फंक्शन्स आणि नॉन-फंक्शन्सवर चर्चा करणारे उदाहरण प्रश्न

कार्ये आणि अकार्ये यांवरील उदाहरणादाखल प्रश्न: मूलभूत संकल्पना समजून घेणे

परिचय

गणितामध्ये, विशेषतः बीजगणितामध्ये, 'फंक्शन' ही संकल्पना सर्वात मूलभूत आणि महत्त्वाची आहे. फंक्शन्समुळे आपल्याला दोन संचांमधील संबंध अत्यंत पद्धतशीरपणे समजून घेता येतो. फंक्शन समजून घेण्यासाठी, आपल्याला प्रथम त्याची व्याख्या आणि वैशिष्ट्ये समजून घेणे आवश्यक आहे. म्हणूनच, या लेखात उदाहरणादाखल काही समस्यांचा आढावा घेतला जाईल आणि फंक्शन्स व नॉन-फंक्शन्सवर चर्चा केली जाईल. यामुळे आपल्याला या विषयाची अधिक सखोल समज विकसित करण्यास मदत होईल.

कार्य आणि अकार्याची व्याख्या

चला, फलनाची व्याख्या समजून घेऊन सुरुवात करूया. गणितामध्ये, फलनाची व्याख्या अशी केली जाते की, ते एक असे संबंध आहे जे प्रांत संचातील प्रत्येक घटकाला सहप्रांत संचातील नेमक्या एकाच घटकाशी जोडते. दुसऱ्या शब्दांत सांगायचे झाल्यास, प्रांत संचातील प्रत्येक घटकासाठी, सहप्रांत संचामध्ये एक आणि केवळ एकच संबंधित घटक असतो.

फलन असलेल्या संबंधांची उदाहरणे:
– संच A = {1, 2, 3}
– संच B = {4, 5, 6}
– संबंध R = {(1, 4), (2, 5), (3, 6)}

संबंध R हे एक फलन आहे कारण संच A मधील प्रत्येक घटकाची जोडी संच B मधील फक्त एकाच घटकाशी असते.

नॉन-फंक्शन म्हणजे असा संबंध जो या निकषांची पूर्तता करत नाही, म्हणजेच मूळ प्रदेशात किमान एक घटक असतो जो परिणामी प्रदेशातील एकापेक्षा जास्त घटकांसोबत जोडलेला असतो.

फलन नसलेल्या संबंधांची उदाहरणे:
– संच C = {1, 2, 3}
– संच D = {4, 5, 6}
– संबंध S = {(1, 4), (1, 5), (2, 6)}

संबंध S हे फंक्शन नाही कारण संच C मधील घटक '1' हा संच D मधील दोन घटकांसह (म्हणजे 4 आणि 5) जोडलेला आहे.

नमुना प्रश्न आणि चर्चा

फंक्शन्स आणि नॉन-फंक्शन्सबद्दलची आपली समज अधिक सखोल करण्यासाठी, आपण काही उदाहरणादाखल प्रश्न आणि त्यावरील चर्चा पाहूया.

उदाहरण प्रश्न १: फलनांचे निर्धारण

X = {a, b, c, d} आणि Y = {1, 2, 3, 4} हे संच दिले असता, खालीलप्रमाणे परिभाषित केलेला संबंध एक फलन आहे का?
– R = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)}

चर्चा:

चला, X संचातील प्रत्येक घटक तपासूया:
– 'a' ची जोडी '1' सोबत आहे
– 'b' ची जोडी '2' सोबत आहे
– 'c' ची '3' सोबत जोडी
– 'd' ची '4' सोबत जोडी

संच X मधील प्रत्येक घटकाची संच Y मधील नेमक्या एकाच घटकाशी जोडी असल्यामुळे, संबंध R हे एक फलन आहे.

उदाहरण प्रश्न २: फंक्शन्स किंवा नॉन-फंक्शन्स ओळखणे

P = {u, v, w} हा संच आणि Q = {5, 6, 7} हा संच दिला आहे. खालील संबंध एक फलन आहे की नाही ते ठरवा:
– S = {(u, 5), (v, 6), (u, 7)}

चर्चा:

चला, संच P मधील प्रत्येक घटकाचे परीक्षण करूया:
– 'u' ची '5' सोबत जोडी
– 'v' ची '6' सोबत जोडी
– 'u' ची जोडी '7' सोबत सुद्धा जमते

संच P मधील घटक 'u' हा संच Q मधील एकापेक्षा जास्त घटकांसोबत जोडलेला असल्यामुळे, संबंध S हे फलन नाही.

उदाहरण प्रश्न ३: आलेखांवरून फलने काढणे

निर्देशक प्रतलावर दिलेल्या संबंधाच्या आलेखावरून, तो फलन आहे की नाही हे ठरवा. आलेखात खालील बिंदू दर्शविले आहेत:
– (५, १०)
– (५, १०)
– (५, १०)
– (५, १०)
– (५, १०)

चर्चा:

आलेखावरील प्रत्येक बिंदूला (x, y) या स्वरूपाची एक जोडी असते, ज्याचा अर्थ असा आहे की x च्या प्रत्येक दिलेल्या मूल्याशी y चे नेमके एकच मूल्य संबंधित असते. प्रांतातील प्रत्येक घटकाची सहप्रांतातील नेमक्या एकाच घटकाशी जोडी असल्यामुळे, दिलेला आलेख हा एका फलनाचा आलेख आहे.

उदाहरण समस्या ४: समीकरण स्वरूपातील फंक्शन्स

जर डोमेन सर्व वास्तव संख्या असतील, तर समीकरण y = x² हे एक फलन आहे की नाही हे ठरवा.

चर्चा:

आपल्याला हे तपासायचे आहे की डोमेनमधील प्रत्येक x-मूल्याशी एक आणि फक्त एकच y-मूल्य संबंधित आहे की नाही. काही x-मूल्ये प्रतिस्थापित करा:
– जर x = 1, तर y = 1² = 1
– जर x = 2, तर y = 2² = 4
– जर x = -1, तर y = (-1)² = 1
असे दिसून येते की x च्या प्रत्येक निवडलेल्या मूल्यासाठी, y चे फक्त एकच संबंधित मूल्य असते. म्हणून, y = x² हे एक फलन आहे.

उदाहरण प्रश्न ५: व्यस्त फलनांसहित फलन

f: x → x + 3 या समीकरणाने f(x) हे फलन परिभाषित केले आहे. या फलनाचे व्यस्त फलन अस्तित्वात असल्यास ते शोधा.

चर्चा:

जर f: x → x + 3 असेल, तर आपल्याला एक असे फलन g शोधायचे आहे की f(g(x)) = x आणि g(f(x)) = x असेल. खालील समीकरणापासून सुरुवात करूया:
– y = x + 3
व्यस्त शोधण्यासाठी, आपण x वेगळा करतो:
– x = y – 3
म्हणून, व्यस्त फलन g(y) = y – 3 आहे.
म्हणून, f(x) = x + 3 या फलनाचा व्यस्त f⁻¹(x) = x – 3 आहे.

निष्कर्ष

वरील चर्चेतून, आपण फलन आणि अ-फंक्शन यांच्याशी संबंधित समस्यांची अनेक उदाहरणे त्यांच्या स्पष्टीकरणांसह पाहिली आहेत. फलनाची संकल्पना आपल्याला शिकवते की प्रांत संचातील प्रत्येक घटकाची सहप्रांत संचातील नेमक्या एकाच घटकाशी जोडी असली पाहिजे. आलेख आणि समीकरणांवरून फलन ओळखणे हे देखील एखाद्या संबंधाचे स्वरूप निश्चित करण्यासाठी एक उपयुक्त तंत्र आहे. या प्रकारच्या समस्यांचा सराव केल्याने, आपण फलन आणि अ-फंक्शन यांच्या मूलभूत संकल्पनांशी अधिक परिचित होऊ आणि त्या अधिक चांगल्या प्रकारे समजू, ज्या बीजगणित आणि इतर गणितीय विश्लेषणाचा आवश्यक पाया आहेत.