Kontinuitetsligning

Materiale for kontinuitetsligning

Prøv å åpne vannkranen sakte mens du observerer vannstrømmen som kommer ut av kranen. Når kranen slutter å rotere, blokker du kranen delvis med hånden. Sammenlign nå hvilken vannstrøm som er størst. Når den er delvis blokkert eller ikke? Hvis du har en slange som vanligvis brukes til å vanne blomster, la vannet renne gjennom den. Blokker slangen delvis med hånden eller fingeren. Jo større del av slangen som er blokkert, desto raskere vil vannet renne ut. Omvendt, hvis slangen ikke er blokkert, vil vannet renne saktere. Hvorfor er det slik? For å forstå dette, vennligst studer kontinuitetsligningen.

Strømlinjer og strømningsrør

La oss først forstå konseptene strømningslinjer og strømningsrør. Dette konseptet er viktig fordi det vil hjelpe deg å forstå kontinuitetsligningen.

Strømlinje

Se på bildet nedenfor, den blå linjen er strømlinjelinjen.

I jevn strømning forblir hastigheten til hver væskepartikkel i et punkt, for eksempel punkt A, konstant. Når den passerer punkt B, kan hastigheten til væskepartiklene endre seg. Ved ankomst til punkt B fortsetter imidlertid væskepartiklene som følger etter å strømme med samme hastighet som væskepartiklene som kom foran dem. Det samme gjelder når man ankommer til punkt C, og så videre. Strømningslinjen er kurven som forbinder punktene A, B og C.

Strømningsrør

I hovedsak kan vi tegne hver strømlinje gjennom hvert punkt i væskestrømmen. Hvis vi betrakter en jevn væskestrøm, danner et antall strømlinjer som passerer gjennom en viss vinkel på et imaginært overflateareal (imaginært overflateareal) et strømningsrør. Ingen væskepartikler krysser hverandre, men er alltid parallelle, og strømningsrøret vil ligne et rør som alltid har samme form. Væske som kommer inn i den ene enden av røret vil forlate røret i den andre enden.

debet

Utstrømning angir volumet av en væske som strømmer gjennom et visst tverrsnitt i et visst tidsintervall. Matematisk kan det uttrykkes som følger:

For å forbedre forståelsen din, la oss bruke et eksempel. Anta at en væske strømmer gjennom et rør. Rør er vanligvis sylindriske og har et spesifikt tverrsnittsareal. Røret har også en lengde.

Når væsken strømmer i røret så langt som L, er væskevolumet i røret V = AL (V = væskevolum, A = tverrsnittsareal og L = rørlengde). Fordi væsken beveger seg et visst tidsintervall under strømningen i røret langs L, kan vi si at størrelsen på væskeutslippet er:

Fordi v = s/t = L/t —> L = vt, endres ligningen ovenfor til:

Når væske strømmer gjennom et rør som har et visst tverrsnittsareal og lengde over et visst tidsintervall, er størrelsen på væskeutslippet (Q) dermed lik tverrsnittsoverflatearealet (A) multiplisert med væskestrømningshastigheten (v).

Kontinuitetsligning

Tenk på væskestrømmen i et rør med forskjellige diametre, som vist i figuren nedenfor.

Dette bildet viser væskestrømning fra venstre til høyre (væske strømmer fra et rør med stor diameter til et rør med liten diameter). De stiplede linjene er strømlinjelinjer.

Bildetekst: A1 ₌ tverrsnittsarealet av rørseksjonen med stor diameter, A2 ₌ tverrsnittsarealet av rørseksjonen med liten diameter, v1 ₌ væskehastighet i rørseksjonen med stor diameter, v2 = væskehastighet _i rørseksjonen med liten diameter, L = tilbakelagt avstand for væsken.

I innledningen til fluiddynamikk ble det forklart at i fluiddynamikk diskuterer vi strømningen av fluider som er inkompressible, ikke-viskøse, ikke-turbulente og stabile. I stabil strømning er hastigheten til fluidpartiklene i et punkt den samme som hastigheten til andre fluidpartikler som passerer gjennom det punktet. Fluidstrømmene krysser heller ikke hverandre (strømlinjene er parallelle). Derfor må massen av fluid som kommer inn i den ene enden av røret være lik massen av fluid som forlater den andre enden. Hvis en fluid med en viss masse kommer inn i et rør med stor diameter, vil fluidet forlate røret med liten diameter og konstant masse.

Se nå på bildet av røret ovenfor. Se på den delen av røret med stor diameter og den delen av røret med liten diameter.

I løpet av et visst tidsintervall strømmer en viss mengde væske gjennom en rørseksjon med stor diameter (A).₁) så langt som L₁ (L₁ = v₁ t). Volumet av væske som strømmer er V₁ = A₁ L₁ = A₁ v₁ t. I løpet av samme tidsintervall strømmer en annen mengde væske gjennom en rørseksjon med mindre diameter (A).₂) så langt som L₂ (L₂ = v₂ t). Volumet av væske som strømmer er V₂ = A₂ L₂ = A₂ v₂ t.

Kontinuitetsligning for inkompressible væsker (ukomprimerbar)

La oss først se på tilfellet med en inkompressibel væske. I en inkompressibel væske er tettheten, eller massen, til væsken alltid den samme på hvert punkt den passerer gjennom. Massen av væske som strømmer i et rør med et tverrsnittsareal A1 ₍ rørets store diameter) i løpet av et visst tidsintervall er:

På samme måte er massen av væske som strømmer i et rør med et tverrsnittsareal på A2 ₍ liten rørdiameter) i løpet av et visst tidsintervall:

Tatt i betraktning at massen av væske som kommer inn i jevn strømning er den samme som massen av væske som kommer ut, da:

m1 = _m2​

ρ A ₁ v ₁ t = ρ A ₂ v ₂ t (væsketettheten og tidsintervallet er de samme, så de kansellerer hverandre)

A ₁ mot ₁ = A ₂ mot ₂

Så, i inkompressible væsker gjelder kontinuitetsligningen:

A ₁ v ₁ = A ₂ v ₂ — Ligning 1

Informasjon :

A1 = tverrsnittsareal 1, _A2 = tverrsnittsareal 2, v1 = væskestrømningshastighet ved tverrsnitt 1, v2 = væskestrømningshastighet ved tverrsnitt 2, Av = volumstrømningshastighet V/t, også _{kjent som utløp}

Ligning 1 viser at volumstrømningshastigheten, også kjent som utløp, alltid er den samme på hvert punkt langs et rør eller strømningsrør. Når rørets tverrsnitt minker, øker væskestrømningshastigheten; omvendt, når rørets tverrsnitt øker, synker væskestrømningshastigheten.

Når vi delvis tetter kranen, blir vannstrømmen raskere enn når kranen er delvis lukket. Dette er fordi kranens tverrsnittsareal reduseres når kranen er delvis lukket, noe som øker vannstrømmen (væsken strømmer raskere). Det samme gjelder for slanger. Det er imidlertid viktig å merke seg at utløpet eller volumetriske strømningshastigheten forblir den samme på alle punkter langs vannstrømmen, enten kranen er delvis lukket eller ikke. Så det som endrer seg er væskestrømmen.

Så hva med vannføringen i en elv? Dypere deler av en elv har et større tverrsnitt enn grunnere deler, så vannføringshastigheten i dypere deler er lavere enn i grunnere deler. Hvis du ser en veldig rolig elvestrøm, betyr det at elven er dyp. Men hvis elven plutselig blir rasktflytende, er den delen definitivt grunn. Vannstrømningshastigheten er imidlertid alltid den samme, enten i dype eller rolige deler av elven.

Kontinuitetsligning for kompressible væsker (komprimerbar)

I tilfeller med kompressible væsker er ikke væskens tetthet alltid den samme. Med andre ord endres væskens tetthet når den komprimeres. Mens væskens tetthet i inkompressible væsker elimineres fra ligningen , er væskens tetthet fortsatt inkludert i dette tilfellet. Med henvisning til den tidligere utledede ligningen, la oss utlede ligningen for kompressible væsker.

Tatt i betraktning at massen av væske som kommer inn i jevn strømning er den samme som massen av væske som kommer ut, da:

m1 = _m2​

ρ A ₁ v ₁ t = ρ A ₂ v ₂ t

Tidsintervallet for væskestrømmen er det samme, så det kan elimineres. Ligningen endres til:

ρ A ₁ v ₁ = ρ A ₂ v ₂ → ligning 2

Dette er ligningen for en kompressibel væske. Den eneste forskjellen ligger i væskens tetthet. Når en væske komprimeres, endres tettheten. Omvendt, når en væske er inkompressibel, forblir tettheten konstant og kan kanselleres ut.

Eksempelspørsmål 1:

Vann strømmer gjennom et rør med en diameter på 10 cm med en hastighet på 2 m/s. Hva er vannføringen?

Diskusjon

Det er kjent at:

Rørdiameter = 10 cm (dette er rørets indre diameter)

Rørets radius (r) = 5 cm = 0,05 m

v vann = 2 m/s

Spurt: Debet

Jawab:

Q = A v

Q = (πr² ⁾ (2 m/s)

Q = (3,14)(0,05 m) ^² (2 m/s)

Q = (3,14)(0,0025 m² ⁾ (2 m/s)

Q = 0,0157 m³ ^/ s

Eksempelspørsmål 2:

Et vannrør med en diameter på 20 cm er koblet til et annet rør med en diameter på 10 cm. Hvis vannstrømningshastigheten i røret med 20 cm diameter = 4 m/s, hva er vannstrømningshastigheten i røret med 10 cm diameter?

Diskusjon

Det er kjent at:

Diameter 1 = 20 cm (r1 ₌ 10 cm = 0,1 m)

v² = 4 m/ _s

Diameter 2 = 10 cm (r2 ₌ 5 cm = 0,05 m)

Spurt: v ₁

Jawab:

Spørsmål ₁ = Spørsmål ₂

A ₁ mot ₁ = A ₂ mot ₂

( π r ₁₂ ) (4 m/s) = (π r ₂₂ ) (v ₂ )

(0,1 m) ^² (4 m/s) = (0,05 m) ^² ( ^v² )

(0,01 m² ⁾ (4 m/s) = (0,0025 m² ⁾ ( ^v² )

(0,04 m³ ^/ s) = (0,0025 m² ⁾ ( ^v² )

v² = 16 m/ ^s