सातत्य समीकरण सामग्री
नळातून बाहेर येणाऱ्या पाण्याच्या प्रवाहाचे निरीक्षण करत, नळ हळूहळू उघडून पहा. एकदा नळ फिरणे थांबले की, आपला हात नळावर ठेवून तो अर्धवट बंद करा. आता तुलना करा की पाण्याचा प्रवाह जास्त आहे. नळ अर्धवट बंद असताना की मोकळा असताना? जर तुमच्याकडे फुलांना पाणी घालण्यासाठी वापरली जाणारी नळी (होस) असेल, तर त्यातून पाणी वाहू द्या. आपला हात किंवा बोटाने ती नळी अर्धवट बंद करा. नळीचा जितका जास्त भाग बंद असेल, तितक्या वेगाने पाणी बाहेर येईल. याउलट, जर नळी बंद नसेल, तर पाणी कमी वेगाने वाहेल. असे का होते? हे समजून घेण्यासाठी, कृपया सातत्य समीकरणाचा (continuity equation) अभ्यास करा.
प्रवाह रेषा आणि प्रवाह नलिका
सर्वप्रथम, आपण प्रवाहरेषा आणि प्रवाह नलिका यांच्या संकल्पना समजून घेऊया. ही संकल्पना महत्त्वाची आहे कारण त्यामुळे तुम्हाला सातत्य समीकरण समजण्यास मदत होईल.
सुव्यवस्थित रेषा
खालील चित्राकडे पहा, निळी रेषा ही स्ट्रीमलाइन आहे.
स्थिर प्रवाहात, एका बिंदूवर, समजा बिंदू A वर, प्रत्येक द्रव कणाचा वेग स्थिर राहतो. जेव्हा तो बिंदू B ओलांडतो, तेव्हा द्रव कणांचा वेग बदलू शकतो. तथापि, बिंदू B वर पोहोचल्यावर, त्यांच्यामागे येणारे द्रव कण त्यांच्या आधीच्या द्रव कणांच्या वेगानेच वाहत राहतात. बिंदू C वर पोहोचल्यावरही हेच लागू होते, आणि असेच पुढे चालू राहते. प्रवाहरेषा ही बिंदू A, B, आणि C यांना जोडणारा वक्र आहे.
प्रवाह नळी
मूलतः, आपण द्रव प्रवाहातील प्रत्येक बिंदूतून जाणारी प्रत्येक प्रवाहरेषा काढू शकतो. जर आपण स्थिर द्रव प्रवाहाचा विचार केला, तर एका काल्पनिक पृष्ठभागावर (काल्पनिक पृष्ठभाग क्षेत्र) एका विशिष्ट कोनातून जाणाऱ्या अनेक प्रवाहरेषा मिळून एक प्रवाह नलिका तयार होते. द्रवाचे कण एकमेकांना छेदत नाहीत, तर ते नेहमी समांतर असतात आणि ही प्रवाह नलिका नेहमी एकाच आकाराच्या पाईपसारखी दिसेल. नलिकेच्या एका टोकातून आत येणारा द्रव दुसऱ्या टोकातून बाहेर पडेल.
डेबिट
विसर्ग म्हणजे एका विशिष्ट कालावधीत, एका विशिष्ट छेदामधून वाहणाऱ्या द्रवाचे घनफळ होय. गणितानुसार, ते खालीलप्रमाणे व्यक्त केले जाऊ शकते:
तुमची समज अधिक वाढवण्यासाठी, आपण एक उदाहरण घेऊया. समजा, एक द्रव एका पाईपमधून वाहत आहे. पाईप सामान्यतः दंडगोलाकार असतात आणि त्यांचे एक विशिष्ट आडवे क्षेत्रफळ असते. पाईपला एक लांबीसुद्धा असते.
जेव्हा द्रव पाईपमधून L अंतरापर्यंत वाहतो, तेव्हा पाईपमधील द्रवाचे घनफळ V = AL असते (V = द्रवाचे घनफळ, A = आडवे क्षेत्रफळ आणि L = पाईपची लांबी). कारण पाईपमधून L अंतरापर्यंत वाहताना द्रव एक विशिष्ट कालावधी पार करतो, म्हणून आपण असे म्हणू शकतो की द्रव विसर्जनाचे परिमाण हे आहे:
कारण v = s/t = L/t —> L = vt, वरील समीकरण बदलून असे होते:
अशाप्रकारे, जेव्हा विशिष्ट आडव्या छेदाचे क्षेत्रफळ आणि लांबी असलेल्या पाईपमधून विशिष्ट कालावधीसाठी द्रव वाहतो, तेव्हा द्रव प्रवाहाचे प्रमाण (Q) हे आडव्या छेदाच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ (A) आणि द्रव प्रवाहाचा वेग (v) यांच्या गुणाकाराच्या समान असते.
सातत्य समीकरण
खालील आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे, वेगवेगळ्या व्यासांच्या पाईपमधील द्रव प्रवाहाचा विचार करा.
या चित्रात डावीकडून उजवीकडे होणारा द्रवाचा प्रवाह दाखवला आहे (द्रव मोठ्या व्यासाच्या पाईपमधून लहान व्यासाच्या पाईपमध्ये वाहत आहे). तुटक रेषा प्रवाहरेषा आहेत.
चित्राचे वर्णन: A 1 = मोठ्या व्यासाच्या पाईपच्या भागाचे आडवे क्षेत्रफळ, A 2 = लहान व्यासाच्या पाईपच्या भागाचे आडवे क्षेत्रफळ, v 1 = मोठ्या व्यासाच्या पाईपच्या भागातील द्रव प्रवाहाचा वेग, v 2 = लहान व्यासाच्या पाईपच्या भागातील द्रव प्रवाहाचा वेग, L = द्रवाने कापलेले अंतर.
द्रव गतिकीच्या प्रास्ताविकामध्ये असे स्पष्ट केले होते की, द्रव गतिकीमध्ये आपण अशा द्रवांच्या प्रवाहाचा अभ्यास करतो जे असंपीड्य, अदृश्य, अशांत नसलेले आणि स्थिर असतात. स्थिर प्रवाहामध्ये, एका बिंदूवरील द्रव कणांचा वेग हा त्या बिंदूतून जाणाऱ्या इतर द्रव कणांच्या वेगाइतकाच असतो. तसेच, द्रव प्रवाह एकमेकांना छेदत नाहीत (प्रवाहरेषा समांतर असतात). त्यामुळे, नळीच्या एका टोकातून आत येणाऱ्या द्रवाचे वस्तुमान हे दुसऱ्या टोकातून बाहेर पडणाऱ्या द्रवाच्या वस्तुमानाइतकेच असले पाहिजे. जर विशिष्ट वस्तुमानाचा द्रव मोठ्या व्यासाच्या नळीमध्ये शिरला, तर तो द्रव लहान व्यासाच्या नळीतून स्थिर वस्तुमानासह बाहेर पडेल.
आता, वरील पाईपच्या चित्राकडे पहा. पाईपचा मोठा व्यास असलेला भाग आणि लहान व्यास असलेला भाग पाहा.
एका विशिष्ट कालावधीत, मोठ्या व्यासाच्या (A) पाईपच्या भागातून ठराविक प्रमाणात द्रव वाहतो.1) जिथपर्यंत एल1 (L1 = वि1 t). वाहणाऱ्या द्रवाचे घनफळ V आहे1 = ए1 L1 = ए1 v1 t. त्याच कालावधीत, कमी व्यासाच्या (A) पाईपच्या भागातून द्रवाची दुसरी मात्रा वाहते.2) जिथपर्यंत एल2 (L2 = वि2 t). वाहणाऱ्या द्रवाचे घनफळ V आहे2 = ए2 L2 = ए2 v2 t.
असंपीड्य द्रवांसाठी सातत्य समीकरण (दाबण्यायोग्य)
सर्वप्रथम, आपण असंपीड्य द्रवाचे उदाहरण विचारात घेऊया. असंपीड्य द्रवामध्ये, त्याची घनता, किंवा वस्तुमान, तो ज्या प्रत्येक बिंदूतून जातो त्या ठिकाणी नेहमी सारखेच असते. A1 ( पाईपचा मोठा व्यास) या छेद-क्षेत्रफळाच्या पाईपमधून एका विशिष्ट कालावधीत वाहणाऱ्या द्रवाचे वस्तुमान आहे:
त्याचप्रमाणे, A² छेद क्षेत्रफळ (लहान पाईप व्यास) असलेल्या पाईपमधून एका विशिष्ट कालावधीत वाहणाऱ्या द्रवाचे वस्तुमान आहे:
स्थिर प्रवाहात, आत येणाऱ्या द्रवाचे वस्तुमान आणि बाहेर जाणाऱ्या द्रवाचे वस्तुमान समान असते हे लक्षात घेता, तर:
m 1 = m 2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t (द्रवाची घनता आणि वेळेचा कालावधी समान असल्याने ते रद्द होतात)
A 1 v 1 = A 2 v 2
म्हणून, असंपीड्य द्रवांमध्ये सातत्य समीकरण लागू होते:
A 1 v 1 = A 2 v 2 — समीकरण १
माहिती :
A 1 = छेद क्षेत्रफळ १, A 2 = छेद क्षेत्रफळ २, v 1 = छेद १ वरील द्रव प्रवाहाचा वेग, v 2 = छेद २ वरील द्रव प्रवाहाचा वेग, A v = आकारमान प्रवाह दर V/t उर्फ विसर्जन
समीकरण १ दर्शवते की, व्हॉल्यूम फ्लो रेट, ज्याला डिस्चार्ज असेही म्हणतात, तो पाईप किंवा फ्लो ट्यूबच्या लांबीवर प्रत्येक बिंदूवर नेहमी सारखाच असतो. पाईपचा क्रॉस-सेक्शन कमी झाल्यावर, द्रवाचा प्रवाह दर वाढतो; याउलट, पाईपचा क्रॉस-सेक्शन वाढल्यावर, द्रवाचा प्रवाह दर कमी होतो.
जेव्हा आपण नळ अंशतः बंद करतो, तेव्हा नळ अर्धवट बंद असतानाच्या तुलनेत पाण्याचा प्रवाह अधिक वेगवान होतो. याचे कारण असे की, नळ अर्धवट बंद असताना त्याच्या आडव्या छेदाचे क्षेत्रफळ कमी होते, ज्यामुळे पाण्याचा प्रवाह दर वाढतो (द्रव अधिक वेगाने वाहतो). हीच गोष्ट होसेसच्या बाबतीतही खरी आहे. तथापि, हे लक्षात घेणे महत्त्वाचे आहे की, नळ अर्धवट बंद असो वा नसो, पाण्याच्या प्रवाहाच्या मार्गावरील सर्व बिंदूंवर पाण्याचा विसर्ग किंवा घनफळानुसार प्रवाह दर सारखाच राहतो. त्यामुळे, जो बदल होतो तो म्हणजे द्रवाचा प्रवाह दर.
तर मग नदीतील पाण्याच्या प्रवाहाबद्दल काय? नदीच्या उथळ भागांपेक्षा खोल भागांचा आडवा छेद मोठा असतो, त्यामुळे खोल भागांमध्ये पाण्याच्या प्रवाहाचा वेग उथळ भागांपेक्षा कमी असतो. जर तुम्हाला नदीचा प्रवाह अगदी शांत दिसला, तर याचा अर्थ नदी खोल आहे. पण जर नदीचा प्रवाह अचानक वेगवान झाला, तर तो भाग निश्चितच उथळ असतो. तथापि, नदीच्या खोल किंवा शांत भागांमध्ये पाण्याच्या एकूण प्रवाहाचा दर नेहमी सारखाच असतो.
संपीड्य द्रवांसाठी सातत्य समीकरण (संकुचित करण्यायोग्य)
संपीड्य द्रवांच्या बाबतीत , द्रवाची घनता नेहमी सारखी नसते. दुसऱ्या शब्दांत सांगायचे झाल्यास, दाबल्यावर द्रवाची घनता बदलते. असंपीड्य द्रवांमध्ये द्रवाची घनता समीकरणातून वगळली जाते , तर या प्रकरणात द्रवाची घनता समाविष्ट असते. पूर्वी मिळवलेल्या समीकरणाचा संदर्भ घेऊन, आपण संपीड्य द्रवांसाठी समीकरण मिळवूया.
स्थिर प्रवाहात, आत येणाऱ्या द्रवाचे वस्तुमान आणि बाहेर जाणाऱ्या द्रवाचे वस्तुमान समान असते हे लक्षात घेता, तर:
m 1 = m 2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t
द्रव प्रवाहाचा कालावधी समान असल्याने तो वगळता येतो. समीकरण असे बदलते:
ρ A 1 v 1 = ρ A 2 v 2 → समीकरण 2
हे संपीड्य द्रवाचे समीकरण आहे. फरक फक्त द्रवाच्या घनतेमध्ये असतो. जेव्हा द्रव संपीडित होतो, तेव्हा त्याची घनता बदलते. याउलट, जेव्हा द्रव असंपीड्य असतो, तेव्हा त्याची घनता स्थिर राहते आणि ती रद्द केली जाऊ शकते.
उदाहरण प्रश्न २:
१० सेमी व्यासाच्या पाईपमधून पाणी २ मी/से वेगाने वाहते. पाण्याचा विसर्ग किती आहे?
चर्चा
हे ज्ञात आहे की:
पाईपचा व्यास = १० सेमी (हा पाईपचा आतील व्यास आहे)
पाईपची त्रिज्या (r) = 5 सेमी = 0,05 मीटर
v पाणी = २ मी/से
विचारले: डेबिट
उत्तर :
Q = A v
Q = ( π r 2 ) (2 m/s)
Q = (3,14)(0,05 मी) 2 (2 मी/से)
Q = (3,14)(0,0025 m 2 )(2 m/s)
Q = 0,0157 m 3 / s
उदाहरण प्रश्न २:
२० सेमी व्यासाचा एक पाण्याचा पाईप १० सेमी व्यासाच्या दुसऱ्या पाईपला जोडलेला आहे. जर २० सेमी व्यासाच्या पाईपमधील पाण्याचा प्रवाह दर = ४ मी/से असेल, तर १० सेमी व्यासाच्या पाईपमधील पाण्याचा प्रवाह दर किती असेल?
चर्चा
हे ज्ञात आहे की:
व्यास 1 = 20 सेमी (r 1 = 10 सेमी = 0,1 मीटर)
v 1 = 4 m/s
व्यास २ = १० सेमी (रुंदी २ = ५ सेमी = ०.०५ मीटर)
विचारले : v 1
उत्तर :
प्रश्न १ = प्रश्न २
A 1 v 1 = A 2 v 2
( π r 12 ) (4 m/s) = (π r 22 ) (v 2 )
(0,1 मी) 2 (4 मी/से) = (0,05 मी) 2 (v 2 )
(0,01 m 2 )(4 m/s) = (0,0025 m 2 )(v 2 )
(0,04 m 3 /s) = (0,0025 m 2 )(v 2 )
v 2 = 16 m/s
