ਡੌਟ ਉਤਪਾਦ

ਵੈਕਟਰ ਸਾਧਾਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਸਾਧਾਰਨ ਗੁਣਾ ਨੂੰ ਉਹਨਾਂ 'ਤੇ ਸਿੱਧਾ ਲਾਗੂ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ। ਸਾਨੂੰ ਵੈਕਟਰ ਗੁਣਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। ਵੈਕਟਰ ਗੁਣਾ ਦੀਆਂ ਦੋ ਕਿਸਮਾਂ ਹਨ: ਬਿੰਦੀ ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਕਰਾਸ ਗੁਣਾ। ਬਿੰਦੀ ਗੁਣਾ ਨੂੰ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਮਾਤਰਾ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਕਰਾਸ ਗੁਣਾ ਨੂੰ ਵੈਕਟਰ ਗੁਣਾ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਮਾਤਰਾ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਣ ਵਜੋਂ, ਦੋ ਵੈਕਟਰ ਹਨ, ਅਰਥਾਤ A ਅਤੇ B. ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾ A ਅਤੇ B ਨਾਲ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਏਬੀ ਕੇਕਿਉਂਕਿ ਅਖਾੜਾ ਬਿੰਦੀ ਸੰਕੇਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਗੁਣਾ ਨੂੰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਡੌਟ ਉਤਪਾਦ. ਦਾ ਵੈਕਟਰ ਗੁਣਾ A ਅਤੇ B ਨਾਲ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ A x ਬੀ. ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਸੰਕੇਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦਾ ਹੈ x, ਤਾਂ ਇਸ ਗੁਣਾ ਨੂੰ ਕਰਾਸ ਗੁਣਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਵੈਕਟਰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ A ਅਤੇ B ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਵੈਕਟਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਬਿੰਦੀ ਉਤਪਾਦ A ਅਤੇ B ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ ਏ.ਬੀ (A ਬਿੰਦੂ B).

ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਬਿੰਦੀ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਲਈ A ਅਤੇ B ((ਏਬੀ), ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਵੈਕਟਰ A ਅਤੇ ਵੈਕਟਰ ਵਾਈ ਦੁਆਰਾਜੋ ਇੱਕ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ θ. ਅੱਗੇ ਅਸੀਂ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ। B ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵੱਲ A. ਇਹ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਇੱਕ ਹਿੱਸਾ ਹੈ B ਜੋ ਕਿ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੈ A, ਜੋ ਕਿ ਆਕਾਰ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ B cos θ.

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਏ.ਬੀ ਇੱਕ ਵੱਡੇ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ A ਵੈਕਟਰ ਹਿੱਸਿਆਂ ਨਾਲ ਗੁਣਾ B ਜੋ ਕਿ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੈ Aਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:

AB cos θ ਇੱਕ ਆਮ ਸੰਖਿਆ (ਸਕੇਲਰ) ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਬਿੰਦੀ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਨਫਲ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਬਿੰਦੀ ਗੁਣਨਫਲ A ਅਤੇ B ਉਲਟਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਬੀਏ ? ਇਸ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੀਏ ਬੀਏ, ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ। A ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਬੀ (ਹੇਠਾਂ ਤਸਵੀਰ ਵੇਖੋ)।

ਇਸ ਤਸਵੀਰ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਬੀਏ ਇੱਕ ਵੱਡੇ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ B ਵੈਕਟਰ ਹਿੱਸਿਆਂ ਨਾਲ ਗੁਣਾ A ਜੋ ਕਿ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੈ Bਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:

ਡੌਟ ਉਤਪਾਦ ਨਤੀਜਾ ਏ.ਬੀ = AB cos θ ਅਤੇ ਬਿੰਦੀ ਉਤਪਾਦ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਬੀਏ = BA cos θ. ਕਿਉਂਕਿ AB cos θ = BA cos θ, ਫਿਰ ਇਹ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਏ.ਬੀ = ਬੀਏ

ਬਿੰਦੀਆਂ ਦੇ ਗੁਣਾ ਬਾਰੇ ਕੁਝ ਗੱਲਾਂ ਜੋ ਤੁਹਾਨੂੰ ਜਾਣਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ:

1. ਬਿੰਦੀ ਉਤਪਾਦ ਵਟਾਂਦਰਾ ਕਾਨੂੰਨ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ।

ਏਬੀ = ਬੀਏ

2. ਬਿੰਦੀ ਉਤਪਾਦ ਵੰਡ ਦੇ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ।

A. (B + C) = AB + AC

3. ਜੇਕਰ ਵੈਕਟਰ A ਅਤੇ B ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹਨ, ਤਾਂ ਬਿੰਦੀ ਗੁਣਨਫਲ AB = 0

ਜਦੋਂ ਵੈਕਟਰ A ਅਤੇ B ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਲੰਬਵਤ, ਫਿਰ ਬਣਿਆ ਕੋਣ 90 ਹੁੰਦਾ ਹੈ^o. ਕੋਸ 90^o = 0. ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ: ਏ.ਬੀ = AB cos ਟੈਟਾ = AB ਕੋਸ 90^o = 0. ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ, ਬੀਏ = BA cos ਟੈਟਾ = BA ਕੋਸ 90^o = 0

4. ਜੇਕਰ ਵੈਕਟਰ A ਅਤੇ ਵੈਕਟਰ B ਇੱਕੋ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਹਨ , ਤਾਂ AB = AB cos 0 ^o = AB

ਜਦੋਂ ਵੈਕਟਰ A ਅਤੇ B ਉਸੇ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ, ਫਿਰ ਬਣਿਆ ਕੋਣ 0 ਹੋਵੇਗਾ^o. Cos 0 = 1. ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਏ.ਬੀ = AB cos ਟੈਟਾ = AB ਕੋਸ 0^o = AB. ਇਸਦੇ ਵਿਪਰੀਤ ਬੀਏ = BA cos ਟੈਟਾ = BA ਕੋਸ 0^o = BA

(ਤੁਹਾਨੂੰ ਇਸ ਨਾਲ ਉਲਝਣ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਪੈਣਾ ਚਾਹੀਦਾ AB ਅਤੇ BA. ਵੱਡਾ AB = ਵੱਡਾ BA. ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਮਾਤਰਾ A = 2. ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਮਾਤਰਾ B = 3. ਫਿਰ ਏ.ਬੀ = 2.3 = 6; ਇਹ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੈ ਬੀਏ = 3.2 = 6।

^{5. ਇੱਕੋ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਹੋਰ ਸ਼ਰਤ, ਜੇਕਰ} A = B ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ AA = A ² ਜਾਂ BB = B ^{2 ਮਿਲਦਾ ਹੈ।}

6. ਜੇਕਰ ਵੈਕਟਰ A ਅਤੇ B ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਹਨ (ਜਦੋਂ ਦੋ ਵੈਕਟਰ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਹਨ, ਤਾਂ ਬਣਿਆ ਕੋਣ 180º ਹੁੰਦਾ ਹੈ) , ਤਾਂ ਗੁਣਨ AB = AB cos 180º = AB (-1) = -AB ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਹੋਵੇਗਾ।

ਕੋਸ 180º = -1।

ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਦੀ ਉਦਾਹਰਣ:

^{ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ} A ਦੀ ਮਾਤਰਾ 4 ਇਕਾਈਆਂ ਹੈ ਅਤੇ ਵੈਕਟਰ B ਦੀ ਮਾਤਰਾ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਬਣਾਏ ਗਏ ਕੋਣ 60º, 90º ਅਤੇ 180º ਹਨ ਤਾਂ ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਬਿੰਦੀ ਗੁਣਨਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ^।

ਚਰਚਾ

ਕਿਉਂਕਿ AB = BA , ਅਸੀਂ ਦੋਵਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਣ ਵਜੋਂ, ਅਸੀਂ AB ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ

AB = AB ਕੋਸ ਥੀਟਾ

A ਦਾ ਆਕਾਰ = 4 ਇਕਾਈਆਂ ਅਤੇ B ਦਾ ਆਕਾਰ = 3 ਇਕਾਈਆਂ।