१. कणको जडत्वको क्षण
घुम्ने कणको समीक्षा गर्नुहोस्। द्रव्यमान m भएको कणलाई बल F दिइएको छ जसले गर्दा कण अक्ष O वरिपरि घुम्छ। कण परिक्रमाको अक्षबाट r टाढा छ। पहिले, कण आराममा छ (v = 0)। F को बलले सरिसकेपछि, कणहरू निश्चित गतिमा सर्छन् जसले गर्दा कणहरूमा स्पर्शिक त्वरण हुन्छ। बल (F), द्रव्यमान (m), र कणहरूको स्पर्शिक त्वरण बीचको सम्बन्ध समीकरण ३ द्वारा व्यक्त गरिएको छ:
F = मा ताना (समीकरण ३)
कणहरू घुम्छन् जसले गर्दा कणहरूमा कोणीय त्वरण हुन्छ। स्पर्शरेखा त्वरण र कोणीय त्वरण बीचको सम्बन्ध समीकरण ४ द्वारा व्यक्त गरिएको छ:
a tan = r α (समीकरण ४)
समीकरण ३ मा रहेको a लाई समीकरण ४ मा रहेको a ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्:
एफ = श्री α
r F = मिस्टर २ α
τ = (mr 2 ) α (समीकरण ५)
r F बलको क्षण हो र mr 2 कणको जडत्वको क्षण हो। समीकरण ५ ले बलको क्षण, जडत्वको क्षण र घुम्ने कणहरूको कोणीय प्रवेग बीचको सम्बन्ध बताउँछ। समीकरण ५ घुम्ने कणहरूको लागि न्यूटनको दोस्रो नियमको समीकरण हो।
कणको जडत्वको क्षण भनेको कणको द्रव्यमान (m) र परिक्रमा अक्ष (r 2 ) भएका कणहरू बीचको दूरीको वर्गको गुणनफल हो ।
I = श्री २ (समीकरण ६)
I = कणको जडत्वको क्षण, m = कणको द्रव्यमान, r = कण र परिक्रमाको अक्ष बीचको दूरी। समीकरण ६ कणको जडत्वको क्षण निर्धारण गर्न प्रयोग गरिन्छ।
३.२ कणको जडत्वको क्षणको नमूना समस्याहरू
नमुना समस्या १।
२ किलोग्राम तौल भएको कणलाई ०.५ मिटर लामो डोरीमा बाँधेर घुमाइयो। घुम्दा कणहरूको जडत्वको क्षण कति हुन्छ?
समाधान:
म = श्री २
I = (२ किलोग्राम) (०.५ मिटर) २
I = ०.०८ किलोग्राम m २
नमुना समस्या १।
दुई कणहरू, प्रत्येकको 2 किलोग्राम र 4 किलोग्राम भार भएका, हलुका तारद्वारा जोडिएका छन्, जहाँ तारको लम्बाइ 2 मिटर छ। तारहरूको द्रव्यमानलाई बेवास्ता गर्नुहोस्। दुई कणहरूको जडत्वको क्षण निर्धारण गर्नुहोस्, यदि:
क) परिक्रमाको अक्ष दुई कणहरूको बीचमा अवस्थित छ
समाधान:
म = m १ r १ २ + m २ r २ २
म = (२)(१२) + (४)(१२)
म = २ + ४
I = ०.०८ किलोग्राम m २
ख) परिक्रमा अक्ष २ किलोग्राम भार भएको कणबाट ०.५ मिटरको दूरीमा छ।
म = m १ r १ २ + m २ r २ २
म = (२)(०.५ २ ) + (४)(१.५ २ )
म = (२)(१२) + (४)(१२)
म = २ + ४
I = ०.०८ किलोग्राम m २
ग) परिक्रमा अक्ष ४ किलोग्राम भार भएको कणबाट ०.५ मिटरको दूरीमा छ।
म = m १ r १ २ + m २ r २ २
म = (२)(१.५२) + (४)(०.५ २ )
म = (२)(१२) + (४)(१२)
म = २ + ४
I = ०.०८ किलोग्राम m २
माथिको गणनाको नतिजाको आधारमा, जडत्वको क्षण परिक्रमणको अक्षको स्थानबाट धेरै प्रभावित हुन्छ। यद्यपि परिक्रमणको अक्षको स्थान फरक भएकोले आकार र आकार समान छन्, जडत्वको क्षण पनि फरक छ।
परिक्रमा अक्ष नजिक रहेका कणहरूमा जडत्वको क्षण कम हुन्छ, जबकि परिक्रमा अक्षबाट टाढा रहेका कणहरूमा जडत्वको क्षण बढी हुन्छ। यदि हामीले माथिका दुई कणहरू कठोर वस्तुहरू हुन् भनेर मानौं भने, प्रत्येक कण परिक्रमा अक्ष नजिक छ।
परिक्रमा अक्षबाट टाढा रहेको कणको जडत्वको क्षण भन्दा जडत्वको क्षण सानो हुन्छ।
३.३ एकसमान कठोर शरीरको जडत्वको क्षण
कठोर वस्तुहरू धेरै कणहरू मिलेर बनेका हुन्छन्। कठोर शरीरको जडत्वको क्षण भनेको वस्तु निर्माण गर्ने प्रत्येक कणको जडत्वको क्षणहरूको कुल संख्या हो।
म = Σ मिस्टर २
म = म1 r12 + मी2 r22 + मी3 r32 + ….. + मिn rn2
कुनै कठोर वस्तुको जडत्वको क्षण निर्धारण गर्न, हामीले वस्तु घुम्दा त्यसको समीक्षा गर्नु आवश्यक छ किनभने परिक्रमाको अक्षको स्थानले वस्तुको जडत्वको क्षणलाई असर गर्छ। प्रत्येक कणको जडत्वको क्षण (I) कणको द्रव्यमान (m) र परिक्रमाको अक्षबाट कणको दूरी (r 2 ) को वर्गमा पनि निर्भर गर्दछ। वस्तु निर्माण गर्ने सबै कणहरूको द्रव्यमान वस्तुको द्रव्यमान हो।
समस्या के हो भने, परिक्रमाको अक्षबाट प्रत्येक कणको दूरी फरक हुन्छ।
औंलाहरू R र द्रव्यमान M ले पातलो घेराको जडत्वको क्षणको सूत्रमा भएको कमीको समीक्षा गर्नुहोस्।
यदि परिक्रमा अक्ष चक्रको केन्द्रमा अवस्थित छ भने, पातलो चक्रका सबै कणहरू परिक्रमा अक्षबाट अवस्थित हुन्छन्। पातलो चक्रको जडत्वको क्षण सबै कणहरूको जडत्वको क्षण बराबर हुन्छ:
म = Σ श्रीमान2
म = म1 r12 + मी2 r22 + मी3 r32 + ….. + मिn rn2
सबै कणहरूको पिण्ड = पातलो घेराको पिण्ड (M)
I = M (r 1 2 + r 2 2 + r 3 2 + ..... + r n 2 )
पातलो घेराको प्रत्येक कण परिक्रमाको अक्षबाट r हुन्छ त्यसैले r 1 = r 2 = r 3 = rn = R
पातलो घेराको जडत्वको क्षणको समीकरण:
म = एमआर २
I = पातलो घेराको जडत्वको क्षण, M = पातलो घेराको पिण्ड, R = पातलो घेराको त्रिज्या।
यदि परिक्रमाको अक्ष रिंगको केन्द्रमा अवस्थित छैन भने के हुन्छ? यदि परिक्रमाको अक्ष रिंगको केन्द्रमा अवस्थित छैन भने, माथिको विधि प्रयोग गरेर पातलो रिंगको जडत्वको क्षण सूत्र निकाल्न सकिँदैन,
किनभने परिक्रमा अक्षबाट प्रत्येक कणको दूरी फरक हुन्छ। यस विषयमा यस जस्तो समस्याको लागि जडत्वको क्षणको सूत्र निकाल्ने बारेमा छलफल गरिएको छैन।
केही कठोर वस्तुहरूको लागि जडत्वको क्षणको सूत्र
३.४ एकसमान कठोर शरीरको जडत्वको क्षणको नमूना समस्या
नमुना समस्या १:
रड सिलिन्डर AB को B मार्फत घुमाउँदा 3 किलोग्राम भार हुन्छ,
जडत्वको क्षण २७ किलोग्राम m २ छ । यदि जडत्वको क्षण कति हो भने
C मार्फत घुमाइयो?
समाधान:
समाधान:
एकरूप ठोस रडको लागि जडत्वको क्षणको सूत्र (परिक्रमणको अक्ष रडको केन्द्रमा हुन्छ):
I = १/३ एमएल २
२७ = (१/१२) एमएल २
(२७)(१२) = एमएल २
३२४ = एमएल २
एकसमान ठोस रडको जडत्वको क्षणको सूत्र (रडको किनारमा घुम्ने अक्ष):
I = १/३ एमएल २
म = १/३ (३२४)
I = ०.०८ किलोग्राम m २
