Momentum angolari

Momentum angolari

Il-kwantità tal-moviment rotazzjonali, li hija identika għall-massa (m) fil-moviment lineari, hija l- mument tal-inerzja (I). Il-kwantità tal-moviment rotazzjonali, li hija identika għall-veloċità (v) fil-moviment lineari, hija l-veloċità angolari (ω). Għalhekk, l-oġġett li jdur għandu momentum angolari li jista' jiġi kkalkulat bl-użu tal-ekwazzjoni:

L = Iω

L = momentum angolari (kg m² ^/ s), I = mument ta' inerzja (kg m² ⁾ , ω = veloċità angolari (rad/s)

Problemi kampjun tal-momentum angolari

Problema kampjun 1.

Partiċella b'massa ta' 0.5 grammi tiċċaqlaq f'ċirku b'veloċità angolari kostanti ta' 2 rad/s. Iddetermina l-momentum angolari tal-partiċella jekk ir-raġġ tal-mogħdija tal-partiċella huwa 10 ċm.

soluzzjoni:

Il-mument tal-inerzja tal-partiċella:

I = mr² ⁼ (0.5 x ^10⁻³ kg)(1 x ^10⁻¹ m) ^² = (0.5 x ^10⁻³ kg)(1 x 10⁻² ^m² ) ⁼ 0.5 x ^10⁻⁵ kg ^​​m²

Il-veloċità angolari tal-partiċella:

ω = 2 rad/s

Il-momentum angolari tal-partiċella:

L = (0.5 x ^10⁻⁵ kg m² ⁾ (2 rad/s) = 1 x ^10⁻⁵ kg m² ^/ s

Il-liġi tal-konservazzjoni tal-momentum angolari

Il-liġi tal-konservazzjoni tal-momentum angolari tgħid li jekk il-mument riżultanti tal-forza fuq korp riġidu meta jdur huwa żero, allura l-momentum angolari tal-korp riġidu meta jdur huwa dejjem kostanti. Il-liġi tal-konservazzjoni tal-momentum angolari tista' tiġi derivata matematikament billi tiġi modifikata l-ekwazzjoni tat-tieni liġi ta' Newton dwar il-momentum angolari. Hawn hi l-ekwazzjoni tat-tieni liġi ta' Newton dwar il-momentum angolari:

Jekk il-mument tal-forza li jirriżulta huwa żero, allura l-ekwazzjoni ta' hawn fuq tinbidel għal:

I _t = il-mument finali tal-inerzja, I _o = il-mument inizjali tal-inerzja, ω _t = il-veloċità angolari finali, ω _o = il-veloċità angolari inizjali, L _t = il-momentum angolari finali, L _o = il-momentum angolari inizjali.

Problemi kampjun tal-liġi tal-konservazzjoni tal-momentum angolari

Problema kampjun 1.

Diska ċilindrika solida omoġenja inizjalment qed iddur fuq l-assi tagħha b'veloċità ta' 4 rad/s. Il-massa u r-raġġ tad-diska huma 1 kg u 0.5 m. Jekk 'il fuq mill-pjanċa jitqiegħed ċirku li għandu massa u raġġ ta' 0.2 kg u 0.1 m u ċ-ċentru taċ-ċirku,

eżatt 'il fuq miċ-ċentru tad-diska, allura d-diska u ċ-ċirku jduru flimkien bil-veloċità angolari ta'...

soluzzjoni:

Mument ta' inerzja ta' ċilindru solidu: I = 1⁄2 mr² ⁼ 1⁄2 (1 kg)(0.5 m) ^² = (0.5)(0.25) = 0.125 kg ^m²

Il-mument tal-inerzja taċ-ċirku: I = mr² ⁼ (0.2 kg)(0.1 m) ^² = (0.2)(0.01) = 0.002 kg ^m²

Momentum angolari inizjali (L1 ₎ = Momentum angolari finali ( _L2 )

I ₁ ω ₁ = I ₂ ω ₂

(0.125 kg m² ⁾ (4 rad/s) = (0.125 kg m² ⁺ 0.002 kg m² ⁾ ( _ω² )

(0.5) = (0.127)( _ω2 )

ω2 = _0.5 : 0.127

ω2 = ₄ rad/s

Mistoqsijiet u tweġibiet kunċettwali

1. X'inhu l-momentum angolari?
   Tweġiba: Il-momentum angolari huwa kejl tal-ammont ta' rotazzjoni li jkollu oġġett, meta wieħed iqis il-massa u l-għamla tiegħu. Huwa l-analogu rotazzjonali tal-momentum lineari.
2. Kif jiġi ddeterminat il-momentum angolari matematikament?
   Tweġiba: Il-momentum angolari (L) huwa definit bħala $L=r\times p$, Fejn $r$ huwa l-vettur tal-pożizzjoni mill-assi tar-rotazzjoni sal-punt tal-applikazzjoni, u $p$ huwa l-momentum lineari.
3. Il-momentum angolari huwa kwantità skalari jew vettorjali?
   Tweġiba: Il-momentum angolari huwa kwantità vettorjali.
4. X'inhi l-unità tal-momentum angolari fis-sistema SI?
   Tweġiba: L-unità tal-momentum angolari fis-sistema SI hija kilogramm-metru kwadru kull sekonda (kg·m²/ s).
5. Kif jiġi kkonservat il-momentum angolari?
   Tweġiba: F'sistema magħluqa mingħajr torques esterni, il-momentum angolari totali jibqa' kostanti.
6. X'inhu l-prinċipju tal-konservazzjoni tal-momentum angolari?
   Tweġiba: Il-prinċipju jiddikjara li l-momentum angolari totali ta' sistema magħluqa jibqa' kostanti sakemm ma jkunx hemm azzjoni fuqu minn torque estern.
7. Kif tirrelata l-ispin ta' skater tal-figura mal-momentum angolari?
   Tweġiba: Meta skater tal-figura jiġbed idejh u saqajh qrib ġisimhom waqt dawra, inaqqas il-mument ta' inerzja tiegħu, u b'hekk idur aktar malajr. Dan juri l-konservazzjoni tal-momentum angolari.
8. X'inhi r-relazzjoni bejn it-torque u l-momentum angolari?
   Tweġiba: Torque ($\tau$) hija r-rata tal-bidla tal-momentum angolari. Matematikament, τ=dL/sek​.
9. Huwa possibbli li oġġett ikollu momentum angolari mingħajr veloċità angolari?
   Tweġiba: Le, jekk oġġett għandu momentum angolari, għandu veloċità angolari. Il-kobor u d-direzzjoni tal-momentum angolari jiddependu kemm fuq il-mument tal-inerzja kif ukoll fuq il-veloċità angolari.
10. Kif jaffettwa l-mument tal-inerzja l-momentum angolari?
    Tweġiba: Il-momentum angolari (L) huwa l-prodott tal-mument tal-inerzja (I) u l-veloċità angolari (ω). $L=I\omega$, żieda fil-mument tal-inerzja għal veloċità angolari partikolari se żżid il-momentum angolari.
11. X'inhi d-differenza bejn l-ispin u l-momentum angolari orbitali fil-mekkanika kwantistika?
    Tweġiba: Il-momentum angolari tal-ispin huwa proprjetà intrinsika tal-partiċelli, bħall-elettroni, u ma jirriżultax mill-moviment fl-ispazju. Il-momentum angolari orbitali, min-naħa l-oħra, jirriżulta mill-moviment ta' partiċella madwar punt ċentrali.
12. X'rwol għandu l-momentum angolari fil-formazzjoni tas-sistemi planetarji?
    Tweġiba: Hekk kif sħaba molekulari tiġġarraf biex tifforma stilel u pjaneti, il-konservazzjoni tal-momentum angolari tikkawża li l-materjal jiċċattja f'diska madwar l-istilla li għadha kif twieldet, li minnha jistgħu jiffurmaw pjaneti.
13. Kif iżomm ġiroskopju l-orjentazzjoni tiegħu fl-ispazju?
    Tweġiba: Ġiroskopju li jdur għandu momentum angolari. Meta torque estern jipprova jibdel l-orjentazzjoni tiegħu, il-ġiroskopju jippreċedi, jew jibdel l-assi tar-rotazzjoni tiegħu, f'direzzjoni perpendikolari għat-torque applikat minħabba l-konservazzjoni tal-momentum angolari.
14. X'jikkawża l-preċessjoni f'top li jdur?
    Tweġiba: Il-preċessjoni f'trota li ddur hija kkawżata mit-torque minħabba l-gravità li taġixxi fuq iċ-ċentru tal-massa tat-trota, li huwa spostat mill-punt tal-pern tagħha. Dan it-torque jirriżulta f'bidla fid-direzzjoni tal-momentum angolari tat-trota, u jikkawża li din tippreċedi.
15. Għaliex l-istilel jiċċattjaw fil-poli tagħhom?
    Tweġiba: Hekk kif l-istilel iduru, jesperjenzaw forza ċentrifugali li timbotta l-materja 'l barra. Dan l-effett huwa aktar qawwi fl-ekwatur milli fil-poli, u jwassal għal forma oblata, jew iċċattjata.
16. Kif huwa relatat il-momentum angolari mat-tieni liġi ta' Kepler?
    Tweġiba: It-tieni liġi ta' Kepler tgħid li segment ta' linja li jgħaqqad pjaneta max-Xemx jiknes żoni ugwali matul intervalli ta' żmien ugwali. Din hija konsegwenza tal-konservazzjoni tal-momentum angolari.
17. Għaliex qattus dejjem jinżel fuq saqajh meta jaqa'?
    Tweġiba: Il-qtates jużaw il-konservazzjoni tal-momentum angolari. Billi jdawru ġisimhom u jibdlu l-mumenti ta' inerzja tagħhom f'nofs l-arja, jistgħu jorjentaw ruħhom mill-ġdid biex jinżlu fuq saqajhom mingħajr ma jiksru l-liġijiet tal-konservazzjoni.
18. Kif huwa relatat il-mument manjetiku mal-momentum angolari fl-elettroni?
    Tweġiba: Il-mument manjetiku ta' elettron jirriżulta mill-ispin u l-momentum angolari orbitali tiegħu. Il-mument manjetiku huwa proporzjonali għall-momentum angolari tal-elettron.
19. X'inhu l-momentum angolari f'termini ta' koordinati polari?
    Tweġiba: F'koordinati polari, momentum angolari $L$ għal massa ta' punt tista' tiġi espressa bħala $L=mrv$, Fejn $m$ hija l-massa, $r$ hija d-distanza radjali, u $v$ hija l-veloċità tanġenzjali.
20. X'jiġri mill-momentum angolari ta' sistema magħluqa meta żewġ oġġetti jaħbtu ma' xulxin?
    Tweġiba: F'sistema magħluqa fejn żewġ oġġetti jaħbtu ma' xulxin, il-momentum angolari totali qabel il-ħabta huwa ugwali għall-momentum angolari totali wara l-ħabta, jekk wieħed jassumi li l-ebda torques esterni ma jaġixxu fuq is-sistema.

Problemi u Soluzzjonijiet

1. Problema: Punt b'massa m = 2 kg jiċċaqlaq b'veloċità v = 3 m/s f'ċirku b'raġġ r = 4 m. Ikkalkula l-momentum angolari tiegħu madwar iċ-ċentru taċ-ċirku.

Soluzzjoni: $L=m\times r\times v$ =2×4×3=24 kg.m² ^/ s

2. Problema: Sfera solida b'massa ta' 3 kg u raġġ ta' 0.5 m qed iddur madwar id-dijametru tagħha b'veloċità angolari ω = 2 rad/s. X'inhu l-momentum angolari tagħha?

Soluzzjoni: Għal sfera solida, I = 2/5 ​m r ²

$L=I\times \omega$

L=2/5×3×(0.5) ² ×2=0.6 kg.m ² /s

3. Problema: Massa puntwali ta' 3 kg qed tiċċaqlaq b'veloċità ta' 4 m/s f'linja dritta. X'inhu l-momentum angolari tagħha madwar punt 5 m 'il bogħod mil-linja tal-moviment tagħha?

soluzzjoni:

$L=m\times v\times r$

L=3×4×5=60 kg.m² ^/ s

4. Problema: Diska b'massa ta' 5 kg u raġġ ta' 3 m qed iddur b'veloċità angolari ta' 2 rad/s. Ikkalkula l-momentum angolari tagħha.

Soluzzjoni: Għal diska, I = 1/2 ​m r ²

$L=I\times \omega$

L=1/2×5×3 ² ×2=45 kg.m ² /s

5. Problema: Virga b'tul ta' 4 m u massa ta' 2 kg iddur madwar tarf wieħed b'veloċità angolari ta' 3 rad/s. Sib il-momentum angolari tagħha.

Soluzzjoni: Għal virga madwar tarf wieħed, I = 1/3 ​m l ²

$L=I\times \omega$

L=1/3×2×4 ² ×3=96 kg.m ² /s

6. Problema: X'inhi l-bidla fil-momentum angolari jekk korp li qed idur jirdoppja l-veloċità angolari tiegħu?

Soluzzjoni: Ir-relazzjoni bejn il-momentum angolari (L) u l-veloċità angolari (ω) hija $L=I\times \omega$ . Jekk ω jiġi rduppjat, il-momentum angolari jirdoppja wkoll.

7. Problema: Jekk ir-raġġ ta' mogħdija ċirkolari ta' partiċella li tiċċaqlaq jirdoppja filwaqt li l-veloċità tinżamm kostanti, b'liema fattur jinbidel il-momentum angolari?

Soluzzjoni: Momentum angolari, $L=m\times r\times v$ . Jekk r tirdoppja, L tirdoppja wkoll.

8. Problema: Tifel b'massa ta' 30 kg jinsab wieqaf fit-tarf ta' karusell li jkun wieqef. Ir-raġġ tal-karusell huwa ta' 2 m. Jekk it-tifel jibda jiġri b'veloċità ta' 2m/s fir-rigward tal-art tul it-tarf, sib il-momentum angolari tat-tifel fir-rigward taċ-ċentru.

Soluzzjoni: $L=m\times r\times v$ =30×2×2=120 kg.m² ^/ s

9. Problema: Ċilindru b'massa ta' 6 kg u raġġ ta' 2 m qed idur madwar l-assi ċentrali tiegħu b'veloċità angolari ta' 5 rad/s. Ikkalkula l-momentum angolari tiegħu.

Soluzzjoni: Għal ċilindru, I = 1/2 ​m r ²

$L=I\times \omega$ =1/2×6×0.52 ^× 5=120 kg.m2 ^/ s

10. Problema: X'se jkun il-momentum angolari l-ġdid ta' korp jekk il-mument ta' inerzja tiegħu jitnaqqas bin-nofs u l-veloċità angolari tiegħu tittriplika?

Soluzzjoni: Mogħtija $L=I\times \omega$ , jekk $I$ tinqata' bin-nofs u $\omega$ tittriplika, l $-L$ il-ġdida se tkun 1/2×3=1.5 × l-oriġinali.

11. Problema: Ċirku b'massa ta' 2kg u raġġ ta' 1m qed idur b'veloċità angolari ta' 4 rad/s. Ikkalkula l-momentum angolari tiegħu.

Soluzzjoni: Għal ċirku, I = m r ²

$L=I\times \omega$

L=2×1 ² ×4=8 kg.m ² /s

12. Problema: Fann għandu xfafar twal 0.5m u b'massa totali ta' 1kg. Jekk idur b'veloċità angolari ta' 10 rad/s, iddetermina l-momentum angolari tiegħu.

Soluzzjoni: Jekk nassumu li x-xfafar tal-fann huma bħal vireg li jduru madwar tarf wieħed, I =1/3 ​m l ²

$L=I\times \omega$ =1/3×1×0.52 ^× 10=0.833 kg.m2 ^/ s

13. Problema: Ikkalkula l-momentum angolari tad-dinja madwar l-assi tagħha stess minħabba r-rotazzjoni tagħha. Mogħti: Massa tad-dinja = 5.972 × 10^ ²⁴ kg , Raġġ $r=6371\text{km}$ , ω = 7.27 × 1 0 ⁻⁵ rad/s.

Soluzzjoni: Jekk nassumu li d-dinja hija sfera solida, I = 2/5 ​m r ²

$L=I\times \omega$ =2/5×5.972×10 ²⁴ ×(6371×10 ³ ) ² ×7.27×10 ⁻⁵

L ≈ 7.07 × 1 0 ³³ kg.m ² / s

14. Problema: Tifel jimxi lejn iċ-ċentru ta' pjattaforma li qed iddur. Il-momentum angolari jiżdied, jonqos jew jibqa' l-istess?

Soluzzjoni: Il-momentum angolari huwa kkonservat. Hekk kif it-tifel jimxi lejn iċ-ċentru, il-mument tal-inerzja jonqos. Biex tikkonserva l-momentum angolari, il-veloċità angolari tiżdied. Għalhekk, il-momentum angolari jibqa' l-istess.

15. Problema: Jekk l-enerġija kinetika ta' korp li qed idur tiġi rduppjata, b'liema fattur jinbidel il-momentum angolari tiegħu?

Soluzzjoni: Enerġija kinetika K = 1/2 ​I ω ² u Momentum angolari $L=I\omega$ . Jekk l-enerġija kinetika tiġi rduppjata u $I$ tibqa' kostanti, ω ² tiġi rdoppjata. Dan jimplika li $\omega$ tiżdied b'fattur ta' √ 2 ​.$Għalhekk,\; L$ tiżdied ukoll b'fattur ta' √ 2 ​.

16. Problema: Rota ta' rota b'raġġ ta' 0.3 m għandha rimm b'massa ta' 1.5 kg. Jekk iddur b'veloċità angolari ta' 5 rad/s, sib il-momentum angolari tagħha.

Soluzzjoni: Jekk nassumu li r-rimm huwa ċirku, I = m r ²

$L=I\times \omega$ =1.5×0.32×5=6.75 kg.m² ^/ s

L = 1.5 × 0. 3 2 × 5 = 6.75 kg.m ² / s

17. Problema: Skater fuq is-silġ tiġbed idejha 'l ġewwa waqt li ddur. X'jiġri mill-momentum angolari tagħha?

Soluzzjoni: Il-momentum angolari tal-iskejter huwa kkonservat. Billi tiġbed idejha 'l ġewwa, tnaqqas il-mument ta' inerzja tagħha, u b'hekk iddur aktar malajr (veloċità angolari miżjuda) biex tikkonserva l-momentum angolari tagħha.

18. Problema: Flywheel għandu mument ta' inerzja ta' 0.2 $\text{kg.m² kg.m²}$ idur b'veloċità angolari ta' 10 rad/s. Sib il-momentum angolari tiegħu^.

soluzzjoni:

$L=I\times \omega$ =0.2×10=2 kg.m² ^/ s

L = 0.2 × 10 = 2 kg.m² ^/ s​

19. Problema: Sistema għandha torque estern nett ta' żero li jaġixxi fuqha. X'tista' tgħid dwar il-momentum angolari tagħha?

Soluzzjoni: Jekk it-torque estern nett huwa żero, allura skont il-konservazzjoni tal-momentum angolari, il-momentum angolari totali tas-sistema jibqa' kostanti.

20. Problema: Punt b'massa m = 5 kg jiċċaqlaq b'veloċità v = 3 m/s perpendikolari għal-linja li tgħaqqdu ma' punt P. Jekk id-distanza mill-punt P hija 4 m, sib il-momentum angolari tiegħu madwar il-punt P.

soluzzjoni:

$L=m\times r\times v$ =5×4×3=60 kg.m ² /s

L = 5 × 4 × 3 = 60 kg.m ² / s