Bernoullis prinsipp og ligningsmateriale
Når vi kjører motorsykkel ganske fort, puffer klærne vi har på oss opp bak. Hvis du ikke kan kjøre motorsykkel ennå, vær oppmerksom på foreldrene dine eller venner som kjører motorsykkel. Baksiden av klærne deres puffer vanligvis opp bak når motorsykkelen kjører fort. Noen ganger når det blåser kraftig, kan husdøren lukke seg av seg selv. Selv om vinden blåser utenfor huset, er døren inne i huset.
Dette kan forklares ved hjelp av Bernoullis prinsipp. Daniel Bernoulli (1700–1782) oppdaget et prinsipp som kan brukes til å forklare noen av tingene ovenfor.
Bernoullis prinsipp
Bernoullis prinsipp sier at der væskestrømningshastigheten er høy, er væsketrykket lavt. Omvendt, hvis væskestrømningshastigheten er lav, blir trykket høyt. Når en motorsykkel beveger seg raskt, er lufthastigheten foran og ved siden av kroppen din høy. Dermed blir lufttrykket lavt. Baksiden av kroppen din blokkeres av forsiden av kroppen din, slik at lufthastigheten bak kroppen din ikke endres til høy (rett bak kroppen din). Som et resultat blir lufttrykket bak kroppen din større. Fordi det er en forskjell i lufttrykk, der lufttrykket rett bak kroppen din er større, skyver luften skjorten din bakover, slik at det ser ut som den er oppblåst bak.
Hva med en dør som lukker seg selv når det blåser kraftig ute? Luften ute beveger seg raskere enn luften inne. Som et resultat er lufttrykket ute lavere enn lufttrykket inne. På grunn av denne trykkforskjellen, der lufttrykket inne er høyere, skyves døren utover. Med andre ord beveger døren seg fra et sted med høyere lufttrykk til et sted med lavere lufttrykk.
Bernoullis ligning
Tidligere lærte vi om Bernoullis prinsipp. Bernoulli utviklet også dette prinsippet kvantitativt. For å utlede Bernoulli-ligningen antar vi jevn, laminær væskestrøm, inkompressibilitet og lav viskositet, som kan ignoreres.
I diskusjonen av kontinuitetsligningen lærte vi at væskestrømningshastigheten også kan variere avhengig av tverrsnittsarealet til strømningsrøret. Basert på Bernoulli-prinsippet som er forklart ovenfor, kan væsketrykket også variere avhengig av væskestrømningshastigheten. Væsketrykket kan også variere avhengig av væskens høyde. Forholdet mellom trykk, strømningshastighet og strømningshøyde kan utledes fra Bernoulli-ligningen.
Bernoulli-ligningen er svært viktig fordi den kan brukes til å analysere flyflyvninger, vannkraftverk, rørsystemer osv. For at Bernoulli-ligningen vi skal utlede skal gjelde generelt, antar vi at væsken strømmer gjennom et strømningsrør med ulikt tverrsnittsareal og også ulik høyde (se figuren nedenfor). For å utlede Bernoulli-ligningen anvender vi arbeid- og energiteoremet på væsken i strømningsrørområdet. Deretter beregner vi mengden væske og arbeidet som gjøres for å bevege væsken.
Den ugjennomsiktige fargen i strømningsrøret på bildet indikerer væskestrømning, mens den hvite fargen indikerer ingen væske.
Væsken i tverrsnittsareal 1 (venstre side) strømmer en avstand L1 og tvinger væsken i tverrsnitt 2 (høyre side) til å bevege seg en avstand L2 . Fordi tverrsnittsarealet 2 på høyre side er mindre, er væskestrømningshastigheten på høyre side av strømningsrøret større (husk kontinuitetsligningen). Dette forårsaker en trykkforskjell mellom tverrsnitt 2 (høyre side av strømningsrøret) og tverrsnitt 1 (venstre side av strømningsrøret) - Husk Bernoullis prinsipp. Væsken på venstre side av tverrsnitt 1 utøver et trykk P1 på væsken på høyre side og utfører arbeid på:
Da kan ligningen W1 skrives som:
W 1 = p 1 A 1 L 1
Ved tverrsnitt 2 (høyre side av strømningsrøret) er arbeidet som utføres på væsken:
W² = − p² A² L²
Det negative fortegnet indikerer at den påførte kraften er motsatt bevegelsesretningen. Så væsken utfører arbeid til høyre for seksjon 2. I tillegg utfører også tyngdekraften arbeid på væsken. I tilfellet ovenfor flyttes en viss masse væske fra seksjon 1 så langt som L1 til seksjon 2 så langt som L2 , hvor volumet av væske i seksjon 1 (A1L1 ) = volumet av væske i seksjon 2 (A2L2 ) . Arbeidet utført av tyngdekraften er :
W3 = − mg ( t2 − t1 )
W3 = − mgh2 + mgh1 )
W3 = mgh1 − mgh2
Det negative fortegnet skyldes at væsken strømmer oppover, motsatt av tyngdekraftens retning. Dermed er det totale arbeidet som utføres på væsken, som vist i figuren ovenfor:
W = W1 + W2 + W3
W = P 1 A 1 L 1 - P 2 A 2 L 2 + mgh 1 - mgh 2
Arbeid-energi-teoremet sier at det totale arbeidet som utføres på et system er lik endringen i dets kinetiske energi. Dermed kan vi erstatte arbeid (W) med endringen i kinetisk energi (EK² - EK¹ ).
Vi kan omskrive ligningen ovenfor som:
W = P 1 A 1 L 1 - P 2 A 2 L 2 + mgh 1 - mgh 2
EK 2 - EK 1 = P 1 A 1 L 1 - P 2 A 2 L 2 + mgh 1 - mgh 2
1⁄2 mv 2 2 - 1⁄2 mv 1 2 = P 1 A 1 L 1 - P 2 A 2 L 2 + mgh 1 - mgh 2
Masse av væske som strømmer en avstand L1 ved tverrsnitt A1 = masse av væske som strømmer en avstand L2 ( snitt A2 ) . En væskemasse, for eksempel m, har et volum på A1L1 og A2L2 hvor A1L1 = A2L2 ( L2 er lengre enn L1 ).
Nå setter vi inn, eller vi erstatter m i ligningen ovenfor med m = ρ AL:
Dette er Bernoulli-ligningen. Vi utledet Bernoulli-ligningen basert på arbeid-energi-prinsippet, så det er en form for energibevaringsloven.
Informasjon :
P = Trykk
ρ = Væsketetthet
v = Væskestrømningshastighet
g = Akselerasjon på grunn av tyngdekraften
h = Høyden på strømningsrøret/røret fra bakkeoverflaten
Venstre og høyre side av Bernoulli-ligningen ovenfor kan referere til to punkter langs strømningsrøret, så vi kan omskrive ligningen ovenfor som:
Denne ligningen sier at den totale summen av mengdene i ligningen har samme verdi gjennom hele strømningsrøret.
La oss nå se på Bernoullis ligning for noen tilfeller.
Bernoullis ligning for væsker i hvile
Et spesialtilfelle av Bernoullis ligning er for væsker i ro (statiske væsker). Når en væske er i ro, har den ingen hastighet. Dermed er v 1 = v 2 = 0. For en væske i ro kan Bernoullis ligning formuleres som:
Hvis h² - h¹ = h, kan denne ligningen skrives som:
p1 − p2 = ρg( h2 − h1 )
p 1 − p 2 = ρ gh
Bernoullis ligning for strømningsrør eller rør med samme høyde
Hvis høyden på strømningsrøret eller -røret er den samme, endres Bernoulli-ligningen til:
