Arkimedes' lovmateriell
Har du noen gang sett et skip? Hvis du ikke har sett et personlig, har du forhåpentligvis sett et på TV eller internett. Et skip med en veldig stor masse synker ikke, mens en liten, lett stein kan. Hvorfor er det slik? Svaret er ganske enkelt hvis du forstår konseptene oppdrift og Arkimedes' prinsipp.
I hverdagen vil vi oppdage at gjenstander plassert i en væske, for eksempel en stein, har mindre vekt enn når gjenstanden ikke er i væsken. Du kan ha problemer med å løfte en stein fra bakkeoverflaten, men den samme steinen løftes lett fra bunnen av bassenget. Dette skyldes oppdriftskraften. Oppdrift oppstår på grunn av forskjellen i væsketrykk på forskjellige dybder. Væsketrykket øker med dybden, jo dypere væsken er, desto større er væsketrykket. Når en gjenstand plasseres i en væske, vil det være en trykkforskjell mellom væsken over gjenstanden og væsken under gjenstanden. Væsken som befinner seg på bunnen av gjenstanden har et større trykk enn væsken som befinner seg på toppen av gjenstanden.
Oppdrift
På bildet sees et objekt flytende i vann. Væsken under objektet har større trykk enn væsken over objektet. Dette er fordi væsken under objektet har en større dybde enn væsken over objektet (h2 > t1).
F2 = kraften som utøves av væsken på undersiden av objektet, F1 = kraften som utøves av væsken på toppen av objektet, A = objektets overflateareal
Forskjellen mellom F2 og F1 er den totale kraften som væsken utøver på objektet, som vi kjenner som oppdriftskraften. Størrelsen på oppdriftskraften er:
F oppdrift = F2 − F1
F flytende = (ρ gh 2 A ) − (ρ gh 1 A)
F flyt = ρ g A ( h² − h¹ )
F oppdrift = ρ g A h
F oppdrift = ρ g V
Informasjon :
ρ = væsketetthet
g = akselerasjon på grunn av tyngdekraften
V = volumet av objektet i væsken
slik at ligningen som angir størrelsen på oppdriftskraften (F oppdrift) ovenfor kan skrives som:
F flyt = ρ F g V → m = ρ V
F oppdrift = m F g
F oppdrift = w F
m F g = w F = vekten av væsken som har samme volum som volumet av den nedsenkede gjenstanden.
Arkimedes' prinsipp
Basert på ligningen ovenfor kan vi si at oppdriftskraften er lik vekten av den fortrengte væsken, og volumet av den fortrengte væsken er lik volumet av objektet som er nedsenket i væsken.
Hvis en gjenstand er nedsenket i en væske og flyter, med bare en del av gjenstanden nedsenket, er volumet av den fortrengte væsken lik volumet av den delen av gjenstanden som er nedsenket i væsken. Uansett gjenstandens form eller størrelse, vil det samme skje med alle. Dette er Arkimedes' verk (287–212 f.Kr.), som nå er kjent som Arkimedes' prinsipp.
Arkimedes' prinsipp sier at:
Når en gjenstand er helt eller delvis nedsenket i en væske, vil væsken utøve en oppadgående kraft (oppdriftskraft) på gjenstanden, hvor størrelsen på den oppadgående kraften (oppdriftskraften) er lik vekten av den fortrengte væsken.
Historien om Arkimedes
Arkimedes, som levde mellom 287 og 212 f.Kr., ble gitt i oppdrag av kong Hieron II å undersøke om kronen som var laget for kongen var laget av rent gull. Arkimedes var i utgangspunktet forvirret over om kronen var laget av rent gull eller om den inneholdt andre metaller. Problemet var at kronen var uregelmessig i formen og ikke kunne ødelegges for å avgjøre om den var rent gull.
Tanken bak å avgjøre om en kongekrone er laget av rent gull er først å bestemme kronens spesifikke vekt og deretter sammenligne den med gullets spesifikke vekt. Hvis kronen er laget av rent gull, er kronens spesifikke vekt = gullets spesifikke vekt.
Den spesifikke vekten til et objekt er forholdet mellom objektets vekt i luft og vekten av vann med samme volum som objektet. Matematisk skrives det:
Hvordan bestemme vekten av vann som har samme volum som volumet av en gjenstand?
Ifølge Arkimedes er vekten av vann med samme volum som objektets volum = størrelsen på oppdriftskraften når objektet synker (hele objektet senkes ned i vann). Dette er det samme som vekten av objektet som går tapt når det veies i vann. Dermed:
For å bestemme kronens spesifikke vekt veies den først i luft (kronens vekt i luft). Deretter legges kronen i vann og veies igjen for å få vekten av den tapte kronen. Så:
Når kronens spesifikke vekt er beregnet, sammenlignes den med gullets spesifikke vekt. Gullets spesifikke vekt er 19,3. Hvis kronens spesifikke vekt er lik gullets spesifikke vekt, er kronen laget av rent gull. Men hvis kronen ikke er laget av rent gull, vil ikke kronens spesifikke vekt være den samme som gullets spesifikke vekt.
Hvorfor synker ikke skip?
Hvis tettheten til en gjenstand er mindre enn vannets tetthet, vil gjenstanden flyte. Omvendt, hvis tettheten til en gjenstand er større enn vannets tetthet, vil gjenstanden synke. De fleste skip er laget av jern og stål. Tettheten av jern og stål = 7,8 x 103 kg /m3 , mens tettheten av vann = 1,00 x 103 kg /m3 . Det ser ut til at tettheten av jern og stål er større enn tettheten av vann. I dette tilfellet er den spesifikke tyngdekraften til jern og stål = 7,8. Skip laget av jern og stål burde synke. Hvorfor synker ikke skip? Skipets totale tetthet er mindre enn tettheten av vann eller sjøvann.
Eksempelspørsmål om Arkimedes' lov
Eksempelspørsmål 1:
En stein på 40 kg ligger på bunnen av et basseng. Hvis volumet av steinen = 0,2 m³ , hva er den minste kraften som kreves for å løfte steinen?
Diskusjon
Det er kjent at:
Masse av stein (m) = 40 kg
Steinvolum (V) = 0,02 m³
Vanntetthet = 1000 kg/ m³
Tyngdekraftakselerasjon (g) = 10 m/ s²
Spurt: Minimum F
Jawab:
F oppdrift = w F
F oppdrift = m F g → m = pV
F oppdrift = ρ F g V
F oppdrift = (1000 kg/m³ ) (10 m/s² ) (0,02 m³ )
F oppdrift = 200 kg m/ s²
F oppdrift = 200 N
Vekt av stein (w) = mg
Vekt av stein = (40 kg) (10 m/ s² )
Vekt av stein = 400 kg m/ s²
Vekt av stein = 400 N
Minimum kraft som kreves for å løfte en stein:
Steinens vekt – oppdriftskraft = 400 N – 200 N = 200 Newton.
Eksempelspørsmål 2:
Vekten av en gjenstand i luft = 5000 kg m/s² og vekten av gjenstanden i vann = 4000 kg m/s² . Hvis gjenstandens tetthet = 2000 kg/m³ , hva er gjenstandens masse og volum? g = 10 m/ s²
Diskusjon
Tyngdekraftakselerasjon (g) = 10 m/ s²
Objektets tetthet = 2000 kg/ m³
Vanntetthet = 1000 kg/ m³
Objektets vekt i luft = 5000 kg m/ s²
Objektets vekt i vann = 4000 kg m/ s²
Oppdriftskraft (F oppdrift) = Objektets vekt i luft – Objektets vekt i vann
F oppdrift = 5000 kg m/s² – 4000 kg m/ s²
F oppdrift = 1000 kg m/ s²
F oppdrift = Vekten av fortrengt vann
F oppdrift = (vannmasse)(g)
F oppdrift = (volum av fortrengt vann)(vanntetthet)(g)
Volum av fortrengt vann = Volum av objekt nedsenket i vann 😉
Så volumet av objektet = 0,1 m³
Masse av objekt = ?
ρ = m / V
m = ρ V
m = ( 2000 kg / m 3 ) ( 0,1 m 3 )
m = 200 kg
Masse av objekt = 200 kg
Eksempelspørsmål 3:
Hvor mye helium trengs hvis en ballong skal løfte en last på 500 kg?
Diskusjon
Heliumtetthet = 0,1786 kg/ m³
Lufttetthet = 1,293 kg/ m³
Oppdriftskraft = Vekten av fortrengt luft = Vekten av lasten + Vekten av helium
Oppdriftskraft = Lastens vekt + heliumets vekt
Oppdriftskraft = (lastens masse)(g) + (heliummasse)(g)
Oppdriftskraft = (lastens masse + heliumens masse) g —- ligning 1
Oppdriftskraft = Vekten av fortrengt luft
Oppdriftskraft = (masse av fortrengt luft)(g) —- ligning 2
Vi kombinerer ligning 1 og ligning 2:
(lastens masse + massen av helium)(g) = (massen av fortrengt luft)(g)
masse av last + masse av helium = masse av fortrengt luft
500 kg + (ρ helium)(V helium) = (ρ luft)(V luft)
500 kg = (ρ luft)(V luft) – (ρ helium)(V helium)
Volum av fortrengt luft (V luft) = Volum av helium som fyller ballongen (V helium)
500 kg = (ρ luft – ρ helium)(V)
Dette er minimumsvolumet av helium som kreves for å løfte en vekt på jordoverflaten. For at ballongen skal kunne sveve høyere, må heliumvolumet økes. Dette er fordi lufttettheten avtar med høyden.
