प्रत्यावर्ती विद्युत प्रवाहाच्या समीकरणांवर चर्चा करणाऱ्या समस्यांचे उदाहरण

प्रत्यावर्ती विद्युत प्रवाहाच्या समीकरणांवर चर्चा करणारे उदाहरणात्मक प्रश्न

पेंडाहुलुआन
प्रत्यावर्ती प्रवाह (AC) हा विद्युत प्रवाहाचा एक प्रकार आहे जो ठराविक कालावधीने आपली दिशा बदलू शकतो. एकाच दिशेने वाहणाऱ्या सरळ प्रवाहाच्या (DC) विपरीत, AC ची तरंगरूप साइनोसायडल (sinusoidal) असते आणि घरगुती ते औद्योगिक अशा विविध दैनंदिन उपयोगांमध्ये तो अत्यंत महत्त्वाचा आहे. इलेक्ट्रॉनिक्स आणि विजेच्या अनेक महत्त्वाच्या पैलू समजून घेण्यासाठी प्रत्यावर्ती प्रवाहाच्या समीकरणांसोबत कसे काम करायचे हे जाणून घेणे आवश्यक आहे. हा लेख प्रत्यावर्ती प्रवाहाच्या समीकरणांची संकल्पना स्पष्ट करण्यासाठी अनेक उदाहरणे आणि त्यांची उत्तरे यावर चर्चा करेल.

प्रत्यावर्ती प्रवाहाचे सामान्य समीकरण
प्रत्यावर्ती प्रवाह सामान्यतः साइनोसायडल समीकरणाने व्यक्त केला जातो:
\[ i(t) = I_m \sin(\omega t + \phi) \]
di mana:
– \( i(t) \) हा वेळेनुसार बदलणारा तात्क्षणिक विद्युत प्रवाह आहे.
– \( I_m \) हे प्रवाहाचे शिखर (कमाल) मूल्य आहे.
– \( \omega \) हा कोनीय वेग असून, त्याचे एकक रेडियन प्रति सेकंद आहे.
– \( t \) म्हणजे वेळ.
– \( \phi \) ही प्रवाहाची प्रारंभिक कला आहे.

उदाहरण प्रश्न १: एका विशिष्ट वेळी विद्युत प्रवाह निश्चित करणे
प्रश्न:
प्रत्यावर्ती प्रवाहाचे समीकरण \( i(t) = 10 \sin(100\pi t + \pi/3) \) दिले आहे. \( t = 0.01 \) सेकंद वेळी प्रवाहाचे परिमाण निश्चित करा.

चर्चा:
हे ज्ञात आहे:
\[ I_m = 10 \, \text{A} \]
\[ \omega = 100\pi \, \text{rad/s} \]
\[ \phi = \pi/3 \]
\[ t = 0.01 \, \text{सेकंद} \]

या किमती सध्याच्या समीकरणात ठेवा:
\[ i(0.01) = 10 \sin(100\pi \times 0.01 + \pi/3) \]
\[ i(0.01) = 10 \sin(\pi + \pi/3) \]
\[ i(0.01) = 10 \sin(4\pi/3) \]

नोंद घेतली की:
\[ \sin(4\pi/3) = -\sin(\pi/3) \]
\[ \sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2 \]

तर:
\[ \sin(4\pi/3) = -\sqrt{3}/2 \]
\[ i(0.01) = 10 \times -\sqrt{3}/2 \]
\[ i(0.01) = -5\sqrt{3} \]
\[ i(0.01) \approx -8.66 \, \text{A} \]

म्हणून, \( t = 0.01 \) सेकंद वेळी विद्युत प्रवाहाचे परिमाण अंदाजे \(-8.66 \, \text{A} \) आहे.

उदाहरण प्रश्न २: कोनीय वेग आणि वारंवारता निश्चित करणे
प्रश्न:
\( i(t) = 5 \cos(200\pi t – \pi/4) \) या समीकरणाने दर्शविलेल्या प्रत्यावर्ती प्रवाहासाठी, प्रवाहाचा कोनीय वेग (ω) आणि वारंवारता (f) निश्चित करा.

चर्चा:
दिलेले:
\[ i(t) = 5 \cos(200\pi t – \pi/4) \]

कोनीय वेग (\( \omega \)) हा कोसाइन आर्गुमेंटमधील \( t \) चा सहगुणक आहे, जो \( 200\pi \) आहे.

\[ \omega = 200\pi \, \text{rad/s} \]

वारंवारता (f) खालील संबंध वापरून मिळवता येते:
\[ \omega = 2\pi f \]
\[ f = \frac{\omega}{2\pi} \]

कोनीय वेगाचे मूल्य ठेवा:
\[ f = \frac{200\pi}{2\pi} \]
\[ f = 100 \, \text{Hz} \]

म्हणून, प्रवाहाचा कोनीय वेग \( 200\pi \, \text{rad/s} \) आणि प्रवाहाची वारंवारता \( 100 \, \text{Hz} \) आहे.

उदाहरण प्रश्न ३: आरएमएस मूल्य निश्चित करणे
प्रश्न:
\( i(t) = 7 \sin(50t) \) ने दिलेल्या प्रत्यावर्ती प्रवाहासाठी RMS (वर्गमूळ माध्य) मूल्य निश्चित करा.

चर्चा:
हे ज्ञात आहे:
\[ i(t) = 7 \sin(50t) \]

साइनोसायडल प्रवाहाचे RMS मूल्य हे आहे:
\[ I_{\text{RMS}} = \frac{I_m}{\sqrt{2}} \]
येथे \( I_m \) हे कमाल विद्युत प्रवाहाचे मूल्य आहे.

वर्तमान प्रवाहाचे \( I_m \) कमाल मूल्य 7 A आहे.

तर:
\[ I_{\text{RMS}} = \frac{7}{\sqrt{2}} \]
\[ I_{\text{RMS}} = \frac{7 \sqrt{2}}{2} \]
\[ I_{\text{RMS}} \approx 4.95 \, \text{A} \]

म्हणून, त्या प्रवाहाचे RMS मूल्य सुमारे 4.95 A आहे.

उदाहरण प्रश्न ४: सरासरी शक्तीची गणना करणे
प्रश्न:
एका विद्युत परिपथामध्ये 10 ओमचा रोधक आहे आणि प्रत्यावर्ती प्रवाह \( i(t) = 6 \sin(120\pi t) \) आहे. रोधकाने वापरलेल्या सरासरी शक्तीची गणना करा.

चर्चा:
सध्याची परिस्थिती पाहता:
\[ i(t) = 6 \sin(120\pi t) \]

शिखर प्रवाहाचे मूल्य (\( I_m \)) 6 A आहे.

विद्युत प्रवाहाचे RMS मूल्य आहे:
\[ I_{\text{RMS}} = \frac{I_m}{\sqrt{2}} \]
\[ I_{\text{RMS}} = \frac{6}{\sqrt{2}} \]
\[ I_{\text{RMS}} = 3\sqrt{2} \]

रोधक (\( R \)) = 10 ओम.

रोधकामधील सरासरी शक्ती (\(P \)) ची गणना खालील सूत्राने करता येते:
\[ P = I_{\text{RMS}}^2 \times R \]
\[ P = (3\sqrt{2})^2 \times 10 \]
\[ P = 18 \times 10 \]
\[ P = 180 \, \text{W} \]

म्हणून, रेझिस्टरद्वारे वापरली जाणारी सरासरी शक्ती 180 W आहे.

बंद होत आहे
या लेखात, आम्ही अनेक उदाहरणे पाहिली आहेत आणि प्रत्यावर्ती प्रवाहाच्या समीकरणांवर चर्चा केली आहे. प्रत्यावर्ती प्रवाह आणि दैनंदिन जीवनातील त्याचे उपयोग समजून घेण्यासाठी, प्रति एकक वेळेतील विद्युत प्रवाह, कोनीय वेग, वारंवारता, आरएमएस मूल्य आणि सरासरी शक्ती यांची गणना कशी करायची हे जाणून घेणे महत्त्वाचे आहे. या संकल्पना समजल्यामुळे आपल्याला प्रत्यावर्ती प्रवाहाचा वापर करणाऱ्या विविध विद्युत परिपथांची रचना आणि विश्लेषण करण्यास मदत होते.