शंकुच्छेदाच्या स्पर्शिकांविषयी उदाहरणादाखल प्रश्न आणि चर्चा
पेंडाहुलुआन
शंकूच्छेद म्हणजे एक प्रतल आणि द्विध्रुवीय शंकू यांच्या छेदनबिंदूतून तयार होणारा वक्र होय. या वक्रांमध्ये वर्तुळे, लंबवर्तुळे, अन्वस्त आणि अतिवस्त यांचा समावेश होतो. शंकूच्छेद समजून घेण्यासाठी स्पर्शरेषा हा एक महत्त्वाचा विषय आहे. शंकूच्छेदाची स्पर्शिका ही एक अशी रेषा आहे जी शंकू वक्राला फक्त एकाच बिंदूत स्पर्श करते. या लेखात अनेक उदाहरणे आणि शंकूच्छेदाच्या स्पर्शिकांविषयी चर्चा केली जाईल.
वर्तुळाला स्पर्शिका
वर्तुळ हा एक शंकुच्छेद आहे, ज्याचा आकार सर्वात सोपा आणि त्यात परिपूर्ण समरूपता असते. आपण वर्तुळाच्या स्पर्शिकांविषयीच्या एका उदाहरणाने सुरुवात करूया.
उदाहरण प्रश्न १
\( (x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 25 \) हे समीकरण असलेले एक वर्तुळ दिले आहे. वर्तुळावरील \((5, -3)\) या बिंदूपाशी असलेल्या स्पर्शरेषेचे समीकरण निश्चित करा.
चर्चा
वर्तुळाचे सामान्य समीकरण \( (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 \) आहे, ज्यामध्ये \( (h, k) \) हे वर्तुळाचे केंद्र आणि \( r \) ही त्रिज्या आहे. या समस्येमध्ये, \((h, k)\) वर्तुळाचे केंद्र \((2, -3)\) आहे आणि त्रिज्या \( r = \sqrt{25} = 5 \) आहे.
वर्तुळावरील \((x_1, y_1)\) या बिंदूपाशी असलेली स्पर्शरेषा खालील सूत्र वापरून काढता येते:
\[ (x – h)(x_1 – h) + (y – k)(y_1 – k) = r^2 \]
ज्ञात मूल्ये प्रविष्ट करा:
\[ (x – 2)(5 – 2) + (y + 3)(-3 + 3) = 25 \]
\[ (x – 2)(3) + (y + 3)(0) = 25 \]
\[ 3(x – 2) = 25 \]
\[ 3x – 6 = 25 \]
\[ 3x = 31 \]
\[ x = \frac{31}{3} \]
स्पर्शरेषेचे समीकरण \(x = \frac{31}{3}\) आहे, परंतु या पद्धतीत एक त्रुटी आहे कारण बिंदू \((5, -3)\) हा स्पष्टपणे वर्तुळावरील एक बिंदू आहे. म्हणून, आपण या विशिष्ट बिंदूवरील स्पर्शरेषेचा उतार प्रतिस्थापित करून पारंपरिक पद्धत वापरतो:
स्पर्शबिंदू \((5, -3)\) आहे, तर, त्रिज्या रेषेचा प्रवणता (m) \(m = \frac{-3 – (-3)}{5 – 2}=0\) आहे, जिथे आधीच्या उभ्या स्पर्शिकेसाठी स्पर्श रेषेचा प्रवणता अनिर्दिष्ट होतो.
लंबवर्तुळाची स्पर्शरेषा
लंबवर्तुळ हा एक शंकुच्छेद आहे ज्याला दोन सममिती अक्ष असतात: एक प्रमुख (लांब) अक्ष आणि एक गौण (लघु) अक्ष. येथे लंबवर्तुळाशी संबंधित समस्यांची काही उदाहरणे दिली आहेत.
उदाहरण प्रश्न १
\(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\) हे समीकरण असलेला एक लंबवर्तुळ दिला आहे. त्या लंबवर्तुळावरील \((2, \frac{3}{2})\) या बिंदूपाशी असलेल्या स्पर्शरेषेचे समीकरण निश्चित करा.
चर्चा
लंबवर्तुळ \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) ला बिंदू \((x_1, y_1)\) जवळ असलेल्या स्पर्शरेषेचे समीकरण आहे:
\[ \frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = 1 \]
\(a = 4\) आणि \(b = 3\) असताना, \(a\), \(b\) आणि बिंदू \((2, \frac{3}{2})\) यांच्या किमती ठेवा:
\[ \frac{x(2)}{4^2} + \frac{y(\frac{3}{2})}{3^2} = 1 \]
\[ \frac{2x}{16} + \frac{3y}{6} = 1 \]
\[ \frac{x}{8} + \frac{y}{2} = 1 \]
अपूर्णांक नाहीसे करण्यासाठी संपूर्ण समीकरणाला ८ ने गुणा:
\[ x + 4y = 8 \]
म्हणून, लंबवर्तुळाच्या स्पर्शरेषेचे समीकरण \( x + 4y = 8 \) आहे.
पॅराबोलाची स्पर्शरेषा
परवलय हा एक सममिती अक्ष आणि एक शिरोबिंदू असलेला शंकुच्छेद आहे. परवलयाशी संबंधित समस्यांची काही उदाहरणे येथे दिली आहेत.
उदाहरण प्रश्न १
\( y^2 = 4x \) समीकरण असलेला एक पॅराबोला दिला आहे. पॅराबोलावरील \((1, 2)\) बिंदूपाशी असलेल्या स्पर्शरेषेचे समीकरण निश्चित करा.
चर्चा
परवलय \( y^2 = 4ax \) ला \((x_1, y_1)\) या बिंदूपाशी असलेल्या स्पर्शरेषेचे समीकरण आहे:
\[ yy_1 = 2a(x + x_1) \]
परवलयाच्या समीकरण \( y^2 = 4x \) वरून, आपल्याला \( 4a = 4 \) मिळते, त्यामुळे \( a = 1 \) होते. \( a \) ची किंमत आणि बिंदू \((1, 2)\) ठेवा:
\[ 2y = 2(1)(x + 1) \]
\[ 2y = 2x + 2 \]
\[ y = x + 1 \]
म्हणून, परवलयाच्या स्पर्शरेषेचे समीकरण \( y = x + 1 \) आहे.
हायपरबोलाची स्पर्शरेषा
अतिपरवलय हा दोन शाखा आणि दोन अनंतस्पर्शी असलेला एक शंकुच्छेद आहे. अतिपरवलयाशी संबंधित समस्यांची काही उदाहरणे येथे दिली आहेत.
उदाहरण प्रश्न १
\( \frac{x^2}{25} – \frac{y^2}{16} = 1 \) हे समीकरण असलेला एक अतिपरवलय दिला आहे. त्या अतिपरवलयावरील \((5, 0)\) या बिंदूपाशी असलेल्या स्पर्शरेषेचे समीकरण निश्चित करा.
चर्चा
अतिपरवलय \(\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1\) ला \((x_1, y_1)\) या बिंदूपाशी असलेल्या स्पर्शरेषेचे समीकरण आहे:
\[ \frac{xx_1}{a^2} – \frac{yy_1}{b^2} = 1 \]
\( a = 5 \) आणि \( b = 4 \) असताना, \( a \), \( b \) च्या किमती आणि \((5, 0)\) हा बिंदू ठेवा:
\[ \frac{x(5)}{25} – \frac{y(0)}{16} = 1 \]
\[ \frac{5x}{25} – 0 = 1 \]
\[ \frac{x}{5} = 1 \]
\[ x = 5 \]
म्हणून, अतिपरवलयाच्या स्पर्शरेषेचे समीकरण \( x = 5 \) आहे.
निष्कर्ष
शंकूछेदांच्या स्पर्शिका गणितात आणि विविध व्यावहारिक उपयोगांमध्ये महत्त्वपूर्ण भूमिका बजावतात. वर्तुळ, लंबवर्तुळ, अन्वस्त आणि अतिवस्त यांसारख्या विविध प्रकारच्या शंकूछेदांच्या स्पर्शिकांची समीकरणे कशी शोधावीत हे समजून घेणे, कलनशास्त्र आणि विश्लेषणात्मक भूमितीमधील एक आवश्यक कौशल्य आहे. वरील उदाहरणे आणि चर्चेच्या आधारे, वाचकांना शंकूछेदांच्या स्पर्शिका निश्चित करण्याच्या संकल्पना आणि पद्धती अधिक चांगल्या प्रकारे समजतील अशी आशा आहे.
