गटबद्ध डेटाच्या चतुर्थकांवर चर्चा करणारे नमुना प्रश्न
पेंडाहुलुआन
सांख्यिकीमधील चतुर्थक हे केंद्रीय प्रवृत्तीचे एक माप आहे, जे माहितीचे चार समान भागांमध्ये विभाजन करते. चतुर्थकांमध्ये पहिला चतुर्थक (Q1), दुसरा चतुर्थक (Q2) आणि तिसरा चतुर्थक (Q3) यांचा समावेश असतो. बऱ्याच प्रकरणांमध्ये, विश्लेषण केल्या जाणाऱ्या माहितीचे गट केले जाऊ शकतात. या लेखात गटबद्ध माहितीसाठी चतुर्थकांची उदाहरणे आणि त्यावर चर्चा केली जाईल.
गट डेटामधील चतुर्थक समजून घेणे
चतुर्थक म्हणजे अशी मूल्ये जी संघटित डेटाला चार समान भागांमध्ये विभागतात. पहिला चतुर्थक (Q1) 25 वा शतांशक म्हणून ओळखला जातो, दुसरा चतुर्थक (Q2) मध्यक किंवा 50 वा शतांशक म्हणून ओळखला जातो आणि तिसरा चतुर्थक (Q3) 75 वा शतांशक म्हणून ओळखला जातो.
एकल डेटाच्या तुलनेत गटबद्ध डेटासाठी चतुर्थक काढणे थोडे अधिक क्लिष्ट असते. गटबद्ध डेटा सहसा वारंवारता वितरण सारणीमध्ये सादर केला जातो, त्यामुळे चतुर्थक शोधण्यासाठी आपल्याला एका विशिष्ट सूत्राचा वापर करावा लागतो.
गटबद्ध डेटासाठी चतुर्थक सूत्र
गटबद्ध डेटामधील चतुर्थक शोधण्यासाठी, आपण खालील सूत्र वापरतो:
– पहिला चतुर्थक (Q1):
\[
Q1 = L_{Q1} + \left( \frac{\frac{N}{4} – F_{Q1}}{f_{Q1}} \right) \times c
\]
– दुसरा चतुर्थक (Q2):
\[
Q2 = L_{Q2} + \left( \frac{\frac{N}{2} – F_{Q2}}{f_{Q2}} \right) \times c
\]
– तिसरा चतुर्थक (Q3):
\[
Q3 = L_{Q3} + \left( \frac{\frac{3N}{4} – F_{Q3}}{f_{Q3}} \right) \times c
\]
कुठे:
– \( L_{Q1}, L_{Q2}, L_{Q3} \) = वर्ग Q1, Q2, Q3 ची निम्न मर्यादा
– \( N \) = डेटाची संख्या
– \( F_{Q1}, F_{Q2}, F_{Q3} \) = वर्ग Q1, Q2, Q3 पूर्वीची संचयी वारंवारता
– \( f_{Q1}, f_{Q2}, f_{Q3} \) = वर्ग वारंवारता Q1, Q2, Q3
– \( c \) = वर्गाची लांबी
समस्यांचे उदाहरण
चतुर्थक मोजण्यासाठी वापरल्या जाणाऱ्या गट डेटा समस्येचे उदाहरण खाली दिले आहे:
| मूल्य | वारंवारता |
|————|———–|
| ६० – ६९ | ४ |
| ६० – ६९ | ४ |
| ४० – ४९ | १५ |
| ४० – ४९ | १५ |
| ६० – ६९ | ४ |
| ६० – ६९ | ४ |
पायरी १: संचयी वारंवारता निश्चित करा
सर्वप्रथम, आपल्याला प्रत्येक वर्गाची संचयी वारंवारता निश्चित करणे आवश्यक आहे:
| मूल्य | वारंवारता | संचयी वारंवारता |
|————|————–|————————|
| १० – १९ | ५ | ५ |
| ६० – ६९ | ४ | ५० |
| ४० – ४९ | १५ | ४० |
| ४० – ४९ | १५ | ४० |
| ६० – ६९ | ४ | ५० |
| ६० – ६९ | ४ | ५० |
डेटाची संख्या (N) = ५०
पायरी २: प्रथम चतुर्थक (Q1) निश्चित करणे
– \( \frac{N}{4} = \frac{50}{4} = 12.5 \)
आम्ही असा वर्ग शोधतो जिथे संचयी वारंवारता प्रथम 12.5 पेक्षा जास्त होते, म्हणजेच वर्ग 20 - 29.
– L (वर्ग Q1 ची खालची मर्यादा) = २०
– F (प्रश्न १ पूर्वीची संचयी वारंवारता) = ५
– f (वर्ग Q1 ची वारंवारता) = 8
– c (वर्गाची लांबी) = 10
सूत्र Q1 वापरून:
\[
Q1 = 20 + \left( \frac{12.5 – 5}{8} \right) \times 10 = 20 + \left( \frac{7.5}{8} \right) \times 10 = 20 + 9.375 = 29.375
\]
पायरी ३: द्वितीय चतुर्थक (Q2) निश्चित करणे
– \( \frac{N}{2} = \frac{50}{2} = 25 \)
आम्ही असा वर्ग शोधतो जिथे संचयी वारंवारता प्रथम 25 पेक्षा जास्त होते, म्हणजेच वर्ग 30 - 39.
– L = ३०
– एफ = १३
– f = 12
– c = 10
सूत्र Q2 वापरून:
\[
Q2 = 30 + \left( \frac{25 – 13}{12} \right) \times 10 = 30 + \left( \frac{12}{12} \right) \times 10 = 30 + 10 = 40
\]
पायरी ४: तिसरा चतुर्थक (Q3) निश्चित करा
– \( \frac{3N}{4} = \frac{3 \times 50}{4} = 37.5 \)
आम्ही असा वर्ग शोधतो जिथे संचयी वारंवारता प्रथम 37.5 पेक्षा जास्त होते, म्हणजेच वर्ग 40 - 49.
– L = ३०
– एफ = १३
– f = 15
– c = 10
सूत्र Q3 वापरून:
\[
Q3 = 40 + \left( \frac{37.5 – 25}{15} \right) \times 10 = 40 + \left( \frac{12.5}{15} \right) \times 10 = 40 + 8.333 \approx 48.333
\]
निष्कर्ष
वरील गणनेवरून, आपल्याला गट डेटासाठी चतुर्थक मूल्ये खालीलप्रमाणे मिळतात:
– पहिला चतुर्थक (Q1) = २९.३७५
– दुसरा चतुर्थक (Q2) = ४०
– तिसरा चतुर्थक (Q3) = ४८.३३३
या मूल्यांमुळे आपल्याला गटात डेटा कसा वितरित झाला आहे हे समजण्यास मदत होते. उदाहरणार्थ, 25% डेटा 29.375 (Q1) च्या खाली येतो, 50% डेटा 40 (मध्यक किंवा Q2) च्या खाली येतो आणि 75% डेटा 48.333 (Q3) च्या खाली येतो.
डेटाच्या वितरणाची अधिक सखोल माहिती मिळवण्यासाठी चतुर्थक गणना विविध परिस्थितींमध्ये उपयुक्त ठरते. ही पद्धत समजल्यामुळे आपल्याला गटबद्ध डेटाचे अधिक अचूकपणे आणि प्रभावीपणे विश्लेषण करता येते.
