निर्धारण गुणांकावरील चर्चा प्रश्नाचे उदाहरण
निर्धारण गुणांक (R²) हा रिग्रेशन विश्लेषणातील एक महत्त्वाचा पॅरामीटर आहे, जो रिग्रेशन मॉडेल डेटाची वास्तविक परिवर्तनशीलता किती चांगल्या प्रकारे स्पष्ट करते हे दर्शवतो. या लेखात, आम्ही एका सविस्तर उदाहरणाद्वारे आणि चर्चेद्वारे निर्धारण गुणांकाची संकल्पना स्पष्ट करणार आहोत.
निर्धारण गुणांकाची मूलभूत संकल्पना
निर्धारण गुणांक किंवा \( R^2 \) हा 0 ते 1 च्या प्रमाणावर मोजला जातो, जेथे:
– \( R^2 = 0 \) हे दर्शवते की रिग्रेशन मॉडेल डेटाची परिवर्तनशीलता अजिबात स्पष्ट करू शकत नाही.
– \( R^2 = 1 \) हे दर्शवते की रिग्रेशन मॉडेल डेटाची सर्व परिवर्तनशीलता अचूकपणे स्पष्ट करण्यास सक्षम आहे.
निर्धारण गुणांक मोजण्याचे मूलभूत सूत्र खालीलप्रमाणे आहे:
\[ R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
कुठे:
– SSR (Sum of Squared Residuals) म्हणजे मॉडेलने भाकीत केलेल्या मूल्यांमधील आणि प्रत्यक्ष मूल्यांमधील फरकांच्या वर्गांची बेरीज होय.
– SST (एकूण वर्ग बेरीज) म्हणजे वास्तविक मूल्य आणि वास्तविक मूल्यांची सरासरी यांच्यातील फरकांच्या वर्गांच्या बेरजेची एकूण बेरीज होय.
समस्यांचे उदाहरण
निर्धारण गुणांकाची गणना अधिक सखोलपणे समजून घेण्यासाठी, आपण एका उदाहरणाच्या समस्येवर चर्चा करूया.
समस्यांचे उदाहरण:
समजा आपल्याकडे १० विद्यार्थ्यांच्या अभ्यासाचे तास (X) आणि परीक्षेतील गुण (Y) यांची माहिती आहे:
| विद्यार्थी | अभ्यासाचे तास (X) | परीक्षेतील गुण (Y) |
|——-|——————–|——————–|
| ९ | ३ | ६२ |
| ९ | ३ | ६२ |
| ९ | ३ | ६२ |
| ९ | ३ | ६२ |
| ९ | ३ | ६२ |
| ९ | ३ | ६२ |
| ९ | ३ | ६२ |
| ९ | ३ | ६२ |
| ९ | ३ | ६२ |
| १० | ४ | ७८ |
आपण एक साधे रेषीय प्रतिगमन मॉडेल तयार करू, ज्यामध्ये अभ्यासाच्या तासांवर (X) आधारित परीक्षेच्या गुणांचा (Y) अंदाज लावला जाईल.
चर्चा
१. साधे रेषीय प्रतिगमन मॉडेल तयार करणे
एका साध्या रेषीय प्रतिगमन मॉडेलचे स्वरूप खालीलप्रमाणे असते:
\[ Y = a + bX \]
कुठे:
– \( Y \) हा अंदाजित चाचणी गुण आहे.
– \( X \) ही अभ्यासाच्या तासांची संख्या आहे.
– \( a \) हा इंटरसेप्ट आहे (जेव्हा X = 0 असते तेव्हा Y अक्षावरील छेदनबिंदू).
– \( b \) हा उतार (रिग्रेशन रेषेचा कल) आहे.
\( a \) आणि \( b \) या पॅरामीटर्सची गणना करण्यासाठी, आपण खालील सूत्र वापरतो:
\[ b = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{n(\sum{X^2}) – (\sum{X})^2} \]
\[ a = \frac{\sum{Y} – b(\sum{X})}{n} \]
येथे \( n \) ही डेटाची संख्या आहे (या प्रकरणात n = 10).
तक्त्यावरून आपण गणना करू शकतो:
– \(\sum{X} = 36\)
– \(\sum{Y} = 704\)
– \(\sum{X^2} = 140\)
– \(\sum{Y^2} = 50428\)
– \(\sum{XY} = 2576\)
चला, आधी b ची गणना करूया:
\[ b = \frac{10(2576) – (36)(704)}{10(140) – (36)^2} \]
\[ b = \frac{25760 – 25344}{1400 – 1296} \]
\[ b = \frac{416}{104} \]
\[ b = 4 \]
मग, आपण याची गणना करतो:
\[ a = \frac{704 – 4(36)}{10} \]
\[ a = \frac{704 – 144}{10} \]
\[ a = \frac{560}{10} \]
\[ a = 56 \]
तर, आपल्याला मिळणारे रेषीय प्रतिगमन मॉडेल असे आहे:
\[ Y = 56 + 4X \]
२. अंदाजित मूल्य (Y') मोजा.
पुढे, आपण प्रत्येक \( X \) साठी अंदाजित मूल्य \( Y' \) मोजतो:
| विद्यार्थी | अभ्यासाचे तास (X) | परीक्षेतील गुण (Y) | अंदाजित गुण (Y') |
|——-|——————–|——————–|————————-|
| 1 | 2 | 58 | \( 56 + 4(2) = 64 \) |
| 2 | 3 | 64 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 3 | 4 | 70 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
| 4 | 5 | 85 | \( 56 + 4(5) = 76 \) |
| 5 | 2 | 57 | \( 56 + 4(2) = 64 \) |
| 6 | 3 | 68 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 7 | 4 | 72 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
| 8 | 5 | 90 | \( 56 + 4(5) = 76 \) |
| 9 | 3 | 62 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 10 | 4 | 78 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
३. एसएसआर आणि एसएसटीची गणना करणे
पुढे, \( R^2 \) मिळवण्यासाठी आपण SSR आणि SST ची गणना करतो.
SSR:
\[ SSR = \sum{(Y – Y')^2} \]
\[ SSR = (58 – 64)^2 + (64 – 68)^2 + (70 – 72)^2 + (85 – 76)^2 + (57 – 64)^2 + (68 – 68)^2 + (72 – 72)^2 + (90 – 76)^2 + (62 – 68)^2 + (78 – 72)^2 \]
\[ SSR = 36 + 16 + 4 + 81 + 49 + 0 + 0 + 196 + 36 + 36 \]
\[ एसएसआर = ४५४ \]
एसएसटी:
\[ SST = \sum{(Y – \bar{Y})^2} \]
कुठे:
\[ \bar{Y} = \frac{\sum{Y}}{n} = \frac{704}{10} = 70.4 \]
\[ SST = (58 – 70.4)^2 + (64 – 70.4)^2 + (70 – 70.4)^2 + (85 – 70.4)^2 + (57 – 70.4)^2 + (68 – 70.4)^2 + (72 – 70.4)^2 + (90 – 70.4)^2 + (62 – 70.4)^2 + (78 – 70.4)^2 \]
\[ SST = 153.76 + 40.96 + 0.16 + 213.16 + 178.56 + 5.76 + 2.56 + 384.16 + 70.56 + 57.76 \]
\[ SST = 1107.44 \]
४. निर्धारण गुणांक \( R^2 \) ची गणना करणे:
\[ R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
\[ R^2 = 1 – \frac{454}{1107.44} \]
\[ R^2 = 1 – 0.41 \]
\[ R^2 = 0.59 \]
निष्कर्ष
वरील गणनेवरून, आम्हाला निर्धारण गुणांक (R² = ०.५९) मिळाला आहे. यावरून असे दिसून येते की, आम्ही तयार केलेले रेषीय प्रतिगमन मॉडेल अभ्यासाच्या तासांवर आधारित परीक्षेच्या गुणांमधील सुमारे ५९% तफावत स्पष्ट करू शकते. उर्वरित ४१% तफावत ही मॉडेलमध्ये समाविष्ट नसलेल्या इतर घटकांमुळे असू शकते.
वरील टप्पे आणि आकडेमोड समजून घेतल्यावर, आपण तयार केलेले रिग्रेशन मॉडेल डेटाची वास्तविक परिवर्तनशीलता किती चांगल्या प्रकारे स्पष्ट करते, याचे मूल्यांकन करण्यासाठी निर्धारण गुणांकाचे महत्त्व आपल्या लक्षात येते. सांख्यिकीय विश्लेषण आणि डेटा मॉडेलिंगमध्ये हे एक अत्यंत उपयुक्त साधन आहे.
