वाढत्या फलने, घटत्या फलने आणि स्थिर फलने यांचे उदाहरण प्रश्न आणि चर्चा
गणितीय फंक्शन्स हा एक बऱ्यापैकी सखोल विषय असून तो विविध वैशिष्ट्यांनी परिपूर्ण आहे, त्यापैकी एक म्हणजे त्यांचे वाढत्या, घटत्या किंवा स्थिर अवस्थांच्या संदर्भात विश्लेषण कसे केले जाऊ शकते. दिलेल्या अंतरामध्ये एखादे फंक्शन वाढते, घटते किंवा स्थिर आहे की नाही हे जाणून घेणे, अर्थशास्त्र, भौतिकशास्त्र आणि अभियांत्रिकी यांसारख्या गणिताच्या विविध उपयोगांमध्ये अत्यंत महत्त्वाचे आहे. या लेखात वाढत्या, घटत्या आणि स्थिर फंक्शन्सशी संबंधित उदाहरणे आणि त्यांच्यावरील चर्चा समाविष्ट असेल.
वाढणारी फलने, घटणारी फलने आणि स्थिर फलने म्हणजे काय?
१. वर्धमान फलन: एखादे फलन \( f(x) \) हे अंतराल \( I \) वर वर्धमान आहे असे म्हटले जाते, जर \( I \) मधील प्रत्येक \( x_1 \) आणि \( x_2 \) साठी, जेथे \( x_1 < x_2 \) असेल, तर \( f(x_1) \leq f(x_2) \) हे सत्य असते. २. घटमान फलन: याउलट, एखादे फलन \( f(x) \) हे अंतराल \( I \) वर घटमान आहे असे म्हटले जाते, जर \( I \) मधील प्रत्येक \( x_1 \) आणि \( x_2 \) साठी, जेथे \( x_1 < x_2 \) असेल, तर \( f(x_1) \geq f(x_2) \) हे सत्य असते. ३. स्थिर फलन: एखादे फलन \( f(x) \) हे \( I \) या अंतरामध्ये स्थिर आहे असे तेव्हा म्हटले जाते, जेव्हा \( I \) मधील प्रत्येक \( x \) साठी, त्या फलनाचे मूल्य समान असते, म्हणजेच \( f(x) = c \), जिथे c हा एक स्थिरांक आहे. उदाहरण प्रश्न १: वाढत्या फलनाचा अंतराल निश्चित करणे. दिलेले फलन \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5 \). फलन कोणत्या अंतरामध्ये वाढत आहे ते निश्चित करा! चर्चा: फलन कोणत्या अंतरामध्ये वाढत आहे हे निश्चित करण्यासाठी, आपल्याला फलनाचा पहिला अवकलज काढावा लागेल आणि नंतर त्या अवकलजाच्या चिन्हाचे विश्लेषण करावे लागेल. १. पायरी १: पहिले अवकलज काढा: \[ f'(x) = d/dx (2x^3 - 3x^2 - 12x + 5) \] \[ f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 \] २. पायरी २: क्रांतिक बिंदू निश्चित करा: क्रांतिक बिंदू म्हणजे असे बिंदू जिथे पहिले अवकलज शून्य किंवा अपरिभाषित असते. \[ 6x^2 - 6x - 12 = 0 \] संपूर्ण समीकरणाला ६ ने भागा: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] आपण या वर्गसमीकरणाचे अवयव पाडू: \[ (x-2)(x+1) = 0 \] म्हणून, क्रांतिक बिंदू \( x = 2 \) आणि \( x = -1 \) आहेत. ३. पायरी ३: क्रांतिक बिंदूंनी तयार केलेल्या अंतराळात पहिल्या अवकलजाचे चिन्ह निश्चित करा: आपण \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 2) \), आणि \( (2, \infty) \) या अंतराळांवर \( f'(x) \) साठी एक चिन्ह सारणी तयार करू. - \( x \in (-\infty, -1) \) साठी: \( x = -2 \) घ्या \[ f'(-2) = 6(-2)^2 - 6(-2) - 12 = 24 + 12 - 12 = 24 \] \( f'(-2) > 0 \) असल्याने, \( f(x) \) हे \( (-\infty, -1) \) या अंतराळात वर्धमान आहे.
– \( x \in (-1, 2) \) साठी: \( x = 0 \) घ्या
\[ f'(0) = 6(0)^2 – 6(0) – 12 = -12 \]
\( f'(0) < 0 \) असल्याने, \( f(x) \) हे \( (-1, 2) \) या अंतरामध्ये घटणारे आहे. - \( x \in (2, \infty) \) साठी: \( x = 3 \) घ्या \[ f'(3) = 6(3)^2 - 6(3) - 12 = 54 - 18 - 12 = 24 \] \( f'(3) > 0 \) असल्याने, \( f(x) \) हे \( (2, \infty) \) या अंतरामध्ये वाढणारे आहे.
म्हणून, फलन \( f(x) \) हे \( (-\infty, -1) \cup (2, \infty) \) या अंतरामध्ये वर्धमान आहे.
उदाहरण समस्या २: घटत्या फलनाचा अंतराल निश्चित करणे
\( g(x) = 4x^4 – 8x^3 + 2 \) हे फलन दिले आहे. ज्या अंतरांमध्ये फलनाची घट होते ते अंतराल निश्चित करा!
चर्चा:
१. पायरी १: पहिले अवकलज काढा:
\[ g'(x) = d/dx (4x^4 – 8x^3 + 2) \]
\[ g'(x) = 16x^3 – 24x^2 \]
२. पायरी २: क्रांतिक बिंदू निश्चित करा:
\[ 16x^3 – 24x^2 = 0 \]
\[ 8x^2(2x – 3) = 0 \]
म्हणून क्रांतिक बिंदू \( x = 0 \) आणि \( x = \frac{3}{2} \) आहेत.
३. पायरी ३: दिलेल्या अंतरामध्ये पहिल्या अवकलजाचे चिन्ह निश्चित करा:
– \( x \in (-\infty, 0) \) साठी: \( x = -1 \) घ्या
\[ g'(-1) = 16(-1)^3 – 24(-1)^2 = -16 – 24 = -40 \]
\( g'(-1) < 0 \) असल्याने, \( g(x) \) हे \( (-\infty, 0) \) या अंतरामध्ये घटणारे आहे. - \( x \in (0, \frac{3}{2}) \) साठी: \( x = 1 \) घ्या \[ g'(1) = 16(1)^3 - 24(1)^2 = 16 - 24 = -8 \] \( g'(1) < 0 \) असल्याने, \( g(x) \) हे \( (0, \frac{3}{2}) \) या अंतरामध्ये घटणारे आहे. \( x \in (\frac{3}{2}, \infty) \) साठी: \( x = 2 \) घ्या \[ g'(2) = 16(2)^3 - 24(2)^2 = 128 - 96 = 32 \] \( g'(2) > 0 \) असल्याने, \( g(x) \) हे \( (\frac{3}{2}, \infty) \) या अंतरामध्ये वर्धमान आहे.
म्हणून, \( g(x) \) हे फलन \( (-\infty, 0) \cup (0, \frac{3}{2}) \) या अंतरामध्ये घटते.
उदाहरण प्रश्न ३: स्थिर फलनाचा अंतराल निश्चित करणे
\( h(x) = 7 \) हे फलन दिले असता, ते स्थिर असलेले अंतराल निश्चित करा!
चर्चा:
\( h(x) = 7 \) सारख्या स्थिर फलनाचा पहिला अवकलज सर्व \( x \) साठी शून्य असतो:
\[ h'(x) = 0 \]
पहिला अवकलज नेहमी शून्य असल्यामुळे, हे फलन संपूर्ण प्रांतावर स्थिर आहे, म्हणून आपण असे म्हणू शकतो की \( h(x) = 7 \) हे फलन सर्व वास्तव संख्यांवर स्थिर आहे, जे अंतराल चिन्हांकनात \( (-\infty, \infty) \) असे दर्शवले जाते.
निष्कर्ष
एखाद्या फलनाच्या वाढत्या, घटत्या आणि स्थिर अवस्थांचे अंतराल समजून घेणे हा कार्यात्मक विश्लेषणाचा एक आवश्यक भाग आहे. वरील उदाहरणांमधून, आपण हे अंतराल शोधण्यासाठी आवश्यक असलेल्या मूलभूत संकल्पना आणि पायऱ्यांचा अभ्यास केला आहे. हे ज्ञान गणिताच्या विविध व्यावहारिक आणि सैद्धांतिक उपयोगांमध्ये अत्यंत उपयुक्त आहे.
