa odległości przebytej przez krawędź koła C. Zatem prędkość liniowa koła A jest równa prędkości liniowej koła B.
Wniosek :
Prawidłowa odpowiedź to D.
10. Obiekt zjednostajny ruch okrężny o promieniu 6 metrów. Jeżeli w ciągu 2 minut obiekt wykona 16 obrotów, to prędkość liniowa obiekt jest….
A. 0,8 p ms-1
B. 1,0 p ms-1
C. 1,2 p ms-1
D. 1,4 p ms-1
E. 1,6 p ms-1
Pembahasan
Wiadomo, że:
Promień (r) = 6 metrów
Prędkość kątowa (ω) = 16 obrotów / 2 minuty = 8 obrotów / minutę = 8 obrotów / 60 sekund = 0,13 obrotów / sekundę.
Pytanie: prędkość liniowa (v)?
Jawab:
Wzór na zależność między prędkością liniową (v) a prędkość kątowa (ω) :
v = r ω = (6 metrów)(0,13 obrotów na sekundę) = 0,8 obrotów na sekundę
Prawidłowa odpowiedź to A.
Jeżeli wyrażone w radianach:
1 obrót = 2π radianów = 2(3,14) = 6,28 radianów
Prędkość kątowa = 8 (6,28) radianów / 60 sekund = 50,24 radianów / 60 sekund = 0,84 radianów/sekundę
v = r ω = (6 metrów)(0,84 radianów na sekundę) = 5,04 radianów na sekundę
11. Śmigło wentylatora o promieniu 20/π cm może obrócić się 4 razy w ciągu 1 sekundy. Prędkość liniowa końcówki śmigła wynosi…
A. 3,2 ms-1
B. 1,6 ms-1
C. 1,3 ms-1
D. 1,0 ms-1
E. 0,8 ms-1
Pembahasan
Wiadomo, że:
Promień (r) = 20/π m = 20 / 3,14 cm = 6,4 cm = 0,064 metra
Prędkość kątowa (ω) = 4 obroty / 1 sekunda = 4 obroty/sekundę
1 obrót = (2)(3,14) radianów = 6,28 radianów
Prędkość kątowa (ω) = (4)(6,28) radianów na sekundę = 25,12 radianów na sekundę
Pytanie: prędkość liniowa (v) końcówki śmigła?
Jawab:
v = r ω = (0,064 metra)(25,12 radianów na sekundę) = 1,6 metra na sekundę
Prawidłowa odpowiedź to B.
