Artikel over Newtons wet van de universele zwaartekracht.
In het kader van de wetten van Newton werd geleerd dat elk object dat aanvankelijk in rust is, in beweging komt, of dat elk object dat aanvankelijk in beweging is, in rust komt als er "iets" is dat het object in beweging brengt of stopt. Dat "iets" noemen we "kracht". Waarom valt een vrucht naar de aarde nadat deze van de steel is losgelaten? De wetten van Newton stellen dat als een vrucht beweegt, er een kracht op de vrucht moet werken. De kracht die ervoor zorgt dat een vrucht of een ander object naar de aarde valt, wordt de zwaartekracht genoemd.
Het probleem van vallende objecten onder invloed van de zwaartekracht, dat u nu bestudeert, is bedacht en onderzocht door Isaac Newton, een Britse wetenschapper. Volgens Newton bestond dit vraagstuk al sinds het oude Griekenland. Er zijn twee fundamentele vraagstukken die door de Grieken, lang vóór Newtons geboorte, werden onderzocht: waarom vallen objecten altijd naar het aardoppervlak en hoe bewegen de planeten, waaronder de zon en de maan? De Grieken beschouwden vallende objecten en planetaire bewegingen destijds als twee verschillende zaken. Dit bleef zo tot in Newtons tijd. Wat Newton produceerde, bouwde dus voort op het werk van zijn voorgangers. Wat Newton onderscheidt van zijn voorgangers, is dat hij de moeilijkheid zag dat vallende objecten en planetaire bewegingen door één enkele kracht worden veroorzaakt en aan dezelfde wet moeten voldoen. Met andere woorden, Newton betoogde dat de kracht die ervoor zorgt dat objecten naar het aardoppervlak vallen, dezelfde kracht is die ervoor zorgt dat de maan om de aarde draait.
De relatie tussen de zwaartekracht en afstand en massa.
Bij het formuleren van de wet van de zwaartekracht vergeleek Newton de versnelling van vallend fruit nabij het aardoppervlak met de middelpuntzoekende versnelling van de maan tijdens haar omloop rond de aarde. Volgens Newton worden de versnelling die vallend fruit ondervindt en de middelpuntzoekende versnelling die de maan ondervindt tijdens haar omloop rond de aarde veroorzaakt door dezelfde kracht: de zwaartekracht van de aarde. Newton betoogde dat de versnelling van de maan tijdens haar omloop rond de aarde evenredig is met 1/r², waarbij r de afstand is tussen het middelpunt van de aarde en het middelpunt van de maan = 3.84 x 10⁸ m. De versnelling van vallend fruit is evenredig met 1/R² , waarbij R de afstand is tussen het middelpunt van de aarde en het middelpunt van het fruit. Omdat het fruit zich nabij het aardoppervlak bevindt, geldt R = RF , waarbij RE de straal van de aarde is = 6.37 x 10⁶ m . De vergelijking tussen de versnelling van de maan (aM ) en de versnelling van het fruit (g) is dus:
De middelpuntzoekende versnelling van de maan is dus:
a M = (2.75 x 10 -4 )(g) = (2.75 x 10 -4 )(9.8 m/s 2 ) = 2.7 x 10 -3 m/s 2
Newton berekende de centripetale versnelling van de maan ook op een andere manier. Het is bekend dat de omlooptijd van de maan, oftewel de tijd die een maand nodig heeft om één omwenteling te maken, gelijk is aan 27.3 dagen = 2.36 x 10⁶ seconden . De lengte van de baan die de maan aflegt, is gelijk aan de omtrek van de maanbaan = 2(3.14)(r), waarbij r de afstand is tussen het middelpunt van de maan en het middelpunt van de aarde. De centripetale versnelling van de maan:
De centripetale versnelling van de maan die in deze berekening is verkregen, is vrijwel gelijk aan de resultaten van eerdere berekeningen. De tweede wet van Newton stelt dat kracht evenredig is met versnelling (F = ma). De bovenstaande berekeningen tonen aan dat de versnelling evenredig is met 1/r² of omgekeerd evenredig is met het kwadraat van de afstand (r² ) . Hieruit kan worden geconcludeerd dat de zwaartekracht evenredig is met 1/r² of omgekeerd evenredig is met het kwadraat van de afstand. Mathematisch gezien:
Naast het onderzoeken van de relatie tussen zwaartekracht en de afstand tussen objecten, onderzocht Newton ook de relatie tussen zwaartekracht en massa. De derde wet van Newton stelt dat als er een actiekracht is, er ook een reactiekracht is. De actiekracht en de reactiekracht hebben dezelfde grootte en tegengestelde richting (F-actie = -F-reactie; een minteken geeft aan dat de richting van de kracht tegengesteld is). Als de zwaartekracht van de aarde een vrucht aantrekt, trekt de zwaartekracht van de vrucht ook de aarde aan. De zwaartekracht van de aarde werkt op de vrucht, terwijl de zwaartekracht van de vrucht op de aarde werkt. Hetzelfde geldt voor de zwaartekracht tussen de aarde en de maan. De zwaartekracht van de aarde in combinatie met de zwaartekracht van de vrucht, of de zwaartekracht van de aarde in combinatie met de zwaartekracht van de maan, is een reactiekracht. Omdat kracht evenredig is met massa (F = ma) en omdat de actiekracht en de reactiekracht dezelfde grootte hebben, moet de zwaartekracht tussen twee objecten evenredig zijn met de massa van de twee objecten. Mathematisch gezien:
Newtons wet van de universele zwaartekracht
De wet van de universele zwaartekracht van Newton stelt dat elk object in het universum elkaar aantrekt, waarbij de aantrekkingskracht tussen objecten evenredig is met hun massa en omgekeerd evenredig met het kwadraat van hun afstand. Als twee objecten met massa's m₁ en m₂ zich op een afstand r van elkaar bevinden, dan is de grootte van de zwaartekracht tussen de twee objecten:
G = zwaartekrachtconstante (6.673 x 10⁻¹¹ Nm² /kg² ) . G wordt experimenteel gemeten.
F12 is de zwaartekracht die op m wordt uitgeoefend1 Geldautomaat2 terwijl F21 is de zwaartekracht die op m wordt uitgeoefend2 Geldautomaat1. F12 werkt bij m2 en trekt m2 richting m1, terwijl F21 werkt bij m1 en trekt m1 richting m2. F21 en F12 hebben dezelfde grootte en tegengestelde richting. Dus F21 en F12 zijn paren van actie-reactie. r is de afstand tussen de centra van m.1 en het middelpunt van m2Het middelpunt van m1 bevindt zich in het midden van het object, net zoals het middelpunt van m2Als r in km is aangegeven, wordt deze eerst omgerekend naar meters (internationaal systeem).
Voorbeeldopgave 1 (zwaartekracht tussen 2 deeltjes)
Bereken de zwaartekracht tussen twee studenten, elk met een massa van respectievelijk 30 kg en 40 kg, en een afstand van 1 meter.
Het resultaat
De zwaartekracht is zo klein dat de twee objecten elkaar niet aantrekken.
Voorbeeldopgave 2 (zwaartekracht tussen 2 deeltjes)
Bereken de totale zwaartekracht die m ondervindt.2 als gevolg van de zwaartekracht die op m1 wordt uitgeoefend bij m2 en de zwaartekracht die op m wordt uitgeoefend3 Geldautomaat2De afstand tussen de centra m1 en M2 is 2 meter en de afstand tussen de middelpunten m2 en M3 is 1 meter.
Oplossing:
De zwaartekracht van m 1 op m 2 :
De zwaartekracht van m 3 bij m 2 :
De totale zwaartekracht die m 2 ondervindt :
Fg totaal = (6.673 – 1.668) x 10⁻¹¹ N = 5.005 x 10⁻¹¹ N. In de onderstaande figuur is de pijl F₃₂ langer dan de pijl F₁₂ . De richting van de totale zwaartekracht wijst dus naar m₃.
Voorbeeldopgave 3 (totale zwaartekracht = nul):
Twee ballen A en B hebben elk een massa van m en 5 m. Beide ballen hebben dezelfde diameter. Als de zwaartekracht op een punt tussen bal A en bal B gelijk is aan nul, dan is de afstand van dat punt tot het oppervlak van bal A gelijk aan …
Oplossing:
De diameter van de ballen A en B is 1 meter, dus de straal van de ballen A en B is 0.5 meter. De afstand tussen de middelpunten van de ballen A en B is 6 meter.
We plaatsen een testdeeltje met massa m op een punt tussen bal A en bal B.
F A = de zwaartekracht die bal A uitoefent op het testdeeltje (de zwaartekracht is gericht naar bal A).
F B = de zwaartekracht die door de bal B op het testdeeltje wordt uitgeoefend (de zwaartekracht is in de richting van de bal B).
Zodat de zwaartekracht die het testdeeltje ondervindt nul is, geldt F A = F B (F A en F B hebben tegengestelde richtingen).
Gebruik de kwadratische formule om de waarde van x te bepalen.
Dus x = 4.88 meter
4.88 m – 0.5 m = 4.38 m. De zwaartekracht is nul op 4.38 meter afstand van het oppervlak van bal A. Wat is de afstand van het oppervlak van bal B?
Meting van de universele zwaartekrachtconstante (G)
Om je lichaamsgewicht te bepalen, hoef je alleen maar op een weegschaal te gaan staan en de waarde af te lezen. Het is makkelijk om je lichaamsgewicht te meten. Maar hoe meet je de massa van de aarde? Er bestaan geen gigantische weegschalen om de massa van de aarde te meten. Zonder weegschalen zouden we de massa van de aarde niet kunnen meten, omdat de aarde constant in beweging is. De massa van de aarde wordt berekend nadat de universele gravitatieconstante (G) experimenteel is vastgesteld.
Gewicht
Het gewicht van een object is de totale zwaartekracht die op dat object werkt, veroorzaakt door de zwaartekracht van alle objecten in het universum. Als het object zich boven het aardoppervlak of op het aardoppervlak bevindt, negeren we de zwaartekracht van andere objecten in het universum. Beschouw het gewicht van een object dan als de zwaartekracht van de aarde die op dat object werkt.
w = gewicht van het object, m E = massa van de aarde, m = massa van het object, R E = straal van de aarde.
Als een object zich op een hoogte h boven het aardoppervlak bevindt (objecten bevinden zich bijvoorbeeld boven een bepaalde hoogte, zoals een vliegtuig) of als objecten op een afstand r boven het aardoppervlak van elkaar staan, waarbij r = R E + h,
De zwaartekracht die op het object werkt, oftewel het gewicht van het object, is dan:
Deze vergelijking laat zien dat het gewicht van een object afneemt met het kwadraat van de afstand tot het middelpunt van de aarde. Dus hoe verder van het aardoppervlak, hoe kleiner het gewicht van objecten.
Zwaartekrachtversnelling
Op basis van Newtons tweede wet weten we dat het gewicht van een object de kracht is die ervoor zorgt dat het object een versnelling van de vrije val ondervindt (zwaartekrachtversnelling):
w = mg
Combineer beide vergelijkingen w = F g en w = mg:
Deze vergelijking verklaart de zwaartekrachtversnelling die een object ondervindt op een bepaalde hoogte boven het aardoppervlak. Aan de hand van deze vergelijking is te zien dat de zwaartekrachtversnelling afneemt met toenemende hoogte en niet afhankelijk is van de massa van het vrijvallende object.
Zwaartekrachtversnelling van objecten die zich boven het aardoppervlak of boven de grond bevinden:
De massa van de aarde kan worden berekend door de bovenstaande vergelijking als volgt aan te passen:
Bereken de massa van de aarde met behulp van deze vergelijking!
Problemen en oplossingen
1. Twee objecten m1 en m2 met respectievelijk een massa van 6 kg en 9 kg bevinden zich op een afstand van 5 cm van elkaar. Object m3 met een massa van 1 kg wordt tussen de twee geplaatst. Als de zwaartekracht die m3 ondervindt gelijk is aan 0, dan is de afstand van m3 tot m1 …
De zwaartekracht is nul als F 13 = F 23.
a = -1, b = -20, c = 50
Gebruik de kwadratische formule:
De resultaten kunnen niet negatief zijn. Dus x = r 13 = afstand m 3 en m 1 = 2.25 cm.
[irp]
2. Twee objecten A en B bevinden zich op een afstand van 60 cm van elkaar. De massa van A is 24 kg en de massa van B is 10 kg. Waar bevindt zich een punt waar het sterke zwaartekrachtveld nul is?
Het zwaartekrachtveld is nul als gA = gB.
a = 7
b = -1440
k = 43200
Gebruik de kwadratische formule:
x = r A = 169.25 cm of
x = r A = 36.46 cm
[irp]
