फलनांचे संयोजन आणि व्यस्त फलनांवर चर्चा करणारे उदाहरण प्रश्न
गणितामध्ये, फलन संयोजन (function composition) आणि व्यस्त फलन (inverse functions) या दोन संकल्पना एकमेकांशी घनिष्ठपणे संबंधित असून, कलनशास्त्र (calculus), गणितीय विश्लेषण (mathematical analysis) आणि फलन सिद्धांत (function theory) यांसारख्या प्रगत विषयांच्या आकलनासाठी त्या महत्त्वपूर्ण आहेत. हा लेख अनेक सोप्या उदाहरणांच्या आणि चर्चेच्या माध्यमातून या दोन्ही संकल्पनांचा उलगडा करेल. फलन संयोजन आणि व्यस्त फलन कसे कार्य करतात, हे वाचकांना अधिक व्यावहारिक पद्धतीने समजण्यास मदत करणे, हा यामागील उद्देश आहे.
२. फंक्शन कंपोझिशन
फलन संयोजन म्हणजे दोन फलनांना एकत्र करून एक फलन बनवण्याची क्रिया. जर आपल्याकडे \( f(x) \) आणि \( g(x) \) ही दोन फलने असतील, तर या फलनांचे संयोजन \( (f \circ g)(x) \) असते, ज्याला “f संयोजन g चे x” किंवा “f चे g चे x” असे वाचले जाते. या संयोजनाची व्याख्या अशी आहे की, प्रथम \( g(x) \) हे फलन लागू करणे आणि नंतर \( g(x) \) च्या परिणामावर \( f \) हे फलन लागू करणे.
उदाहरण प्रश्न ३:
\( f(x) = 2x + 3 \) आणि \( g(x) = x^2 – 1 \) ही फंक्शन्स दिली आहेत. \( (f \circ g)(x) \) आणि \( (g \circ f)(x) \) यांचे संयोजन शोधा.
चर्चा:
१. \( (f \circ g)(x) \) निश्चित करा:
\( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \)
\( = f(x^2 – 1) \)
\( f(x) \) मध्ये \( x^2 – 1 \) प्रतिस्थापित करा:
\( f(x^2 – 1) = 2(x^2 – 1) + 3 \)
\( = 2x^2 – 2 + 3 \)
\( = 2x^2 + 1 \)
म्हणून, \( (f \circ g)(x) = 2x^2 + 1 \).
२. \( (g \circ f)(x) \) निश्चित करा:
\( (g \circ f)(x) = g(f(x)) \)
\( = g(2x + 3) \)
\( g(x) \) मध्ये \( 2x + 3 \) ची किंमत ठेवा:
\( g(2x + 3) = (2x + 3)^2 – 1 \)
\( (2x + 3)^2 \) ची गणना करण्यासाठी वर्गसमीकरण नित्यसमानतेचा वापर करा:
\( = 4x^2 + 12x + 9 – 1 \)
\( = 4x^2 + 12x + 8 \)
म्हणून, \( (g \circ f)(x) = 4x^2 + 12x + 8 \).
३. व्यस्त फलन
व्यस्त फलन हे असे फलन आहे जे मूळ फलनाचा परिणाम उलटवते. जर \( f \) हे एक फलन असेल, तर \( f \) चे व्यस्त फलन, जे \( f^{-1} \) असे लिहिले जाते, हे असे फलन आहे जे \( f(f^{-1}(x)) = x \) आणि \( f^{-1}(f(x)) = x \) या अटी पूर्ण करते.
एखाद्या फलनाचे व्यस्त फलन शोधण्यासाठी, आपल्याला खालीलप्रमाणे करावे लागेल:
१. \( f(x) \) च्या जागी \( y \) ठेवा.
2. समीकरणात \( x \) ची किंमत \( y \) च्या स्वरूपात काढा.
3. \( x \) आणि \( y \) या चलपदांची अदलाबदल करा.
उदाहरण प्रश्न ३:
दिलेले फलन \( f(x) = 3x – 4 \) असताना, त्याचे व्यस्त फलन, म्हणजेच \( f^{-1}(x) \) शोधा.
चर्चा:
१. \( f(x) \) च्या जागी \( y \) ठेवा:
\( y = 3x – 4 \).
२. \( y \) च्या स्वरूपात \( x \) ची किंमत काढा:
\( y = 3x – 4 \)
समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना ४ मिळवा:
\( y + 4 = 3x \)
समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 3 ने भागा:
\( x = \frac{y + 4}{3} \)
३. \( x \) आणि \( y \) या चलपदांची अदलाबदल करा:
\( f^{-1}(x) = \frac{x + 4}{3} \)
म्हणून, \( f(x) = 3x – 4 \) चा व्यस्त \( f^{-1}(x) = \frac{x + 4}{3} \) आहे.
३. संयोजन आणि व्यस्त यांच्या संयोगासह उदाहरणादाखल प्रश्न
उदाहरण प्रश्न ३:
\( f(x) = x^3 + 2 \) आणि \( g(x) = \sqrt[3]{x – 2} \) ही फंक्शन्स दिली आहेत. सिद्ध करा की \( g(x) \) हे \( f(x) \) चे व्यस्त आहे.
चर्चा:
\( g(x) \) हे \( f(x) \) चे व्यस्त आहे हे सिद्ध करण्यासाठी, आपल्याला \( (f \circ g)(x) = x \) आणि \( (g \circ f)(x) = x \) हे दाखवावे लागेल.
१. दाखवा की \( (f \circ g)(x) = x \):
\( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \)
\( f(x) \) मध्ये \( g(x) = \sqrt[3]{x – 2} \) प्रतिस्थापित करा:
\( f(g(x)) = f(\sqrt[3]{x – 2}) \)
\( = (\sqrt[3]{x – 2})^3 + 2 \)
कारण \( (\sqrt[3]{x – 2})^3 = x – 2 \):
\( = (x – 2) + 2 \)
\( = x \).
२. \( (g \circ f)(x) = x \) हे दाखवा:
\( (g \circ f)(x) = g(f(x)) \)
\( g(x) \) मध्ये \( f(x) = x^3 + 2 \) प्रतिस्थापित करा:
\( g(f(x)) = g(x^3 + 2) \)
\( = \sqrt[3]{(x^3 + 2) – 2} \)
\( = \sqrt[3]{x^3} \)
\( = x \).
\( (f \circ g)(x) = x \) आणि \( (g \circ f)(x) = x \) असल्याने, \( g(x) \) हे \( f(x) \) चे व्यस्त आहे.
३. दैनंदिन जीवनातील उपयोग
उदाहरण प्रश्न ३:
एक शास्त्रज्ञ \( f(T) = 5T + 40 \) आणि \( g(P) = \frac{P – 40}{5} \) या फलनांनी वर्णन केलेले दोन गणितीय मॉडेल वापरतो, जिथे \( T \) हे सेल्सिअस मधील तापमान आणि \( P \) हे पास्कल्स मधील दाब आहे. फलन \( g \) हे फलन \( f \) चे व्यस्त फलन आहे की नाही हे ठरवा.
चर्चा:
\( g \) हे \( f \) चे व्यस्त आहे हे सिद्ध करण्यासाठी, आपल्याला \( (f \circ g)(P) = P \) आणि \( (g \circ f)(T) = T \) हे दाखवावे लागेल.
१. दाखवा की \( (f \circ g)(P) = P \):
\( (f \circ g)(P) = f(g(P)) \)
\( f(T) \) मध्ये \( g(P) = \frac{P – 40}{5} \) प्रतिस्थापित करा:
\( f(g(P)) = f\left(\frac{P – 40}{5}\right) \)
\( = 5\left(\frac{P – 40}{5}\right) + 40 \)
\( = (P – 40) + 40 \)
\( = P \).
२. \( (g \circ f)(T) = T \) हे दाखवा:
\( (g \circ f)(T) = g(f(T)) \)
\( g(P) \) मध्ये \( f(T) = 5T + 40 \) प्रतिस्थापित करा:
\( g(f(T)) = g(5T + 40) \)
\( = \frac{(5T + 40) – 40}{5} \)
\( = \frac{5T}{5} \)
\( = T \).
\( (f \circ g)(P) = P \) आणि \( (g \circ f)(T) = T \) असल्याने, \( g \) हे \( f \) फलनाचे व्यस्त आहे.
निष्कर्ष
फलन संयोजन आणि व्यस्त फलन या संकल्पना गणितामध्ये अत्यंत महत्त्वाच्या आहेत. त्या केवळ दोन फलनांमधील संबंध समजून घेण्यास मदत करत नाहीत, तर भौतिकशास्त्र आणि अभियांत्रिकी यांसारख्या वास्तविक जगातील विविध व्यावहारिक उपयोगांसाठी आधारदेखील प्रदान करतात. वरील उदाहरणांचा अभ्यास करून, वाचकांना या दोन संकल्पनांचे अधिक चांगले आकलन आणि उपयोजन प्राप्त होईल, अशी आशा आहे.
