Perfect elastische botsingen
Een botsing tussen twee objecten wordt een volkomen elastische botsing genoemd als de impuls of kinetische energie van elk object vóór de botsing gelijk is aan de impuls en kinetische energie van elk object ná de botsing. Met andere woorden, de wet van behoud van impuls en de wet van behoud van kinetische energie zijn van toepassing op volkomen elastische botsingen. Het woord 'elastisch' geeft aan dat de twee objecten na de botsing niet aan elkaar blijven plakken of vastzitten, maar van elkaar afkaatsen. De impuls van elk object blijft behouden.
De impuls van elk object blijft behouden.
m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v 1 ' + m 2 v 2 ' ………………….. Vergelijking 1.5
De kinetische energie van elk object blijft behouden.
1⁄2 mv 1 2 + 1⁄2 mv 2 2 = 1⁄2 mv 1 ' 2 + 1⁄2 mv 2 ' 2 ………………….. Vergelijking 1.6
[irp]
Een perfect elastische botsing moet geluidloos zijn en mag geen warmte genereren door wrijving tussen de twee botsende objecten. Als de botsing van twee objecten geluid en warmte genereert, blijft de kinetische energie van de objecten niet behouden. Een deel van de kinetische energie wordt omgezet in geluidsenergie en warmte-energie, en een deel in interne energie. Een voorbeeld van een perfect elastische botsing is de botsing tussen atomaire en subatomaire deeltjes.
Bij een probleem van een perfect elastische botsing, waarbij de beginsnelheid bekend is maar de eindsnelheid onbekend, kan het probleem niet alleen met behulp van vergelijkingen 1.5 en 1.6 worden opgelost. Om die reden worden beide vergelijkingen gemanipuleerd om andere vergelijkingen af te leiden, waarmee de eindsnelheid kan worden bepaald.
Verwijder factor 1/2 en manipuleer vervolgens 1.6
m 1 v 1 2 + m 2 v 2 2 = m 1 v 1 ' 2 + m 2 v 2 ' 2
m 1 v 1 2 – m 1 v 1 ' 2 = m 2 v 2 ' 2 – m 2 v 2 2
m 1 (v 1 2 – v 1 ' 2 ) = m 2 (v 2 ' 2 – v 2 2 ) —> (a + b)(a – b) = a 2 – b 2
m 1 (v 1 + v 1 ') (v 1 – v 1 ') = m 2 (v 2 ' + v 2 ) (v 2 ' – v 2 ) ………………….. Vergelijking 1.7
[irp]
Manipuleer vergelijking 1.5
m 1 v 1 – m 1 v 1 ' = m 2 v 2 ' - m 2 v 2
m 1 (v 1 – v 1 ') = m 2 (v 2 ' – v 2 ) ………………….. Vergelijking 1.8
Deel vergelijking 1.7 door vergelijking 1.8 om het eindresultaat te verkrijgen.
(v 1 + v 1 ') = (v 2 ' + v 2 )
v 1 – v 2 = v 2 ' – v 1 '
v 1 – v 2 = – (v 1 ' – v 2 ') ………………….. Vergelijking 1.9
Vergelijkingen 1.5 en 1.9 kunnen worden gebruikt om problemen met perfect elastische botsingen op te lossen. Door vergelijkingen 1.5 en 1.9 te combineren, verkrijgen we twee vergelijkingen voor het bepalen van de eindsnelheden van twee objecten als hun massa's en beginsnelheden onbekend zijn.
Bij het oplossen van vraagstukken met behulp van de bovenstaande vergelijkingen, moet je het juiste teken voor v₁ en v₂ gebruiken . Als object 1 naar rechts beweegt, is v₁ positief , en omgekeerd, als object 2 naar links beweegt, is v₂ negatief . Als beide objecten in verschillende richtingen bewegen, maar er geen informatie is over de bewegingsrichtingen, moeten v₁ en v₂ een verschillend teken hebben, bijvoorbeeld v₁ is positief en v₂ is negatief.
4.1.1 Twee objecten met dezelfde massa
Als m 1 = m 2 , dan is v 1 ' = v 2 en v 2 ' = v 1.
Wat als de twee objecten in verschillende richtingen bewegen?
Als bijvoorbeeld object 1 vóór de botsing naar rechts beweegt en object 2 naar links, dan zal object 1 na de botsing naar links bewegen (v 1 ' = – v 2 ) en object 2 naar rechts (v 2 ' = v 1 ).
Wat als een van de objecten zich aanvankelijk in rust bevindt?
Als object 2 bijvoorbeeld vóór de botsing stilstaat (v₂ = 0), zal object 1 ook stilstaan (v₁ ' = 0) en zal object 2 na de botsing met dezelfde snelheid bewegen als de beginsnelheid van object 1 (v₂ ' = v₁ ) . Als object 1 vóór de botsing naar rechts beweegt, zal object 2 na de botsing ook naar rechts bewegen. De twee objecten wisselen dus van snelheid.
[irp]
Voorbeeldvraag 4
Objecten A (2 kg) en B (2 kg) bewegen in tegengestelde richtingen met snelheden van respectievelijk 4 m/s en 2 m/s. Als objecten A en B een perfect elastische botsing ondergaan, wat zijn dan de eindsnelheden van objecten A en B?
Bekend:
m A = 2 kg, m B = 2 kg, v A = 4 m/s, v B = – 2 m/s
Gezocht: v A ' en v B '
oplossing:
v A ' = – 2 m/s en v B ' = 4 m/s
Na de botsing beweegt object A met een snelheid van 2 m/s en object B met een snelheid van 4 m/s in tegengestelde richting. Als object A vóór de botsing naar rechts bewoog en object B naar links, zal object A na de botsing naar links bewegen en object B naar rechts.
Voorbeeldvraag 5
Object A (2 kg) beweegt naar rechts met een snelheid van 2 m/s en botst tegen object B (2 kg) dat stilstaat. Als de twee objecten een perfect elastische botsing ondergaan, wat zijn dan de eindsnelheden van object A en object B?
Bekend:
m A = 2 kg, m B = 2 kg, v A = 2 m/s, v B = 0 m/s
Gezocht: v A ' en v B '
oplossing:
v A ' = 0 en v B ' = 2 m/s
Na de botsing staat object A stil en beweegt object B naar rechts met een snelheid van 2 m/s.
[irp]
4.1.2 Twee objecten met verschillende massa's
Als twee objecten verschillende beginsnelheden en massa's hebben (een klein verschil), kunnen de eindsnelheden worden bepaald met behulp van vergelijkingen 1.10 en 1.11.
Als object 2 aanvankelijk in rust is (v 2 = 0), wordt vergelijking 1.10 vergelijking 1.12 en vergelijking 1.11 vergelijking 1.13.
Als v₂ = 0, m₁ heel groot is en m₂ heel klein, dan verkrijgen we door het oplossen van vergelijkingen 1.12 en 1.13 v₁' = v₁ en v₂' = 2v₁. Als v₂ = 0 , m₁ heel klein is en m₂ heel groot , dan verkrijgen we door het oplossen van vergelijkingen 1.12 en 1.13 v₁ ' = -v₁ en v₂ ' = 0. Positieve en negatieve tekens geven tegengestelde bewegingsrichtingen aan.
Voorbeeldvraag 6
Een object met een massa van 1 kg beweegt met een snelheid van 20 m/s en botst in een perfect elastische botsing tegen een muur. Wat zijn de eindsnelheden van het object en de muur?
Bekend:
m A = 1 kg, v A = 20 m/s, m B = zeer groot, v B = 0
Gezocht : v A ' en v B '
oplossing:
v A ' = -20 m/s en v B ' = 0
Na de botsing stuitert object A met een snelheid van 20 m/s terug en blijft object B stilstaan. Als object A vóór de botsing naar rechts bewoog, beweegt het na de botsing naar links.
