प्रोडक्ट मोमेंट कोरिलेशनचे उदाहरण प्रश्न आणि चर्चा
प्रोडक्ट-मोमेंट कोरिलेशन, ज्याला पिअरसन कोरिलेशन असेही म्हणतात, ही दोन चलांमधील रेषीय संबंधाची तीव्रता आणि दिशा मोजण्यासाठी वापरली जाणारी एक सांख्यिकीय पद्धत आहे. ही पद्धत शैक्षणिक संशोधन आणि व्यवसाय विश्लेषणापासून ते नैसर्गिक विज्ञानातील प्रयोगांच्या मूल्यांकनापर्यंत विविध क्षेत्रांमध्ये उपयुक्त आहे. या लेखात प्रोडक्ट-मोमेंट कोरिलेशनची गणना करण्यासाठी अनेक उदाहरणे आणि त्यांच्या उपायांवर चर्चा केली जाईल.
पेंडाहुलुआन
उदाहरणादाखल प्रश्नांकडे जाण्यापूर्वी, प्रॉडक्ट मोमेंट कोरिलेशनची मूलभूत संकल्पना समजून घेणे उचित ठरेल. पिअरसन सहसंबंध गुणांक (\(r\)) मोजण्यासाठी वापरले जाणारे सामान्य सूत्र खालीलप्रमाणे आहे:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
कुठे:
– \( n \) ही डेटा जोड्यांची संख्या आहे.
– \( \sum{XY} \) ही \( X \) आणि \( Y \) यांच्या गुणाकारांची बेरीज आहे.
– \( \sum{X} \) ही \( X \) या चलांची बेरीज आहे.
– \( \sum{Y} \) ही \( Y \) या चलांची बेरीज आहे.
– \( \sum{X^2} \) ही \( X \) या चलपदाच्या वर्गांची बेरीज आहे.
– \( \sum{Y^2} \) ही \( Y \) या चलपदाच्या वर्गांची बेरीज आहे.
पिअरसनचा सहसंबंध गुणांक (\(r\)) नेहमी -1 आणि 1 च्या दरम्यान असतो. सकारात्मक सहसंबंध हे दर्शवतो की दोन्ही चल एकाच दिशेने जातात, तर नकारात्मक सहसंबंध हे दर्शवतो की एक चल वाढल्यास दुसरे कमी होते. जर \(r = 0\) असेल, तर दोन चलांमध्ये कोणताही रेषीय सहसंबंध नसतो.
उदाहरण प्रश्न १
डेटा
खाली ५ विद्यार्थ्यांच्या गणित आणि भौतिकशास्त्र परीक्षेच्या गुणांची माहिती दिली आहे:
| विद्यार्थी | गणित (X) | भौतिकशास्त्र (Y) |
|——-|——————-|————-|
| ५ | ८० | ८८ |
| ५ | ८० | ८८ |
| ५ | ८० | ८८ |
| ५ | ८० | ८८ |
| ५ | ८० | ८८ |
निराकरण पायऱ्या
१. महत्त्वाच्या घटकांची गणना:
– \( \sum{X} \) = 85 + 78 + 85 + 70 + 80 = 398
– \( \sum{Y} \) = 90 + 85 + 80 + 70 + 88 = 413
– \( \sum{XY} \) = (85\ 90) + (78\ 85) + (85\ 80) + (70\ 70) + (80\ 88) = 7650 + 6630 + 6800 + 4900 + 7040 = 33020
– \( \sum{X^2} \) = (85^2) + (78^2) + (85^2) + (70^2) + (80^2) = 7225 + 6084 + 7225 + 4900 + 6400 = 31834
– \( \sum{Y^2} \) = (90^2) + (85^2) + (80^2) + (70^2) + (88^2) = 8100 + 7225 + 6400 + 4900 + 7744 = 34369
२. सूत्रामध्ये प्रविष्ट करा:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{5(33020) – (398)(413)}{\sqrt{[5(31834) – (398)^2][5(34369) – (413)^2]}} \]
३. निकालांची गणना:
– अंश: \( 5(33020) – (398)(413) = 165100 – 164474 = 626 \)
– छेद:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 5(31834) – (398)^2 = 159170 – 158404 = 766 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 5(34369) – (413)^2 = 171845 – 170569 = 1276 \)
– \( \sqrt{766 \times 1276} \approx \sqrt{976856} \approx 989.36 \)
\[ r = \frac{626}{989.36} \approx 0.633 \]
अशाप्रकारे, गणित आणि भौतिकशास्त्र चाचणी गुणांमधील पिअरसन सहसंबंध गुणांक 0.633 आहे, जो दर्शवितो की दोन्ही चलांमध्ये मध्यम सकारात्मक सहसंबंध आहे.
उदाहरण प्रश्न १
डेटा
एका कंपनीच्या ६ महिन्यांच्या विक्री मूल्य आणि जाहिरात खर्चाची माहिती खाली दिली आहे:
| महिना | जाहिरात (X) | विक्री (Y) |
|——-|————–|——————|
| ६ | २५०० | ३२०० |
| ६ | २५०० | ३२०० |
| ६ | २५०० | ३२०० |
| ६ | २५०० | ३२०० |
| ६ | २५०० | ३२०० |
| ६ | २५०० | ३२०० |
निराकरण पायऱ्या
१. महत्त्वाच्या घटकांची गणना:
– \( \sum{X} \) = 2000 + 1800 + 2200 + 2400 + 2300 + 2500 = 13200
– \( \sum{Y} \) = 2500 + 2100 + 2700 + 2900 + 3000 + 3200 = 16400
– \( \sum{XY} \) = (2000\ 2500) + (1800\ 2100) + (2200\ 2700) + (2400\ 2900) + (2300\ 3000) + (2500\ 3200) = 5000000 + 3780000 + 5940000 + 6960000 + 6900000 + 8000000 = 36580000
– \( \sum{X^2} \) = (2000^2) + (1800^2) + (2200^2) + (2400^2) + (2300^2) + (2500^2) = 4000000 + 3240000 + 4840000 + 5760000 + 5290000 + 6250000 = 29380000
– \( \sum{Y^2} \) = (2500^2) + (2100^2) + (2700^2) + (2900^2) + (3000^2) + (3200^2) = 6250000 + 4410000 + 7290000 + 8410000 + 9000000 + 10240000 = 45590000
२. सूत्रामध्ये प्रविष्ट करा:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{6(36580000) – (13200)(16400)}{\sqrt{[6(29380000) – (13200)^2][6(45590000) – (16400)^2]}} \]
३. निकालांची गणना:
– अंश: \( 6(36580000) – (13200)(16400) = 219480000 – 216480000 = 3000000 \)
– छेद:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 6(29380000) – (13200)^2 = 176280000 – 174240000 = 2040000 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 6(45590000) – (16400)^2 = 273540000 – 268960000 = 4580000 \)
– \( \sqrt{2040000 \times 4580000} \approx \sqrt{9343200000000} \approx 3056246.20 \)
\[ r = \frac{3000000}{3056246.20} \approx 0.981 \]
अशाप्रकारे, जाहिरात खर्च आणि विक्री मूल्य यांच्यातील पिअरसन सहसंबंध गुणांक 0.981 आहे, जो हे दर्शवितो की या दोन चलांमध्ये खूप मजबूत सकारात्मक सहसंबंध आहे.
निष्कर्ष
पिअरसन सहसंबंध गुणांक (\(r\)) हा दोन चलांमधील रेषीय संबंध समजून घेण्यासाठी एक अत्यंत उपयुक्त साधन आहे. दिलेल्या उदाहरणांमध्ये, आपण \(r\) मूल्याची गणना कशी करायची आणि त्याचा अर्थ कसा लावायचा हे पाहतो. उच्च सहसंबंध (१ किंवा -१ च्या जवळ) अधिक मजबूत संबंध दर्शवतो, तर कमी सहसंबंध (० च्या जवळ) कमकुवत संबंध दर्शवतो. हे लक्षात घेणे महत्त्वाचे आहे की सहसंबंधामुळे कार्यकारणभाव सिद्ध होत नाही; तो केवळ दोन चलांमध्ये संबंध असल्याचे दर्शवतो.
