बढ्दो कार्यहरू, घट्दो कार्यहरू, र स्थिर कार्यहरूको उदाहरण प्रश्नहरू र छलफल
गणितीय प्रकार्यहरू एकदमै गहन विषय हुन् र विभिन्न विशेषताहरूले भरिएका हुन्छन्, जसमध्ये एउटा हो तिनीहरूलाई बढ्दो, घट्दो, वा स्थिर अवस्थाको सन्दर्भमा कसरी विश्लेषण गर्न सकिन्छ। कुनै प्रकार्य बढ्दो, घट्दो, वा स्थिर छ कि छैन भनेर जान्नु अर्थशास्त्र, भौतिकशास्त्र, र इन्जिनियरिङ सहित गणितका विभिन्न अनुप्रयोगहरूमा महत्त्वपूर्ण छ। यस लेखले उदाहरणहरू र बढ्दो, घट्दो, र स्थिर प्रकार्यहरूसँग सम्बन्धित तिनीहरूको छलफललाई समेट्नेछ।
बढ्दो कार्यहरू, घट्दो कार्यहरू, र स्थिर कार्यहरू के हुन्?
1. Fungsi Naik : Suatu fungsi \( f(x) \) dikatakan naik pada suatu interval \( I \) jika untuk setiap \( x_1 \) dan \( x_2 \) di \( I \) dengan \( x_1 < x_2 \), kita memiliki \( f(x_1) \leq f(x_2) \). 2. Fungsi Turun : Sebaliknya, fungsi \( f(x) \) dikatakan turun pada suatu interval \( I \) jika untuk setiap \( x_1 \) dan \( x_2 \) di \( I \) dengan \( x_1 < x_2 \), kita memiliki \( f(x_1) \geq f(x_2) \). 3. Fungsi Diam : Suatu fungsi \( f(x) \) dikatakan diam pada suatu interval \( I \) jika untuk setiap \( x \) di \( I \), fungsi tersebut memiliki nilai yang sama, yakni \( f(x) = c \) untuk setiap \( x \) di \( I \), dengan c adalah konstanta. Contoh Soal 1: Menentukan Interval Fungsi Naik Diberikan fungsi \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5 \). Tentukan interval dimana fungsi tersebut naik! Pembahasan: Untuk menentukan interval di mana fungsi naik, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi tersebut dan kemudian analisis tanda dari turunan tersebut. 1. Langkah 1: Mencari turunan pertama : \[ f'(x) = d/dx (2x^3 - 3x^2 - 12x + 5) \] \[ f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 \] 2. Langkah 2: Menentukan titik kritis : Titik kritis adalah titik di mana turunan pertama bernilai nol atau tidak terdefinisi. \[ 6x^2 - 6x - 12 = 0 \] Membagi seluruh persamaan dengan 6: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Kita faktorkan persamaan kuadrat ini: \[ (x-2)(x+1) = 0 \] Jadi, titik kritis adalah \( x = 2 \) dan \( x = -1 \). 3. Langkah 3: Menentukan tanda turunan pertama pada interval yang dibentuk oleh titik kritis : Kita akan membuat tabel tanda untuk \( f'(x) \) pada interval \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 2) \), dan \( (2, \infty) \). - Untuk \( x \in (-\infty, -1) \): Ambil \( x = -2 \) \[ f'(-2) = 6(-2)^2 - 6(-2) - 12 = 24 + 12 - 12 = 24 \] Karena \( f'(-2) > 0 \), maka \( f(x) \) naik pada interval \( (-\infty, -1) \).
– \( x \in (-1, 2) \ को लागि): \( x = 0 \) लिनुहोस्
\[ f'(0) = 6(0)^2 – 6(0) – 12 = -12 \]
\( f'(0) < 0 \) भएकोले, त्यसपछि \( f(x) \) अन्तरालमा घट्दै छ \( (-1, 2) \)। - \( x \in (2, \infty) \ को लागि: \( x = 3 \) \[ f'(3) = 6(3)^2 - 6(3) - 12 = 54 - 18 - 12 = 24 \] लिनुहोस् \( f'(3) > 0 \) भएकोले, त्यसपछि \( f(x) \) अन्तरालमा बढ्दै छ \( (2, \infty) \)।
त्यसैले, प्रकार्य \( f(x) \) अन्तराल \( (-\infty, -1) \cup (2, \infty) \) मा बढ्दैछ।
उदाहरण समस्या २: घट्दो प्रकार्य अन्तराल निर्धारण गर्ने
प्रकार्य \( g(x) = 4x^4 – 8x^3 + 2 \) दिइएको छ। प्रकार्य घट्ने ठाउँहरूमा अन्तरालहरू निर्धारण गर्नुहोस्!
छलफल:
चरण १: पहिलो व्युत्पन्न खोज्नुहोस्:
\[ g'(x) = d/dx (४x^४ – ८x^३ + २) \]
\[ g'(x) = १६x^३ – २४x^२ \]
२. चरण २: महत्वपूर्ण बिन्दु निर्धारण गर्नुहोस्:
\[ १६x^३ – २४x^२ = ० \]
\[ ८x^२(२x – ३) = ० \]
त्यसैले महत्वपूर्ण बिन्दुहरू \( x = 0 \) र \( x = \frac{3}{2} \) हुन्।
३. चरण ३: अन्तरालमा पहिलो व्युत्पन्नको चिन्ह निर्धारण गर्नुहोस्:
– \( x \in (-\infty, 0) \ को लागि): \( x = -1 \) लिनुहोस्
\[ g'(-1) = १६(-१)^३ – २४(-१)^२ = -१६ – २४ = -४० \]
Karena \( g'(-1) < 0 \), maka \( g(x) \) turun pada interval \( (-\infty, 0) \).
- Untuk \( x \in (0, \frac{3}{2}) \): Ambil \( x = 1 \)
\[ g'(1) = 16(1)^3 - 24(1)^2 = 16 - 24 = -8 \]
Karena \( g'(1) < 0 \), maka \( g(x) \) turun pada interval \( (0, \frac{3}{2}) \).
- Untuk \( x \in (\frac{3}{2}, \infty) \): Ambil \( x = 2 \)
\[ g'(2) = 16(2)^3 - 24(2)^2 = 128 - 96 = 32 \]
Karena \( g'(2) > 0 \), maka \( g(x) \) naik pada interval \( (\frac{3}{2}, \infty) \).
त्यसैले, प्रकार्य \( g(x) \) अन्तराल \( (-\infty, 0) \cup (0, \frac{3}{2}) \) मा घट्छ।
उदाहरण प्रश्न ३: आराममा प्रकार्यको अन्तराल निर्धारण गर्ने
प्रकार्य \( h(x) = 7 \) दिइएको छ, जहाँ प्रकार्य स्थिर छ त्यहाँ अन्तरालहरू निर्धारण गर्नुहोस्!
छलफल:
\( h(x) = 7 \) जस्ता स्थिर प्रकार्यमा सबै \( x \) को लागि शून्यको पहिलो व्युत्पन्न हुन्छ:
\[ h'(x) = ० \]
पहिलो व्युत्पन्न सधैं शून्य हुने भएकोले, प्रकार्य सम्पूर्ण डोमेनमा स्थिर हुन्छ, त्यसैले हामी भन्न सक्छौं कि प्रकार्य \( h(x) = 7 \) सबै वास्तविक संख्याहरूमा स्थिर हुन्छ, जुन अन्तराल नोटेशनमा \( (-\infty, \infty) \) हुन्छ।
केसिम्पुलन
कुनै पनि प्रकार्यको बढ्दो, घट्दो र स्थिर अवस्थाहरूको अन्तरालहरू बुझ्नु कार्यात्मक विश्लेषणको एक आवश्यक भाग हो। माथिका उदाहरणहरू मार्फत, हामीले यी अन्तरालहरू फेला पार्न आवश्यक पर्ने आधारभूत अवधारणाहरू र चरणहरू समेटेका छौं। यो ज्ञान गणितको विभिन्न व्यावहारिक र सैद्धान्तिक अनुप्रयोगहरूमा अत्यन्त उपयोगी छ।
