फंक्शन डेरिव्हेटिव्ह लिहिण्यावर चर्चा करणारे उदाहरण प्रश्न
फलनाचा अवकलज ही कलनशास्त्रातील एक मूलभूत संकल्पना आहे, जी भौतिकशास्त्र, अर्थशास्त्र, जीवशास्त्र आणि अभियांत्रिकी यांसारख्या विज्ञानाच्या विविध क्षेत्रांमध्ये वारंवार वापरली जाते. फलनाचा अवकलज हे मोजतो की त्याच्या स्वतंत्र चलांमधील बदलांच्या संदर्भात त्याचे मूल्य किती वेगाने बदलते. या लेखात, आपण स्पष्टीकरणांसह, फलनाचा अवकलज लिहिण्याशी संबंधित अनेक उदाहरणांवर चर्चा करणार आहोत.
उदाहरण प्रश्न १: साध्या फलनांचे अवकलज
प्रश्न: फलन \( f(x) = 3x^2 + 5x + 7 \) चा पहिला अवकलज काढा.
चर्चा:
एखाद्या फलनाचे \( f(x) \) पहिले अवकलज काढण्यासाठी, आपण अवकलनाचे मूलभूत नियम वापरतो, ते म्हणजे:
\[
\frac{d}{dx}(ax^n) = anx^{n-1}
\]
तर, आपण फलनातील प्रत्येक पदाचे अवकलज खालीलप्रमाणे काढू शकतो:
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(5x) + \frac{d}{dx}(7)
\]
\[
f'(x) = 3 \cdot 2x^{2-1} + 5 \cdot 1x^{1-1} + 0
\]
\[
f'(x) = 6x + 5
\]
म्हणून, \( f(x) = 3x^2 + 5x + 7 \) या फलनाचा पहिला अवकलज \( f'(x) = 6x + 5 \) आहे.
उदाहरण प्रश्न २: त्रिकोणमितीय फलनांचे अवकलज
प्रश्न: \( g(x) = \sin(x) + \cos(x) \) या फलनाचा पहिला अवकलज काढा.
चर्चा:
आपण त्रिकोणमितीय फलनांसाठी अवकलनाचे मूलभूत नियम वापरतो:
\[
\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)
\]
\[
\frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x)
\]
तर:
\[
g'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(x)) + \frac{d}{dx}(\cos(x))
\]
\[
g'(x) = \cos(x) – \sin(x)
\]
म्हणून, \( g(x) = \sin(x) + \cos(x) \) या फलनाचा पहिला अवकलज \( g'(x) = \cos(x) – \sin(x) \) आहे.
उदाहरण प्रश्न ३: गुणाकार फलनाचे अवकलज
प्रश्न: \( h(x) = x^2 \sin(x) \) या फलनाचा पहिला अवकलज काढा.
चर्चा:
जी फंक्शन्स दोन फंक्शन्सचा गुणाकार असतात, त्यांच्यासाठी आपण गुणाकाराचा नियम वापरतो:
\[
\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
\]
समजा \( u(x) = x^2 \) आणि \( v(x) = \sin(x) \). तर:
\[
u'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x
\]
\[
v'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)
\]
गुणाकाराच्या नियमानुसार, आपण असे लिहू शकतो:
\[
h'(x) = [x^2]' \sin(x) + x^2 [\sin(x)]'
\]
\[
h'(x) = 2x \sin(x) + x^2 \cos(x)
\]
म्हणून, \( h(x) = x^2 \sin(x) \) या फलनाचा पहिला अवकलज \( h'(x) = 2x \sin(x) + x^2 \cos(x) \) आहे.
उदाहरण प्रश्न ४: संयुक्त फलनाचा अवकलज
प्रश्न: \( k(x) = \sin(x^2) \) या फलनाचा पहिला अवकलज काढा.
चर्चा:
दोन फलनांचे संयोजन असलेल्या फलनांसाठी, आपण साखळी नियम वापरतो:
\[
\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)
\]
समजा \( f(u) = \sin(u) \) आणि \( u = x^2 \). तर \( f'(u) = \cos(u) \) आणि \( g'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \).
साखळी नियमाचा वापर करून, आपण असे लिहू शकतो:
\[
k'(x) = \frac{d}{dx}[\sin(x^2)] = \cos(x^2) \cdot 2x
\]
म्हणून, \( k(x) = \sin(x^2) \) या फलनाचा पहिला अवकलज \( k'(x) = 2x \cos(x^2) \) आहे.
उदाहरण प्रश्न ५: परिमेय फलनांचे अवकलज
समस्या: \( m(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \) या फलनाचा पहिला अवकलज काढा.
चर्चा:
दोन फलनांचा भागाकार असलेल्या फलनांसाठी, आपण भागाकाराचा नियम वापरतो:
\[
\frac{d}{dx}\left[\frac{u(x)}{v(x)}\right] = \frac{u'(x)v(x) – u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
\]
समजा \( u(x) = 2x \) आणि \( v(x) = x^2 + 1 \). तर:
\[
u'(x) = 2
\]
\[
v'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x
\]
भागाकाराच्या नियमानुसार, आपण असे लिहू शकतो:
\[
m'(x) = \frac{[2x]'(x^2 + 1) – 2x[x^2 + 1]'}{(x^2 + 1)^2}
\]
\[
m'(x) = \frac{2(x^2 + 1) – 2x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}
\]
\[
m'(x) = \frac{2x^2 + 2 – 4x^2}{(x^2 + 1)^2}
\]
\[
m'(x) = \frac{-(2x^2 – 2)}{(x^2 + 1)^2}
\]
\[
m'(x) = \frac{2 – 2x^2}{(x^2 + 1)^2}
\]
म्हणून, \( m(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \) या फलनाचा पहिला अवकलज \( m'(x) = \frac{2 – 2x^2}{(x^2 + 1)^2} \) आहे.
निष्कर्ष
या लेखात, आपण फलनांच्या अवकलजांशी संबंधित समस्यांची अनेक उदाहरणे पाहिली आहेत, ज्यात साधी फलने, त्रिकोणमितीय फलने, गुणाकार, संयोजन आणि परिमेय फलने यांचा समावेश आहे. प्रत्येक उदाहरणात मूलभूत नियम, साखळी नियम, गुणाकार नियम आणि भागाकार नियम यांसारख्या अवकलजाच्या नियमांचा योग्य वापर दाखवला आहे. विविध विषयांमधील अधिक गुंतागुंतीच्या कलनशास्त्राच्या समस्या सोडवण्यासाठी हे नियम कसे लागू करायचे हे समजून घेणे महत्त्वाचे आहे. वारंवार सराव आणि प्रशिक्षणामुळे फलनांचे अवकलन करण्यामधील तुमची समज आणि कौशल्ये अधिक दृढ होण्यास मदत होईल.
