Artikel over het optellen van vectoren
1. Vectoriële en scalaire grootheden
Naast de fundamentele en afgeleide grootheden kunnen fysische grootheden verder worden onderverdeeld in twee andere typen: scalaire grootheden en vectorgrootheden. Grootheden zoals massa, afstand, tijd en volume zijn scalaire grootheden, grootheden die alleen een grootte hebben maar geen richting. Grootheden zoals verplaatsing, snelheid, versnelling en kracht zijn vectorgrootheden, grootheden die zowel een grootte als een richting hebben.
a. Verschil tussen scalaire en vectoriële grootheid
Als je zegt dat de massa van een bal 400 gram is, is die uitspraak voldoende om de massa van de bal te weten. Je hebt geen richting nodig om de massa van de bal te bepalen. Hetzelfde geldt voor tijd, temperatuur, volume, dichtheid, enzovoort. Er zijn verschillende fysische grootheden die niet alleen in grootte kunnen worden uitgedrukt. Als je zegt dat een kind 100 meter heeft afgelegd, is die uitspraak niet voldoende. Je zou kunnen vragen: waarheen is het kind gegaan? Naar het noorden, zuiden, oosten of westen? Hetzelfde geldt als je zegt dat je met een kracht van 200 N tegen een tafel duwt.
Waar rijd je naartoe? Dergelijke grootheden worden vectorgrootheden genoemd, die een uitleg van hun grootte en richting vereisen. Voorbeelden van vectorgrootheden zijn verplaatsing, versnelling, impuls, momentum , enzovoort. Je zult het beter begrijpen als je onderwerpen bestudeert die met deze grootheden te maken hebben.
b. Teken een vector
Een vector wordt aangegeven met een pijl. De pijl wijst altijd in de richting van de vector. De lengte van de pijl geeft de grootte van de vector weer. Bijvoorbeeld, in de afbeelding is een krachtvector (F) met een grootte van 2 N te zien, waarvan de richting naar het noordoosten wijst, oftewel 45 ° om de x-as.
c. Regels voor het noteren van vectorgrootheden
Bij het schrijven van een vector, wordt het symbool meestal cursief en in hoofdletters weergegeven, met daarboven een pijl. In gedrukte boeken worden vectorsymbolen in vetgedrukte hoofdletters geschreven, bijvoorbeeld F. De grootte van de vector wordt, bij handschrift, bijvoorbeeld |F| weergegeven. In gedrukte boeken wordt de grootte van de vector cursief weergegeven , bijvoorbeeld F.
2. Vectoren optellen – grafische methoden
Er zijn verschillende manieren om vectoren grafisch op te tellen, waaronder de staart-naar-punt-methode en de parallellogrammethode.
a. De staart-naar-punt-methode voor het optellen van vectoren
Vectoren A en B zijn bekend. Vector A = 3 cm valt samen met de x-as (richting oosten). Vector B = 2 cm maakt een hoek van 30 ° met de x-as (richting noordoosten). Tel A en B grafisch op met behulp van de staart-naar-punt-methode. a) R = A + B b) R = A – B
De grootte van de resulterende vector (R) wordt gemeten met een liniaal. De richting van de resulterende vector wordt gemeten met een gradenboog.
De vectoren A, B en C zijn bekend. Vector A = 3 cm valt samen met de x-as (richting oosten). Vector B = 2 cm maakt een hoek van 30 ° met de x-as (richting noordoosten). Vector C = 1 cm maakt een hoek van 60 ° met de x-as (richting noordoosten). Tel A, B en C grafisch op met behulp van de staart-naar-punt-methode.
a) R = A + B + C
b) R = A – B – C
De resulterende vector (R) wordt gemeten met een liniaal. De richting van de resulterende vector wordt gemeten met een gradenboog.
b. Parallelogrammethode
De vectoren A, B en C zijn bekend. Vector A = 3 cm valt samen met de x-as (richting oosten). Vector B = 2 cm maakt een hoek van 30 ° met de x-as (richting noordoosten). Vector C = 1 cm maakt een hoek van 60 ° met de x-as (richting noordoosten). Tel A, B en C grafisch op met behulp van een parallellogram.
a) R = A + B
b) R = A – B
c) R = A + B + C
d) R = A – B – C
De resulterende vector (R) wordt gemeten met een liniaal. De richting van de resulterende vector wordt gemeten met een gradenboog.
3. Optellen van vectoren – aanalytisch methode
Het bepalen van de grootte en richting van de resulterende vector met behulp van de grafische methode is één benadering. De nauwkeurigheid van de resultaten hangt af van uw nauwkeurigheid bij het tekenen en aflezen van de schaal. De grootte en richting van de resulterende vector kunnen nauwkeuriger worden verkregen door middel van wiskundige berekeningen.
a. De som van twee vectoren berekenen met behulp van de cosinusregel
De formule voor het bepalen van de grootte van de resulterende vector:
De formule voor het bepalen van de richting van de resulterende vector:
C = resulterende vector
A = vector 1
B = vector 2
cos ∠(A, B) = hoek gevormd door vectoren A en B
Voorbeeldopgave 1:
F 1 = 2 N vormt een hoek van 30° met de x-as, F 2 = 3 N vormt een hoek van 60 ° met de x-as, θ = 30 °.
Voorbeeldopgave 2:
F 1 = 2 N valt samen met de x-as, F 2 = 3 N vormt een hoek van 90 ° met de x-as, θ = 90 °.
b. Vectoren optellen door componenten
Bekijk de vector F die een bepaalde hoek met de x-as vormt, zoals weergegeven in de onderstaande figuur. Fx en Fy zijn componentvectoren van vector F.
De grootte van de componentvector wordt bepaald met behulp van de formule:
F x = F cos θ
F y = F sin θ
Bekijk de twee vectoren F1 en F2 die een bepaalde hoek vormt ten opzichte van de x-as, zoals weergegeven in de onderstaande figuur. F1x en F1y zijn componenten van vector F1, dus F2x en F2y zijn componenten van vector F2.
De componentvector wordt bepaald met behulp van de formule:
F1x =F1 cos θ
F 1y = F 1 sin θ
F 2x = F 2 cos θ
F 1y = F 1 sin θ
De componentvectoren toevoegen:
F x = F 1x + F 2x
F y = F 1y + F 2y
De resulterende vector wordt bepaald met behulp van de formule:
De richting van de resulterende vector wordt bepaald met behulp van de formule:
Voorbeeldopgave 1:
Bepaal de componenten van vector F, waarvan de grootte 20 N is en die een hoek van 30 ° met de x-as vormt.
F x = (20 N)(cos 30 o ) = 17 N
F y = (20 N)(zonde 30 o ) = 10 N
Voorbeeldopgave 2:
De kracht F1 = 20 N maakt een hoek van 30 ° met de x-as en de kracht F2 = 15 N maakt een hoek van 180° met de x-as. Bepaal de grootte en richting van de resulterende vector.
F 1x = (20 N)(cos 30 o ) = 17 N
F 2x = F 1 = – 15 N
F 1y = (20 N)(sin 30 o ) = 10 N
F 2y = 0
De componentvectoren toevoegen:
F x = F 1x – F 2x = 17 N – 15 N = 2 N
F y = 10 N
De resulterende vector:
F 2 = F x 2 + F y 2 = 2 2 + 10 2 = 4 + 100 = 104
F = 10.2 N
Richting van de resulterende vector:
θ = tan −15 = 78.7 ° om de x-as
Voorbeeldopgave 3:
F1, F2, en F3 zijn 20 N, 30 N en 40 N. F1 vormt een hoek van 60o ten opzichte van de x-as, F2 vormt een hoek van 150o rond de x-as, en F3 vormt een hoek van 315o rond de x-as. Bepaal de grootte en richting van de resulterende vector.
F 1x = (20 N)(cos 60 o ) = 10 N
F 1y = (20 N)(sin 60 o ) = 17 N
F 2x = (30 N)(cos 30 o ) = -26 N
F 2y = (30 N)(sin 30 o ) = 15 N
F 3x = (40 N)(cos 45 o ) = 28 N
F 3y = (40 N)(sin 45 o ) = -28 N
Het toevoegen van de componentvector:
F x = F 1x – F 2x + F 3x = 10 N – 26 N + 28 N = 12 N
F y = F 1y + F 2y – F 3y = 17 N + 15 N – 28 N = 4 N
Resultaatvector:
F 2 = F x 2 + F y 2 = 12 2 + 4 2 = 144 + 16 = 160
F = 13 N
Richting van de resulterende vector:
θ = tan −1 0.3 = 17 o om de x-as
