ਕਰਾਸ ਗੁਣਾ

ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ ਵੈਕਟਰ A ਅਤੇ B, ਦੇ ਕਰਾਸ ਉਤਪਾਦ ਨੂੰ A x B ( A ਕਰਾਸ B ) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ । ਕਰਾਸ ਉਤਪਾਦ ਨੂੰ ਵੈਕਟਰ ਉਤਪਾਦ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਸ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਮਾਤਰਾ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਵੈਕਟਰ A ਅਤੇ ਵੈਕਟਰ B ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਤਸਵੀਰ ਵਾਂਗ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦੇ ਹਨ।

ਵੈਕਟਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਲਈ A ਅਤੇ B (A x B), ਅਸੀਂ ਵੈਕਟਰ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ A ਅਤੇ B ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਉੱਪਰ ਦਿੱਤੀ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਤੇ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ ਵੈਕਟਰ ਕੰਪੋਨੈਂਟ B, A ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ B sin theta ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। A ਅਤੇ B (A x B) ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਮਾਪ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ A ਵੈਕਟਰ ਹਿੱਸਿਆਂ ਦੇ ਨਾਲ B ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਲੰਬਵਤ A.

ਕੀ ਹੋਵੇਗਾ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ A x B ਨੂੰ B x A ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਦੇਈਏ?

ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਵੈਕਟਰ B ਅਤੇ A ਅਤੇ ਵੈਕਟਰ A ਦੇ ਹਿੱਸਿਆਂ ਨੂੰ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ ਜੋ B ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹਨ।

ਇਸ ਚਿੱਤਰ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਵੈਕਟਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ B ਅਤੇ A (B x A) ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਮਾਪ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ B ਵੈਕਟਰ ਹਿੱਸਿਆਂ ਦੇ ਨਾਲ A ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਲੰਬਵਤ Bਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ:

ਕਰਾਸ ਗੁਣਾ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ A x B

ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਨਤੀਜਾ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਦੋਵੇਂ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਵੈਕਟਰ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦਾ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਉੱਪਰ ਲਿਆ ਗਿਆ ਹੈ; ਹੁਣ ਸਾਨੂੰ ਇਸਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। A x B ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ , ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਵੈਕਟਰ A ਅਤੇ B ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਦੋਨਾਂ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਪਲੇਨ 'ਤੇ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ।

ਕਰਾਸ ਗੁਣਾ A x B ਨੂੰ ਉਸ ਸਮਤਲ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਵੈਕਟਰ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰ A ਅਤੇ B ਸਥਿਤ ਹੈ। ਆਕਾਰ ਉਹੀ ਹੈ ਜਿਵੇਂ AB ਪਾਪ ਦੀ ਟੈਟਾ. ਜੀਕਾ C = A x B ਆਟਾ C = AB ਪਾਪ ਦੀ ਟੈਟਾ

C ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਉਸ ਸਮਤਲ 'ਤੇ ਲੰਬਵਤ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰ A ਅਤੇ B ਸਥਿਤ ਹਨ। ਅਸੀਂ C ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸੱਜੇ ਹੱਥ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਆਪਣੀਆਂ ਉਂਗਲਾਂ ਨੂੰ ਘੜੀ ਦੀ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਫੜਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ C ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਉਸੇ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇਗੀ ਜਿਸ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਅੰਗੂਠਾ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ।

ਕਰਾਸ ਗੁਣਾ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ B x A

ਦਿਸ਼ਾ B x A ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ , ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਵੈਕਟਰ B ਅਤੇ A ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ । ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਦੋਨਾਂ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ।

ਜੀਕਾ C = B x A ਆਟਾ C = ਬੀਏ ਸਿਨ ਟੀਟਾ.

C ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਉਸ ਸਮਤਲ 'ਤੇ ਲੰਬਵਤ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰ B ਅਤੇ A ਸਥਿਤ ਹਨ। ਅਸੀਂ C ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸੱਜੇ ਹੱਥ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਆਪਣੀਆਂ ਉਂਗਲਾਂ ਨੂੰ ਘੜੀ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਫੜਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ C ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਅੰਗੂਠੇ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਦਿਸ਼ਾ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੋਵੇਗੀ।

A x B ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ B x A. ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਮਾਤਰਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਮਾਪ ਹੋਣ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਦਿਸ਼ਾ ਵੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਉਪਰੋਕਤ ਡ੍ਰੌਪ ਵਿੱਚ, ਦਿਸ਼ਾ A x B ਦੇ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ B x A.

ਕਰਾਸ ਗੁਣਾ ਬਾਰੇ ਕੁਝ ਗੱਲਾਂ ਜੋ ਤੁਹਾਨੂੰ ਜਾਣਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ:

1. ਕਰਾਸ ਗੁਣਾ ਐਂਟੀ-ਕਮਿਊਟੇਟਿਵ ਹੈ।

A x B = – B x A

ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ A x B 'ਤੇ B ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ B x A 'ਤੇ B ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਦੇ ਉਲਟ ਹੈ ।

2. ਜੇਕਰ ਦੋਵੇਂ ਵੈਕਟਰ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹਨ , ਤਾਂ ਬਣਿਆ ਕੋਣ 90 ^o ਹੈ । Sin 90 ^{o = 1। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਵੈਕਟਰਾਂ} A ਅਤੇ B ਵਿਚਕਾਰ ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿਖਾਈ ਦੇਵੇਗੀ:

A x B = AB ਪਾਪ ਥੀਟਾ = AB ਪਾਪ 90 ^o = AB

ਬੀ ਐਕਸ ਏ = ਬੀਏ ਸਿਨ ਥੀਟਾ = ਬੀਏ ਸਿਨ 90 ^ਓ = ਬੀਏ

3. ਜੇਕਰ ਦੋਵੇਂ ਵੈਕਟਰ ਇੱਕੋ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਹਨ, ਤਾਂ ਬਣਿਆ ਕੋਣ 0 ^o ਹੈ ।

Sin 0 ^{o = 0। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਵੈਕਟਰਾਂ} A ਅਤੇ B ਵਿਚਕਾਰ ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦਾ ਮੁੱਲ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿਖਾਈ ਦੇਵੇਗਾ।

A x B = AB ਪਾਪ ਥੀਟਾ = AB ਪਾਪ 0 ^o = 0

ਬੀ ਐਕਸ ਏ = ਬੀਏ ਪਾਪ ਥੀਟਾ = ਬੀਏ ਪਾਪ 0 ^ਓ = 0