भौतिकशास्त्रातील वेक्टर उदाहरण प्रश्न

सदिश ही भौतिकशास्त्रातील एक महत्त्वाची संकल्पना असून, तिचा उपयोग परिमाण आणि दिशा दोन्ही असलेल्या राशी दर्शवण्यासाठी केला जातो. भौतिकशास्त्रात, बल, वेग, त्वरण यांसारख्या विविध घटनांचे वर्णन करण्यासाठी अनेकदा सदिशांचा वापर केला जातो. या लेखात भौतिकशास्त्रातील सदिश समस्यांची अनेक उदाहरणे, त्यांच्या निराकरणासह आणि स्पष्टीकरणासह चर्चा केली जाईल.

१. सदिश बेरीज आणि वजाबाकी

उदाहरण प्रश्न ३:
दोन सदिश \(\mathbf{A}\) आणि \(\mathbf{B}\) खालीलप्रमाणे दिलेले आहेत:
\[
\mathbf{A} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}
\]
\[
\mathbf{B} = -2\mathbf{i} + 5\mathbf{j}
\]

गणना करा:
1. \(\mathbf{A} + \mathbf{B}\)
२. \(\mathbf{A} – \mathbf{B}\)

उत्तर:
दोन सदिशांची बेरीज करण्यासाठी, आपण त्यांच्या घटकांची स्वतंत्रपणे बेरीज करतो.

1. \(\mathbf{A} + \mathbf{B}\):
\[
\mathbf{A} + \mathbf{B} = (3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}) + (-2\mathbf{i} + 5\mathbf{j})
\]
\[
= (३ – २)\mathbf{i} + (4 + 5)\mathbf{j}
\]
\[
= 1\mathbf{i} + 9\mathbf{j}
\]
\[
\mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathbf{i} + 9\mathbf{j}
\]

२. \(\mathbf{A} – \mathbf{B}\):
\[
\mathbf{A} – \mathbf{B} = (3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}) – (-2\mathbf{i} + 5\mathbf{j})
\]
\[
= (3 – (-2))\mathbf{i} + (4 – 5)\mathbf{j}
\]
\[
= (3 + 2)\mathbf{i} + (-1)\mathbf{j}
\]
\[
= 5\mathbf{i} – \mathbf{j}
\]

तर, निकाल असा आहे:
\[
\mathbf{A} – \mathbf{B} = 5\mathbf{i} – \mathbf{j}
\]

२. स्केलर गुणाकार (डॉट प्रोडक्ट)

उदाहरण प्रश्न ३:
दोन सदिश \(\mathbf{C}\) आणि \(\mathbf{D}\) खालीलप्रमाणे दिलेले आहेत:
\[
\mathbf{C} = 6\mathbf{i} + 2\mathbf{j}
\]
\[
\mathbf{D} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}
\]

\(\mathbf{C}\) आणि \(\mathbf{D}\) यांचा स्केलर गुणाकार (डॉट गुणाकार) काढा.

उत्तर:
दोन सदिश \(\mathbf{C}\) आणि \(\mathbf{D}\) यांचा अदिश गुणाकार खालीलप्रमाणे आहे:
\[
\mathbf{C} \cdot \mathbf{D} = (6\mathbf{i} + 2\mathbf{j}) \cdot (3\mathbf{i} + 4\mathbf{j})
\]
\[
= 6 · 3 + 2 · 4
\]
\[
= २८ + ३
\]
\[
= 26
\]

म्हणून, \(\mathbf{C}\) आणि \(\mathbf{D}\) यांच्या स्केलर गुणाकाराचा निकाल 26 आहे.

४. क्रॉस प्रॉडक्ट

उदाहरण प्रश्न ३:
दोन सदिश \(\mathbf{E}\) आणि \(\mathbf{F}\) खालीलप्रमाणे दिलेले आहेत:
\[
\mathbf{E} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}
\]
\[
\mathbf{F} = 4\mathbf{i} + 5\mathbf{j} + 6\mathbf{k}
\]

\(\mathbf{E}\) आणि \(\mathbf{F}\) यांचा सदिश गुणाकार काढा.

उत्तर:
दोन सदिश \(\mathbf{E}\) आणि \(\mathbf{F}\) यांचा सदिश गुणाकार मॅट्रिक्स निर्धारकाचा वापर करून काढता येतो:
\[
\mathbf{E} \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} आणि \mathbf{j} आणि \mathbf{k} \\
४ आणि ० आणि ०
4 आणि 5 आणि 6
\end{vmatrix}
\]

मॅट्रिक्सचा निर्धारक काढा:
\[
\mathbf{E} \times \mathbf{F} = \mathbf{i} (2 \cdot 6 – 3 \cdot 5) – \mathbf{j} (1 \cdot 6 – 3 \cdot 4) + \mathbf{k} (1 \cdot 5 – 2) \cdot
\]
\[
= \mathbf{i} (12 - 15) - \mathbf{j} (6 - 12) + \mathbf{k} (5 - 8)
\]
\[
= \mathbf{i} (-3) - \mathbf{j} (-6) + \mathbf{k} (-3)
\]
\[
= -3\mathbf{i} + 6\mathbf{j} – 3\mathbf{k}
\]

म्हणून, \(\mathbf{E}\) आणि \(\mathbf{F}\) यांच्या सदिश गुणाकाराचा निकाल खालीलप्रमाणे आहे:
\[
\mathbf{E} \times \mathbf{F} = -3\mathbf{i} + 6\mathbf{j} – 3\mathbf{k}
\]

४. सदिश परिमाण

उदाहरण प्रश्न ३:
सदिश \(\mathbf{G} = 3\mathbf{i} – 4\mathbf{j}\) दिला आहे. सदिश \(\mathbf{G}\) चे परिमाण (लांबी) काढा.

उत्तर:
सदिश \(\mathbf{G}\) चे परिमाण खालील सूत्र वापरून मोजता येते:
\[
|\mathbf{G}| = \sqrt{(3)^2 + (-4)^2}
\]
\[
= \sqrt{9 + 16}
\]
\[
= √25
\]
\[
= 5
\]

म्हणून, वेक्टर \(\mathbf{G}\) चे परिमाण 5 आहे.

५. वेक्टर रिझोल्यूशन

उदाहरण प्रश्न ३:
सदिश \(\mathbf{H}\) चे परिमाण 10 एकक आहे आणि तो x-अक्षाशी 30° चा कोन बनवतो. सदिश \(\mathbf{H}\) चे x- आणि y-अक्षांवरील घटक निश्चित करा.

उत्तर:
सदिश \(\mathbf{H}\) चे x (\(\mathbf{H}_x\)) आणि y (\(\mathbf{H}_y\)) अक्षांवरील घटक त्रिकोणमितीचा वापर करून मोजता येतात:
\[
\mathbf{H}_x = |\mathbf{H}| \cos(\theta)
\]
\[
\mathbf{H}_y = |\mathbf{H}| \sin(\theta)
\]

\(|\mathbf{H}| = 10\) आणि \(\theta = 30°\) असताना:
\[
\mathbf{H}_x = 10 \cos(30°)
\]
\[
\mathbf{H}_y = 10 \sin(30°)
\]

\(\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) आणि \(\sin(30°) = \frac{1}{2}\) यांची मूल्ये:
\[
\mathbf{H}_x = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}
\]
\[
\mathbf{H}_y = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5
\]

तर, सदिश \(\mathbf{H}\) चे घटक खालीलप्रमाणे आहेत:
\[
\mathbf{H}_x = 5\sqrt{3}
\]
\[
\mathbf{H}_y = 5
\]

निष्कर्ष

या लेखात, आपण भौतिकशास्त्रातील सदिशांशी संबंधित अनेक उदाहरणांवर चर्चा केली आहे, ज्यामध्ये सदिश बेरीज आणि वजाबाकी, स्केलर आणि तिरकस गुणाकार, तसेच सदिशाचे परिमाण आणि पृथक्करण यांचा समावेश आहे. भौतिकशास्त्रात सदिशांची संकल्पना आणि कार्यपद्धती समजून घेणे अत्यंत महत्त्वाचे आहे, कारण अनेक नैसर्गिक घटनांचे स्पष्टीकरण सदिशांचा वापर करून देता येते. आशा आहे की, ही उदाहरणे तुम्हाला सदिशांची संकल्पना अधिक सखोलपणे समजून घेण्यास मदत करतील.