सर्किट रेझोनन्सवर चर्चा करणाऱ्या समस्येचे उदाहरण

सर्किट रेझोनन्सवर चर्चा करणाऱ्या समस्येचे उदाहरण

अनुनाद ही एक अशी घटना आहे, ज्यामध्ये एखादी प्रणाली एका विशिष्ट वारंवारतेवर कमाल आयामासह दोलन करते. विद्युत परिपथांच्या संदर्भात, जेव्हा परिपथाची प्रतिबाधा किमान किंवा कमाल मूल्यापर्यंत पोहोचते, तेव्हा अनुनाद होतो, ज्यामुळे परिपथातील विद्युत प्रवाह किंवा व्होल्टेज कमाल पातळीवर पोहोचते. ही घटना विद्युत परिपथांच्या अभिकल्प आणि विश्लेषणात, विशेषतः रेडिओ, फिल्टर्स आणि ऑसिलेटर्स यांसारख्या उपयोगांमध्ये खूप महत्त्वाची आहे.

विद्युत परिपथांमधील अनुनादाची मूलभूत तत्त्वे

विद्युत परिपथांमधील अनुनादावर सामान्यतः RLC परिपथाच्या संदर्भात चर्चा केली जाते, ज्यामध्ये एक रोधक (R), एक प्रवर्तक (L) आणि एक कपॅसिटर (C) यांचा समावेश असतो. अनुनादाचे दोन प्रकार आहेत ज्यावर सामान्यतः चर्चा केली जाते:

१. एकसर अनुनाद: जेव्हा एक प्रेरक आणि एक कपॅसिटर एका रोधकासोबत एकसर जोडणीत जोडलेले असतात तेव्हा हा अनुनाद होतो. जेव्हा प्रेरक प्रतिबाधा (XL) ही कपॅसिटिव्ह प्रतिबाधा (XC) च्या समान असते तेव्हा अनुनाद होतो.

२. समांतर अनुनाद: जेव्हा एक इंडक्टर आणि एक कपॅसिटर समांतर जोडले जातात तेव्हा अनुनाद होतो. जेव्हा एका विशिष्ट वारंवारतेवर सर्किटची प्रतिबाधा (इम्पेडन्स) तिच्या कमाल मूल्यापर्यंत पोहोचते तेव्हा अनुनाद होतो.

दोन्ही प्रकारच्या सर्किट्ससाठी अनुनाद वारंवारता (\( f_0 \)) समान असते आणि ती खालीलप्रमाणे दिली जाते:
\[ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \]

आरएलसी सिरीज सर्किट्सच्या अनुनादावरील उदाहरणात्मक प्रश्न आणि चर्चा

प्रश्न १:

10 ओहमचा रोधक (R), 10 mH चा प्रवर्तक (L), आणि 1 μF चा कपॅसिटर (C) असलेले एक सिरीज RLC सर्किट दिले आहे. खालील गोष्टी निश्चित करा:
१. सर्किटची अनुनाद वारंवारता.
२. अनुनाद वारंवारतेवरील सर्किट प्रतिबाधा.
3. अनुनाद वारंवारतेवर स्रोत व्होल्टेज 10 V rms असल्यास सर्किटमध्ये वाहणारा प्रवाह.

चर्चा:

१. परिपथाची अनुनाद वारंवारता:

सिरीज RLC सर्किटमधील अनुनाद वारंवारता (\( f_0 \)) खालीलप्रमाणे दिली जाते:
\[ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \]

कुठे:
– L = 10 mH = 10 x 10⁻³ H
– C = 1 μF = 1 x 10⁻⁶ F

तर:
\[ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{(10 \times 10^{-3})(1 \times 10^{-6})}} \]
\[ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{10 \times 10^{-9}}} \]
\[ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-8}}} \]
\[ f_0 = \frac{1}{2\pi \times 10^{-4}} \]
\[ f_0 = \frac{10^4}{2\pi} \]
\[ f_0 ≈ 1591.55 \text{ Hz} \]

२. अनुनाद वारंवारतेवरील परिपथ प्रतिबाधा:

अनुनाद वारंवारतेवर, प्रेरक प्रतिबाधा (XL) ही धारक प्रतिबाधा (XC) च्या समान असते, त्यामुळे:
\[ X_L = X_C \]
\[ 2\pi f_0 L = \frac{1}{2\pi f_0 C} \]

प्रेरक आणि धारित्र प्रतिबाधा एकमेकांना रद्द करत असल्यामुळे, परिपथाची प्रतिबाधा फक्त रोधक (R) इतकीच असते:
\[ Z = R = 10 \text{ ohm} \]

३. परिपथातून वाहणारी विद्युतधारा:

ओहमच्या नियमाचा वापर करून परिपथातील विद्युत प्रवाह (\( I \)) मोजता येतो:
\[ I = \frac{V}{Z} \]

कुठे:
– V = 10 V rms
– Z = १० ओहम (अनुनाद वारंवारतेवर)

तर:
\[ I = \frac{10}{10} \]
\[ I = 1 \text{ A} \]

म्हणून, सर्किटमधून वाहणारा विद्युत प्रवाह 1 A आहे.

समांतर RLC परिपथांच्या अनुनादावरील उदाहरणात्मक प्रश्न आणि चर्चा

प्रश्न १:

10 ओहमचा रोधक (R), 5 mH चा प्रवर्तक (L) आणि 2 μF चा कपॅसिटर (C) असलेले एक समांतर RLC परिपथ दिले आहे. खालील गोष्टी निश्चित करा:
१. सर्किटची अनुनाद वारंवारता.
२. अनुनाद वारंवारतेवरील सर्किट प्रतिबाधा.
३. अनुनाद वारंवारतेवर सर्किटमधून वाहणारा एकूण प्रवाह २ A असल्यास स्रोत व्होल्टेज.

चर्चा:

१. परिपथाची अनुनाद वारंवारता:

समांतर RLC परिपथातील अनुनाद वारंवारता (\( f_0 \)) देखील खालीलप्रमाणे दिली जाते:
\[ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \]

कुठे:
– L = 5 mH = 5 x 10⁻³ H
– C = 2 μF = 2 x 10⁻⁶ F

तर:
\[ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{(5 \times 10^{-3})(2 \times 10^{-6})}} \]
\[ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{10 \times 10^{-9}}} \]
\[ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-8}}} \]
\[ f_0 = \frac{1}{2\pi \times 10^{-4}} \]
\[ f_0 = \frac{10^4}{2\pi} \]
\[ f_0 ≈ 1591.55 \text{ Hz} \]

२. अनुनाद वारंवारतेवरील परिपथ प्रतिबाधा:

अनुनाद वारंवारतेवर, इंडक्टर आणि कपॅसिटरचे एकूण अ‍ॅडमिटन्स (Y) शून्य असते. त्यामुळे, समांतर RLC सर्किटचा इम्पेडन्स (Z) केवळ रेझिस्टरवर (R) अवलंबून असतो. अशाप्रकारे, अनुनाद वारंवारतेवर, समांतर RLC सर्किटचा इम्पेडन्स हा रेझिस्टरच्या इम्पेडन्स इतका असतो.

तर:
\[ R = 10 \text{ ohm} \]

३. स्त्रोत व्होल्टेज:

परिपथामध्ये वाहणारा एकूण विद्युत प्रवाह (\( I \)) 2 A आहे. ओहमच्या नियमानुसार, स्रोत व्होल्टेज (V) खालीलप्रमाणे दिले जाते:
\[ V = I \times Z \]

कुठे:
– I = 2 A
– Z = १० ओहम

तर:
\[ V = 2 \times 10 \]
\[ V = 20 \text{ V} \]

तर, स्त्रोत व्होल्टेज 20 V आहे.

निष्कर्ष

विद्युत परिपथांमधील अनुनाद ही एक महत्त्वाची घटना आहे, जिचा उपयोग विविध विद्युत आणि इलेक्ट्रॉनिक अभियांत्रिकी अनुप्रयोगांसाठी केला जाऊ शकतो. अनुनाद वारंवारतेची गणना कशी करावी आणि विद्युत प्रवाह व व्होल्टेजवर होणारे तिचे परिणाम समजून घेणे, हे परिपथ रचना आणि विश्लेषणासाठी मूलभूत आहे. हा लेख RLC परिपथांमधील अनुनादाच्या मूलभूत संकल्पना सादर करतो आणि या विषयाचा स्पष्ट आढावा देण्यासाठी संबंधित समस्यांवर चर्चा करतो.