एकैक, आच्छादक आणि द्वैत फलनांवरील उदाहरणात्मक प्रश्न आणि चर्चा
फलनाची व्याख्या आणि गणितातील त्याची उपयुक्तता हा अनेकदा चर्चेचा एक आकर्षक विषय असतो. या संदर्भात, आपल्याला एकैक, आच्छादक आणि द्वैत फलनांसारख्या संज्ञा वारंवार आढळतात. गणितीय विश्लेषण आणि संगणकशास्त्र, अर्थशास्त्र व भौतिकशास्त्र यांसारख्या विविध क्षेत्रांतील त्यांच्या व्यावहारिक उपयोगांसाठी या तीन प्रकारच्या फलनांना समजून घेणे अत्यंत महत्त्वाचे आहे.
एकैक, आच्छादक आणि द्विशाखीय कार्ये समजून घेणे
उदाहरणादाखल प्रश्न आणि त्यांच्या चर्चेवर विचार करण्यापूर्वी, आपण प्रथम तीन फंक्शन्सच्या व्याख्या आठवून घेऊया.
१. एकैक फलन (वन-टू-वन फलन): एखादे फलन f : A → B हे एकैक असते, जर डोमेन A मधील प्रत्येक a1 आणि a2 साठी, जर f(a1) = f(a2) असेल, तर a1 हा a2 च्या समान असलाच पाहिजे. दुसऱ्या शब्दांत, एकैक फलन हे सुनिश्चित करते की डोमेन A मधील भिन्न घटक हे कोडोमेन B मधील भिन्न घटकांशी मॅप केले जातात.
२. आच्छादक फलन (ऑनटो फलन): एखादे फलन f : A → B हे आच्छादक असते, जर सहप्रांत B मधील प्रत्येक घटकाशी प्रांत A मध्ये किमान एक घटक जोडलेला असेल. या प्रकरणात, सहप्रांत B मध्ये कोणतेही “रिक्त” घटक नसतात किंवा प्रांत A मधून कोणतेही प्रतिरूप नसतात.
३. बायजेक्टिव्ह फलन (एक-एक संगती): एखादे फलन f : A → B हे बायजेक्टिव्ह असते, जर ते एकैक आणि आच्छादक दोन्ही असेल. याचा अर्थ असा की, डोमेन A मधील प्रत्येक घटकाला कोडोमेन B मध्ये एक अद्वितीय प्रतिरूप असते आणि कोडोमेन B मधील प्रत्येक घटकाला डोमेन A मध्ये देखील एक अद्वितीय प्रतिरूप असते.
नमुना प्रश्न आणि चर्चा
प्रश्न १: एकैक फलन
प्रश्न:
f : ℝ → ℝ हे फलन f(x) = 2x + 3 असे परिभाषित केले आहे. सिद्ध करा की हे फलन एकैक फलन आहे.
चर्चा:
हे फलन एकैक आहे हे सिद्ध करण्यासाठी, आपल्याला हे दाखवावे लागेल की जर f(a) = f(b) असेल तर a = b.
समजा f(a) = f(b) असेल, तर आपण असे म्हणतो की:
\[ 2a + 3 = 2b + 3 \]
दोन्ही बाजूंमधून ३ वजा करा:
\[ 2a = 2b \]
दोन्ही बाजूंना २ ने भागा:
\[ a = b \]
f(a) = f(b) मुळे a = b होते हे आपण दाखवले असल्याने, f(x) = 2x + 3 हे एक एकैक फलन आहे.
प्रश्न २: आच्छादक फलन
प्रश्न:
g : ℝ → ℝ हे g(x) = x^3 असे परिभाषित केलेले एक फलन दिले आहे. सिद्ध करा की हे फलन एक आच्छादक फलन आहे.
चर्चा:
हे फलन आच्छादक आहे हे सिद्ध करण्यासाठी, आपल्याला हे दाखवावे लागेल की सहप्रांत ℝ मधील प्रत्येक घटक y साठी, प्रांत ℝ मध्ये किमान एक घटक x असा आहे की g(x) = y.
y ∈ ℝ मानू. आपल्याला असा x शोधायचा आहे की:
\[ x^3 = y \]
\( x = \sqrt[3]{y} \) घ्या:
\[ g(\sqrt[3]{y}) = (\sqrt[3]{y})^3 = y \]
सहप्रांत ℝ मधील प्रत्येक y साठी आपल्याला \( x = \sqrt[3]{y} \) असा x सापडत असल्याने, g(x) = x^3 हे एक आच्छादक फलन आहे.
प्रश्न ३: बायजेक्टिव्ह फंक्शन्स
प्रश्न:
h : ℝ → ℝ हे h(x) = x – 1 असे परिभाषित केलेले एक फलन दिले आहे. सिद्ध करा की हे फलन बायजेक्टिव्ह आहे.
चर्चा:
इंजेक्टिव्ह:
h(x) एकैक आहे हे सिद्ध करण्यासाठी, आपल्याला हे दाखवावे लागेल की जर h(a) = h(b) तर a = b.
h(a) = h(b) असे मानूया:
\[ a – 1 = b – 1 \]
दोन्ही बाजूंना १ जोडा:
\[ a = b \]
h(a) = h(b) असल्यामुळे a = b होते, म्हणून h(x) = x – 1 हे एक एकैक फलन आहे.
सर्वज्ञ:
h(x) हे आच्छादक आहे हे सिद्ध करण्यासाठी, आपल्याला हे दाखवावे लागेल की सहप्रांत ℝ मधील प्रत्येक घटक y साठी, प्रांत ℝ मध्ये कमीतकमी एक घटक x असा आहे की h(x) = y.
y ∈ ℝ मानू. आपल्याला असा x शोधायचा आहे की:
\[ x – 1 = y \]
दोन्ही बाजूंना १ जोडा:
\[ x = y + 1 \]
सहप्रांत ℝ मधील प्रत्येक y साठी आपल्याला x = y + 1 असा x सापडत असल्याने, h(x) = x – 1 हे एक आच्छादक फलन आहे.
h(x) हे एकैक आणि आच्छादक असल्यामुळे, h(x) हे एक बायजेक्टिव्ह फंक्शन आहे.
प्रश्न ४: फंक्शनचा प्रकार निश्चित करणे
प्रश्न:
f : ℕ → ℕ हे f(x) = 2x असे परिभाषित केलेले एक फलन आहे. f हे एकैक, आच्छादक किंवा द्वैत फलन आहे की नाही हे ठरवा.
चर्चा:
इंजेक्टिव्ह:
हे फलन एकैक आहे हे सिद्ध करण्यासाठी, आपल्याला हे दाखवावे लागेल की जर f(a) = f(b) असेल तर a = b.
समजा f(a) = f(b):
\[ 2a = 2b \]
दोन्ही बाजूंना २ ने भागा:
\[ a = b \]
म्हणून, f(x) = 2x हे एक एकैक फलन आहे.
सर्वज्ञ:
हे फलन आच्छादक आहे हे सिद्ध करण्यासाठी, आपल्याला हे दाखवावे लागेल की सहप्रांत ℕ मधील प्रत्येक घटक y साठी, प्रांत ℕ मध्ये किमान एक घटक x असा आहे की f(x) = y.
परंतु लक्षात घ्या की सहप्रांत ℕ (नैसर्गिक संख्या) आहे, तर f(x) = 2x हे समीकरण फक्त सम संख्या देते. समजा y ही एक विषम संख्या आहे, तर ℕ मध्ये असा कोणताही x नाही की 2x = y.
म्हणून, f(x) = 2x हे आच्छादक फलन नाही.
f(x) आच्छादक नसल्यामुळे, f(x) एकैकी आणि आच्छादक देखील नाही.
वरील विविध उदाहरणांवरून, आपण पाहू शकतो की फलनांच्या विविध व्याख्यांमधून फलनांचे प्रकार (एकैक, आच्छादक, द्वैत) कसे सिद्ध करायचे आणि ओळखायचे. गणिताच्या अनेक पैलूंमध्ये आणि त्याच्या वास्तविक जीवनातील उपयोगांमध्ये ही फलने समजून घेणे अत्यंत महत्त्वाचे आहे.
