द्विपद वितरणाचे उदाहरण प्रश्न आणि चर्चा
द्विपद वितरण हे सर्वात जास्त वापरल्या जाणाऱ्या असतत संभाव्यता वितरणांपैकी एक आहे. अनेक एकसारख्या, स्वतंत्र प्रयत्नांमधील यशांची संख्या मॉडेल करण्यासाठी हे उपयुक्त आहे, ज्यापैकी प्रत्येक प्रयत्नात यश किंवा अपयश येते. या लेखात, आपण अनेक उदाहरणे आणि सविस्तर चर्चेद्वारे द्विपद वितरणाचा अधिक सखोल अभ्यास करणार आहोत.
द्विपदी वितरणाचा परिचय
द्विपदी वितरणाची मुख्य वैशिष्ट्ये:
1. n : प्रयत्नांची किंवा पुनरावृत्तींची संख्या.
२. p : प्रत्येक प्रयत्नात यश मिळण्याची संभाव्यता.
3. q = 1-p : प्रत्येक प्रयत्नात अयशस्वी होण्याची संभाव्यता.
द्विपद वितरणाचे संभाव्यता वस्तुमान फलन खालीलप्रमाणे आहे:
\[ P(X = k) = {n \choose k} p^k (1-p)^{nk} \]
di mana:
– \( {n \choose k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \)
– \( X \): यशांची संख्या दर्शवणारा एक यादृच्छिक चल.
– \( k \): अपेक्षित यशांची संख्या.
नमुना प्रश्न आणि चर्चा
द्विपद वितरणाची संकल्पना अधिक सखोलपणे समजून घेण्यासाठी, आपण काही उदाहरणांच्या समस्यांपासून सुरुवात करूया.
उदाहरण १: विद्यार्थ्यांच्या गटातून निवड करणे
उदाहरणार्थ, समजा आपल्याकडे 10 विद्यार्थ्यांचा एक गट आहे आणि प्रत्येक विद्यार्थ्याची स्पर्धेत भाग घेण्यासाठी निवड होण्याची संभाव्यता 0,3 आहे. आपल्याला नेमके 4 विद्यार्थी निवडले जाण्याची संभाव्यता जाणून घ्यायची आहे.
पायरी १: द्विपद वितरणाचे मापदंड ओळखा.
– \( n = 10 \)
– \( p = 0.3 \)
पायरी २: द्विपद वितरणाचा वापर करून \( X = 4 \) ची संभाव्यता काढा.
\[ P(X = 4) = {10 \choose 4} (0.3)^4 (0.7)^6 \]
\( {10 \choose 4} \) ची गणना करणे:
\[ {10 \choose 4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = 210 \]
आता \( (0.3)^4 \) आणि \( (0.7)^6 \) यांची गणना करा:
\[ (0.3)^4 = 0.0081 \]
\[ (0.7)^6 = 0.117649 \]
तर,
\[ P(X = 4) = 210 \cdot 0.0081 \cdot 0.117649 \approx 0.20012 \]
म्हणून, नेमके ४ विद्यार्थी निवडले जाण्याची संभाव्यता अंदाजे ०.२००१२ किंवा २०.०१२% आहे.
उदाहरण २: संभाव्यता २ पेक्षा कमी किंवा समान
आता, उदाहरणार्थ, आपल्याला 2 किंवा त्यापेक्षा कमी विद्यार्थी निवडले जाण्याची संभाव्यता विचारली आहे.
पायरी १: आपल्याला \( P(X = 0) \), \( P(X = 1) \), आणि \( P(X = 2) \) यांची गणना करावी लागेल.
– \( P(X = 0) \) साठी:
\[ P(X = 0) = {10 \choose 0} (0.3)^0 (0.7)^{10} \]
\[ {10 \choose 0} = 1 \]
\[ (0.7)^{10} = 0.0282475 \]
\[ P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot 0.0282475 = 0.0282475 \]
– \( P(X = 1) \) साठी:
\[ P(X = 1) = {10 \choose 1} (0.3)^1 (0.7)^9 \]
\[ {10 \choose 1} = 10 \]
\[ (0.3) \cdot (0.7)^9 = 0.1210608 \]
\[ P(X = 1) = 10 \cdot 0.3 \cdot 0.1210608 = 0.3631824 \]
– \( P(X = 2) \) साठी:
\[ P(X = 2) = {10 \choose 2} (0.3)^2 (0.7)^8 \]
\[ {10 \choose 2} = 45 \]
\[ (0.3)^2 \cdot (0.7)^8 = 0.2334744 \]
\[ P(X = 2) = 45 \cdot 0.09 \cdot 0.2334744 = 0.2334744 \]
पायरी २: संभाव्यतांची बेरीज करा.
\[ P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \]
\[ P(X \leq 2) = 0.0282475 + 0.3631824 + 0.3826372 = 0.7740671 \]
म्हणून, 2 किंवा त्यापेक्षा कमी विद्यार्थी निवडले जाण्याची संभाव्यता अंदाजे 0.7740671 किंवा 77.41% आहे.
उदाहरण ३: किमान ८ असण्याची संभाव्यता
जर एखादा प्रयोग 12 वेळा केला गेला आणि प्रत्येक प्रयत्नात यश मिळण्याची संभाव्यता 0.5 असेल, तर किमान 8 वेळा यश मिळण्याची संभाव्यता काय आहे?
पायरी १ : द्विपदी मापदंड निश्चित करा: \( n = 12, p = 0.5 \).
पायरी २ : \( X \geq 8 \) असण्याची संभाव्यता शोधा.
यासाठी अनेक स्वतंत्र संभाव्यतांची गणना करून त्यांची बेरीज करणे आवश्यक आहे:
\[ P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) \]
एक एक करून मोजा:
– \( P(X = 8) \) साठी:
\[ P(X = 8) = {12 \choose 8} (0.5)^8 (0.5)^4 \]
\[ {12 \choose 8} = 495 \]
\[ (0.5)^{12} = 0.0002441406 \]
\[ P(X = 8) = 495 \cdot 0.0002441406 = 0.1208496 \]
– \( P(X = 9) \) साठी:
\[ P(X = 9) = {12 \choose 9} (0.5)^9 (0.5)^3 \]
\[ {12 \choose 9} = 220 \]
\[ P(X = 9) = 220 \cdot 0.0002441406 = 0.05371094 \]
– \( P(X = 10) \) साठी:
\[ P(X = 10) = {12 \choose 10} (0.5)^{10} (0.5)^2 \]
\[ {12 \choose 10} = 66 \]
\[ P(X = 10) = 66 \cdot 0.0002441406 = 0.01611328 \]
– \( P(X = 11) \) साठी:
\[ P(X = 11) = {12 \choose 11} (0.5)^{11} (0.5)^1 \]
\[ {12 \choose 11} = 12 \]
\[ P(X = 11) = 12 \cdot 0.0002441406 = 0.002929688 \]
– \( P(X = 12) \) साठी:
\[ P(X = 12) = {12 \choose 12} (0.5)^{12} \]
\[ {12 \choose 12} = 1 \]
\[ P(X = 12) = 1 \cdot 0.0002441406 = 0.0002441406 \]
पायरी ३: सर्व संभाव्यतांची बेरीज करा.
\[ P(X \geq 8) = 0.1208496 + 0.05371094 + 0.01611328 + 0.002929688 + 0.0002441406 \approx 0.1938477 \]
म्हणून, 12 प्रयत्नांमध्ये किमान 8 यश मिळण्याची संभाव्यता अंदाजे 0.1938477 किंवा 19.38% आहे.
निष्कर्ष
द्विपद वितरण ही सांख्यिकीमधील एक मूलभूत संकल्पना आहे, जी अनेक व्यावहारिक उपयोगांमध्ये अत्यंत महत्त्वाची आहे. वर दिलेल्या उदाहरणांमध्ये दाखवल्याप्रमाणे, द्विपद वितरणाच्या विविध प्रकरणांसाठी संभाव्यता कशी मोजावी हे समजून घेतल्याने, आपण ही संकल्पना वास्तविक जीवनातील परिस्थितींमध्ये लागू करू शकतो. या सरावामुळे संभाव्यता संरचना कशा कार्य करतात याबद्दलची आपली समज एका स्पष्ट आणि संघटित संदर्भात अधिक दृढ होते.
