कोणीय गति

कोणीय गति

रेखीय गतिमा द्रव्यमान (m) सँग मिल्दोजुल्दो परिक्रमण गतिको परिमाण जडत्वको क्षण (I) हो। रेखीय गतिमा वेग (v) सँग मिल्दोजुल्दो परिक्रमण गतिको परिमाण कोणीय वेग (ω) हो। यसरी, घुम्ने वस्तुमा कोणीय गति हुन्छ जुन समीकरण प्रयोग गरेर गणना गर्न सकिन्छ:

L = I ω

L = कोणीय गति (kg m ² /s), I = जडत्वको क्षण (kg m ² ), ω = कोणीय गति (rad/s)

कोणीय गतिको नमूना समस्याहरू

नमुना समस्या १।

०.५ ग्राम पिण्ड भएको कण २ रेड/सेकेन्डको स्थिर कोणीय वेग भएको वृत्तमा घुम्छ। यदि कणको बाटोको त्रिज्या १० सेमी छ भने कणको कोणीय गति निर्धारण गर्नुहोस्।

समाधान:

कणको जडत्वको क्षण:

I = श्री ^२ = (०.५ x १० ^-३ किलोग्राम)(१ x १० ^-१ मिटर) ^२ = (०.५ x १० ^-३ किलोग्राम)(१ x १० ^-२ मिटर ^२ ) = ०.५ x १० ^-५ किलोग्राम मिटर ^२

कणको कोणीय गति:

ω = ३०० रेडियन/सेकेन्ड

कणको कोणीय गति:

L = (०.५ x १० ^-५ किलोग्राम मीटर ^२ )(२ रेड/सेकेन्ड) = १ x १० ^-५ किलोग्राम मीटर ^२ /सेकेन्ड

कोणीय गतिको संरक्षणको नियम

कोणीय गतिको संरक्षणको नियमले बताउँछ कि यदि घुम्दा कठोर शरीरमा बलको परिणामस्वरूप क्षण शून्य छ भने, घुम्दा कठोर शरीरको कोणीय गति सधैं स्थिर हुन्छ। कोणीय गतिको संरक्षणको नियमलाई न्यूटनको कोणीय गतिको दोस्रो नियमको समीकरण परिमार्जन गरेर गणितीय रूपमा निकाल्न सकिन्छ। यहाँ न्यूटनको कोणीय गतिको दोस्रो नियमको समीकरण छ:

यदि परिणामस्वरूप बलको क्षण शून्य छ भने, माथिको समीकरण निम्नमा परिवर्तन हुन्छ:

I _t = जडताको अन्तिम क्षण, I _o = जडताको प्रारम्भिक क्षण, ω _t = अन्तिम कोणीय गति, ω _o = प्रारम्भिक कोणीय गति, L _t = अन्तिम कोणीय गति, L _o = प्रारम्भिक कोणीय गति।

कोणीय गति संरक्षणको नियमका नमूना समस्याहरू

नमुना समस्या १।

एउटा समान ठोस सिलिन्डर डिस्क सुरुमा आफ्नो अक्षमा ४ रेड/सेकेन्डको गतिमा घुमिरहेको हुन्छ। डिस्कको पिण्ड र त्रिज्या १ किलोग्राम र ०.५ मिटर छ। यदि प्लेटमाथि ०.२ किलोग्राम र ०.१ मिटरको पिण्ड र त्रिज्या भएको रिङ राखिएको छ भने,

डिस्कको केन्द्रभन्दा ठीक माथि, त्यसपछि डिस्क र रिङ ..... को कोणीय वेगमा सँगै घुम्नेछन्।

समाधान:

ठोस बेलनाकारको जडत्वको क्षण: I = 1⁄2 mr ² = 1⁄2 (1 kg)(0.5 m) ² = (0.5)(0.25) = 0.125 kg m ²

वलयको जडत्वको क्षण: I = mr ² = (0.2 kg)(0.1 m) ² = (0.2)(0.01) = 0.002 kg m ²

प्रारम्भिक कोणीय संवेग (L ₁ ) = अन्तिम कोणीय संवेग (L ₂ )

I _१ ω _१ = I _२ ω _२

(०.१२५ किलोग्राम मि ^२ )(४ रेडियन/सेकेन्ड) = (०.१२५ किलोग्राम मि ^२ + ०.००२ किलोग्राम मि ^२ )(ω _२ )

(०.५) = (०.१२७)(ω _२ )

ω _२ = ०.५ : ०.१२७

ω _२ = ४ रेडियन/सेकेन्ड

वैचारिक प्रश्न र उत्तरहरू

1. कोणीय गति भनेको के हो?
   उत्तर: कोणिक गति भनेको कुनै वस्तुको पिण्ड र आकारलाई ध्यानमा राख्दै, त्यसको परिक्रमाको मात्राको मापन हो। यो रेखीय गतिको परिक्रमात्मक एनालग हो।
2. कोणीय गति गणितीय रूपमा कसरी निर्धारण गरिन्छ?
   उत्तर: कोणीय गति (L) लाई यसरी परिभाषित गरिएको छ $L=r\times p$जहाँ $r$ परिक्रमाको अक्षबाट प्रयोगको बिन्दुसम्मको स्थिति भेक्टर हो, र $p$ रेखीय गतिमान हो।
3. के कोणीय गतिमान स्केलर मात्रा हो वा भेक्टर मात्रा?
   उत्तर: कोणीय गति एक सदिश मात्रा हो।
4. SI प्रणालीमा कोणीय गतिको एकाइ के हो?
   उत्तर: SI प्रणालीमा कोणीय गतिको एकाइ किलोग्राम-मिटर वर्ग प्रति सेकेन्ड (kg·m) हो।²/हरू)।
5. कोणीय संवेग कसरी संरक्षित हुन्छ?
   उत्तर: बाह्य टर्क नभएको बन्द प्रणालीमा, कुल कोणीय गति स्थिर रहन्छ।
6. कोणीय गतिको संरक्षणको सिद्धान्त के हो?
   उत्तर: सिद्धान्तले बताउँछ कि बन्द प्रणालीको कुल कोणीय गति बाह्य टर्कद्वारा कार्य नगरिएसम्म स्थिर रहन्छ।
7. फिगर स्केटरको स्पिन कोणीय गतिसँग कसरी सम्बन्धित छ?
   उत्तर: जब फिगर स्केटरले स्पिनको समयमा आफ्नो हात र खुट्टालाई आफ्नो शरीरको नजिक तान्छ, तिनीहरूको जडत्वको क्षण घट्छ, जसले गर्दा तिनीहरू छिटो घुम्छन्। यसले कोणीय गतिको संरक्षणलाई प्रदर्शन गर्दछ।
8. टर्क र कोणीय गति बीचको सम्बन्ध के हो?
   उत्तर: टर्क ($\tau$) कोणीय गतिमानको परिवर्तनको दर हो। गणितीय रूपमा, τ=dलि/सेकेन्ड​.
9. के कुनै वस्तुको कोणीय वेग बिना कोणीय गति सम्भव छ?
   उत्तर: होइन, यदि कुनै वस्तुमा कोणीय गति छ भने, त्यसको कोणीय गति हुन्छ। कोणीय गतिको परिमाण र दिशा जडत्वको क्षण र कोणीय गति दुवैमा निर्भर गर्दछ।
10. जडत्वको क्षणले कोणीय गतिलाई कसरी असर गर्छ?
    उत्तर: कोणीय गति (L) जडत्व (I) को क्षण र कोणीय वेग (ω) को गुणनफल हो। US $L=I\omega$, दिइएको कोणीय वेगको लागि जडत्वको क्षणमा वृद्धिले कोणीय गति बढाउनेछ।
11. क्वान्टम मेकानिक्समा स्पिन र अर्बिटल कोणीय गति बीच के भिन्नता छ?
    उत्तर: स्पिन एङ्गुलर मोमेन्टम इलेक्ट्रोनहरू जस्तै कणहरूको आन्तरिक गुण हो र यो अन्तरिक्षमा गतिबाट उत्पन्न हुँदैन। अर्कोतर्फ, कक्षीय एङ्गुलर मोमेन्टम केन्द्रीय बिन्दु वरिपरि कणको गतिबाट उत्पन्न हुन्छ।
12. ग्रह प्रणालीको निर्माणमा कोणीय गतिले कस्तो भूमिका खेल्छ?
    उत्तर: आणविक बादल भत्किएर तारा र ग्रहहरू बन्छन्, कोणीय गतिको संरक्षणले पदार्थलाई नवजात ताराको वरिपरि डिस्कमा समतल बनाउँछ, जसबाट ग्रहहरू बन्न सक्छन्।
13. अन्तरिक्षमा जाइरोस्कोपले आफ्नो अभिमुखीकरण कसरी कायम राख्छ?
    उत्तर: घुम्ने जाइरोस्कोपमा कोणीय गति हुन्छ। जब बाह्य टर्कले आफ्नो अभिमुखीकरण परिवर्तन गर्ने प्रयास गर्छ, जाइरोस्कोपले कोणीय गतिको संरक्षणको कारणले लागू गरिएको टर्कको लम्ब दिशामा आफ्नो परिक्रमाको अक्षलाई अगाडि बढाउँछ वा परिवर्तन गर्छ।
14. स्पिनिङ टपमा प्रिसेसन के कारणले हुन्छ?
    उत्तर: घुम्ने शीर्षमा प्रिसेसन शीर्षको द्रव्यमान केन्द्रमा गुरुत्वाकर्षणको कारणले हुने टर्कको कारणले हुन्छ, जुन यसको पिभोट बिन्दुबाट अफसेट हुन्छ। यो टर्कले शीर्षको कोणीय गतिको दिशामा परिवर्तन ल्याउँछ, जसले गर्दा यो प्रिसेस हुन्छ।
15. ताराहरू किन आफ्नो ध्रुवमा समतल हुन्छन्?
    उत्तर: ताराहरू घुम्दा, तिनीहरूले पदार्थलाई बाहिर धकेल्ने केन्द्रापसारक बल अनुभव गर्छन्। यो प्रभाव ध्रुवहरूमा भन्दा भूमध्य रेखामा बलियो हुन्छ, जसले गर्दा ओब्लेट वा समतल आकार हुन्छ।
16. केप्लरको दोस्रो नियमसँग कोणीय गति कसरी सम्बन्धित छ?
    उत्तर: केप्लरको दोस्रो नियमले बताउँछ कि ग्रह र सूर्यलाई जोड्ने रेखा खण्डले समयको बराबर अन्तरालमा बराबर क्षेत्रहरू ओगट्छ। यो कोणीय गतिको संरक्षणको परिणाम हो।
17. बिरालो किन लड्दा सधैं खुट्टामा लड्छ?
    उत्तर: बिरालाहरूले कोणीय गतिको संरक्षण प्रयोग गर्छन्। आफ्नो शरीरलाई घुमाएर र हावाको बीचमा आफ्नो जडत्वको क्षणहरू परिवर्तन गरेर, तिनीहरू संरक्षण कानूनहरू उल्लङ्घन नगरी आफ्नो खुट्टामा अवतरण गर्न आफूलाई पुन: दिशा दिन सक्छन्।
18. इलेक्ट्रोनहरूमा चुम्बकीय क्षण कोणीय गतिसँग कसरी सम्बन्धित छ?
    उत्तर: इलेक्ट्रोनको चुम्बकीय क्षण यसको स्पिन र कक्षीय कोणीय गतिबाट उत्पन्न हुन्छ। चुम्बकीय क्षण इलेक्ट्रोनको कोणीय गतिसँग समानुपातिक हुन्छ।
19. ध्रुवीय निर्देशांकको सन्दर्भमा कोणीय गति भनेको के हो?
    उत्तर: ध्रुवीय निर्देशांकहरूमा, कोणीय गतिमान $L$ बिन्दुको लागि पिण्डलाई यसरी व्यक्त गर्न सकिन्छ $L=mrv$जहाँ $m$ पिण्ड हो, $r$ रेडियल दूरी हो, र $v$ स्पर्शरेखा वेग हो।
20. दुई वस्तुहरू ठोक्किँदा बन्द प्रणालीको कोणीय गतिमा के हुन्छ?
    उत्तर: दुई वस्तुहरू ठोक्किने बन्द प्रणालीमा, टक्कर हुनुभन्दा पहिलेको कुल कोणीय गति टक्कर पछिको कुल कोणीय गति बराबर हुन्छ, मानौं कुनै बाह्य टर्कहरूले प्रणालीमा काम गर्दैनन्।

समस्या र समाधानहरू

१. समस्या: एउटा बिन्दु पिण्ड m = २ किलोग्राम, r = ४ मिटर त्रिज्या भएको वृत्तमा v = ३ मिटर/सेकेन्डको वेगमा सर्छ। वृत्तको केन्द्र वरिपरि यसको कोणीय गति गणना गर्नुहोस्।

समाधान: $L=m\times r\times v$ =2×4×3=24 kg.m ² /s

२. समस्या: ३ किलोग्राम पिण्ड र ०.५ मिटर त्रिज्या भएको ठोस गोलाले आफ्नो व्यासको वरिपरि कोणीय वेग ω = २ रेडियन/सेकेन्ड घुमिरहेको छ। यसको कोणीय संवेग कति हो?

समाधान: ठोस गोलाको लागि, I = 2/5 ​m r ²

$L=I\times \omega$

L=2/5×3×(0.5) ² ×2=0.6 kg.m ² /s

३. समस्या: ३ किलोग्रामको एउटा बिन्दु पिण्ड ४ मिटर/सेकेन्डको गतिमा सिधा रेखामा सरिरहेको छ। यसको गति रेखाबाट ५ मिटर टाढा रहेको बिन्दुको बारेमा यसको कोणीय संवेग कति हुन्छ?

समाधान:

$ल=म\times ब\times र$

L=३×४×५=६० किलोग्राम। ^{मि २} /सेकेन्ड

४. समस्या: ५ किलोग्राम पिण्ड र ३ मिटर त्रिज्या भएको डिस्क २ रेड/सेकेन्डको कोणीय गतिमा घुमिरहेको छ। यसको कोणीय संवेग गणना गर्नुहोस्।

समाधान: डिस्कको लागि, I = 1/2 ​m r ²

$L=I\times \omega$

L=1/2×5×3 ² ×2=45 kg.m ² /s

५. समस्या: ४ मिटर लम्बाइ र २ किलोग्राम पिण्ड भएको रडले ३ रेड/सेकेन्डको कोणीय गतिमा एक छेउमा घुम्छ। यसको कोणीय संवेग पत्ता लगाउनुहोस्।

समाधान: एक छेउमा रहेको रडको लागि, I = १/३ ​m l ^२

$L=I\times \omega$

L=1/3×2×4 ² ×3=96 kg.m ² /s

६. समस्या: घुम्ने पिण्डले आफ्नो कोणीय वेग दोब्बर गरेमा कोणीय गतिमा के परिवर्तन हुन्छ?

समाधान: कोणीय गति (L) र कोणीय गति (ω) बीचको सम्बन्ध $L=I\times \omega$ हो । यदि ω दोब्बर गरियो भने, कोणीय गति पनि दोब्बर हुनेछ।

७. समस्या: यदि गतिमान कणको वृत्ताकार मार्गको त्रिज्या गति स्थिर राख्दा दोब्बर हुन्छ भने, कोणीय गति कुन कारकले परिवर्तन हुन्छ?

समाधान: कोणीय गति, $L=m\times r\times v$ । यदि r दोब्बर हुन्छ भने, L पनि दोब्बर हुनेछ।

८. समस्या: ३० किलोग्राम तौल भएको एउटा बच्चा आराम गरिरहेको मेरी-गो-राउन्डको किनारमा उभिरहेको छ। मेरी-गो-राउन्डको त्रिज्या २ मिटर छ। यदि बच्चा किनारामा जमिनको सापेक्षमा २ मिटर/सेकेन्डको गतिमा दौडन थाल्छ भने, केन्द्रको सापेक्षमा बच्चाको कोणीय संवेग पत्ता लगाउनुहोस्।

समाधान: $L=m\times r\times v$ =30×2×2=120 kg.m ² /s

९. समस्या: ६ किलोग्राम पिण्ड र २ मिटर त्रिज्या भएको एउटा बेलनाकार आफ्नो केन्द्रीय अक्षको वरिपरि ५ रेड/सेकेन्डको कोणीय गतिमा घुमिरहेको छ। यसको कोणीय संवेग गणना गर्नुहोस्।

समाधान: एउटा सिलिन्डरको लागि, I = १/२ ​m r ^२

$L=I\times \omega$ =१/३×१×०.५ ^२ ×१०=०.८३३ किलोग्राम। ^{मि २} /सेकेन्ड

१०. समस्या: यदि कुनै वस्तुको जडत्वको क्षण आधा गरिएमा र कोणीय वेग तीन गुणा गरिएमा त्यसको नयाँ कोणीय संवेग कति हुनेछ?

समाधान: $L=I\times \omega$ दिइएको खण्डमा , यदि $I$ लाई आधा गरी $\omega \; लाई$ तीन गुणा गरियो भने, नयाँ $L$ मूलको 1/2×3=1.5 × हुनेछ ।

११. समस्या: २ किलोग्राम पिण्ड र १ मिटर त्रिज्या भएको एउटा घेरा ४ रेड/सेकेन्डको कोणीय गतिमा घुमिरहेको छ। यसको कोणीय संवेग गणना गर्नुहोस्।

समाधान: घेराको लागि, I = m r ²

$L=I\times \omega$

L=२×१ ^२ ×४=८ किलोग्राम। ^{मि २} /सेकेन्ड

१२. समस्या: एउटा पंखाको ब्लेड ०.५ मिटर लम्बाइ र कुल द्रव्यमान १ किलोग्राम हुन्छ। यदि यो १० रेड/सेकेन्डको कोणीय गतिमा घुम्छ भने, यसको कोणीय संवेग निर्धारण गर्नुहोस्।

समाधान: मानौं कि पंखाका ब्लेडहरू एक छेउमा घुम्ने रडहरू जस्तै छन्, I =1/3 ​m l ²

$L=I\times \omega$ =१/३×१×०.५ ^२ ×१०=०.८३३ किलोग्राम। ^{मि २} /सेकेन्ड

१३. समस्या: पृथ्वीको परिक्रमाका कारण यसको आफ्नै अक्ष वरिपरि कोणीय गति गणना गर्नुहोस्। दिइएको: पृथ्वीको पिण्ड =५.९७२×१० ^२४ किलोग्राम , त्रिज्या $r=\mathrm{६३७१}\text{किमी}$ , ω = ७.२७ × १ ० ^−५ रेडियन/सेकेन्ड ।

समाधान: पृथ्वीलाई ठोस गोलाकार मान्दा, I = 2/5 ​m r ²

$L=I\times \omega$ = 2/5 × 5.972 × 10 ²⁴ × (6371 × 10 ³ ) ² × 7.27 × 10 ⁻⁵

L ≈ 7.07 × 1 0 ³³ kg.m ² / s

१४. समस्या: एउटा बच्चा घुम्ने प्लेटफर्मको केन्द्रतिर सर्छ। के कोणीय गतिमान बढ्छ, घट्छ वा उस्तै रहन्छ?

समाधान: कोणीय संवेग संरक्षित हुन्छ। बच्चा केन्द्रतिर सर्दै जाँदा, जडत्वको क्षण घट्छ। कोणीय संवेग संरक्षण गर्न, कोणीय वेग बढ्छ। यसरी, कोणीय संवेग उस्तै रहन्छ।

१५. समस्या: यदि घुम्ने पिण्डको गतिज ऊर्जा दोब्बर भयो भने, यसको कोणीय गति कुन कारकले परिवर्तन हुन्छ?

समाधान: गतिज ऊर्जा K = 1/2 ​I ω ² र कोणीय गति $L=I\omega$ । यदि गतिज ऊर्जा दोब्बर भयो र $I$ स्थिर रह्यो भने, ω ² दोब्बर हुन्छ। यसको अर्थ $\omega$ √ 2​ को गुणनले बढ्छ ।$यसरी,\; L$ पनि √ 2​ को गुणनले बढ्छ ।

१६. समस्या: ०.३ मिटर त्रिज्या भएको साइकलको पाङ्ग्राको भार १.५ किलोग्राम हुन्छ। यदि यो ५ रेड/सेकेन्डको कोणीय गतिमा घुम्छ भने, यसको कोणीय संवेग पत्ता लगाउनुहोस्।

समाधान: रिमलाई घेरा मानेर, I = m r ²

$L=I\times \omega$ =१.५×०.३२×५=६.७५ किलोग्राम। ^{मि २} /सेकेन्ड

L = 1.5 × 0. 3 2 × 5 = 6.75 kg.m ² / s

१७. समस्या: एक आइस स्केटरले घुम्दा आफ्नो हात भित्रतिर तान्छिन्। उनको कोणीय गतिलाई के हुन्छ?

समाधान: स्केटरको कोणीय गति संरक्षित हुन्छ। आफ्नो हात भित्र तान्दा, उसले आफ्नो जडत्वको क्षण घटाउँछ, र यसरी उसले आफ्नो कोणीय गति संरक्षण गर्न छिटो घुम्छ (बढेको कोणीय वेग)।

१८. समस्या: एउटा फ्लाईव्हीलको जडत्वको क्षण ०.२ किलोग्राम ^२ किलोग्राम ^२ हुन्छ र यो १० रेड/सेकेन्डको कोणीय वेगमा घुम्छ। यसको कोणीय गति पत्ता लगाउनुहोस्।

समाधान:

$L=I\times \omega$ = ०.२×१०=२ किलोग्राम। ^{मि २} /सेकेन्ड

एल = ०.२ × १० = २ किलोग्राम। ^{मि २} / सेकेन्ड

१९. समस्या: कुनै प्रणालीमा शून्यको नेट बाह्य टर्क क्रियाशील हुन्छ। यसको कोणीय गतिको बारेमा तपाईं के भन्न सक्नुहुन्छ?

समाधान: यदि नेट बाह्य टर्क शून्य छ भने, कोणीय गतिको संरक्षण अनुसार, प्रणालीको कुल कोणीय गति स्थिर रहन्छ।

२०. समस्या: एउटा बिन्दु पिण्ड m = ५ किलोग्राम हुन्छ र P बिन्दुमा जोड्ने रेखामा लम्बवत v = ३ m/s को वेगमा सर्छ। यदि P बिन्दुबाट दूरी ४ मिटर छ भने, P बिन्दुको वरिपरि यसको कोणीय गति पत्ता लगाउनुहोस्।

समाधान:

$L=m\times r\times v$ = 5×4×3=60 kg.m ² /s

L = 5 × 4 × 3 = 60 kg.m ² / s