अनुक्रम आणि श्रेणींवर चर्चा करणारे उदाहरण प्रश्न
अनुक्रम आणि श्रेढी या गणितातील मूलभूत संकल्पना आहेत, ज्या प्राथमिक शाळेपासून ते महाविद्यालयापर्यंत वारंवार आढळतात. अनुक्रम म्हणजे एका विशिष्ट नियमानुसार मांडलेल्या संख्यांचा संग्रह, तर श्रेढी म्हणजे त्या अनुक्रमातील पदांची बेरीज होय. या लेखात, आपण अनेक उदाहरणे पाहणार आहोत आणि अनुक्रम व श्रेढी यांवर चर्चा करणार आहोत.
उदाहरण १: अंकगणितीय क्रम
प्रश्न:
एक अंकगणितीय क्रम दिला आहे ज्याचे पहिले पद (a) = 3 आणि वजाबाकी (d) = 5 आहे. खालील गोष्टी निश्चित करा:
१. अनुक्रमाचे १० वे पद.
२. अनुक्रमाच्या पहिल्या २० पदांची बेरीज.
चर्चा:
१. पाचवे सत्र
अंकगणितीय श्रेढीच्या n व्या पदाचे सूत्र खालीलप्रमाणे आहे:
\[
U_n = a + (n-1)d
\]
दहाव्या पदासाठी (U_10):
\[
U_{10} = 3 + (10-1) \cdot 5 = 3 + 45 = 48
\]
२. पहिल्या ८ पदांची बेरीज
अंकगणितीय क्रमाच्या पहिल्या n पदांच्या बेरजेचे (S_n) सूत्र खालीलप्रमाणे आहे:
\[
S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d)
\]
पहिल्या २० पदांच्या बेरजेसाठी (S_20):
\[
S_{20} = \frac{20}{2} (2 \cdot 3 + (20-1) \cdot 5) = 10 (6 + 95) = 10 \cdot 101 = 1010
\]
उदाहरण २: भूमितीय श्रेणी
प्रश्न:
एका भूमितीय क्रमाचे पहिले पद (a) = 4 आणि गुणोत्तर (r) = 2 दिले आहे. खालील गोष्टी निश्चित करा:
१. अनुक्रमाचे १० वे पद.
२. अनुक्रमाच्या पहिल्या २० पदांची बेरीज.
चर्चा:
१. पाचवे सत्र
भूमितीय श्रेणीच्या n व्या पदाचे सूत्र खालीलप्रमाणे आहे:
\[
U_n = a \cdot r^{(n-1)}
\]
दहाव्या पदासाठी (U_6):
\[
U_{6} = 4 \cdot 2^{(6-1)} = 4 \cdot 2^5 = 4 \cdot 32 = 128
\]
२. पहिल्या ८ पदांची बेरीज
भूमितीय क्रमाच्या पहिल्या n पदांच्या बेरजेचे (S_n) सूत्र खालीलप्रमाणे आहे:
\[
S_n = a \frac{r^n – 1}{r – 1}
\]
पहिल्या २० पदांच्या बेरजेसाठी (S_8):
\[
S_{8} = 4 \frac{2^8 – 1}{2 – 1} = 4 \frac{256 – 1}{1} = 4 \cdot 255 = 1020
\]
उदाहरण ३: अभिसारी भूमितीय अनंत श्रेणी
प्रश्न:
एक भूमितीय श्रेणी दिली आहे जिचे पहिले पद (a) = 1 आणि गुणोत्तर (r) = 1/2 आहे. अनंत श्रेणीची बेरीज निश्चित करा.
चर्चा:
अभिसारी भूमितीय श्रेणीच्या अनंत श्रेणीच्या (S_∞) बेरजेचे सूत्र खालीलप्रमाणे आहे:
\[
S_{\infty} = \frac{a}{1 – r}
\]
तर या मालिकेसाठी:
\[
S_{\infty} = \frac{1}{1 – \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2
\]
उदाहरण ४: वर्ग संख्यांचे अनुक्रम आणि श्रेणी
प्रश्न:
वर्ग संख्यांची एक क्रमिका दिली आहे, जिचे पहिले पद (U_1) = 1, दुसरे पद (U_2) = 4 आणि तिसरे पद (U_3) = 9 आहे. या क्रमिकेचे ५ वे पद निश्चित करा. ही क्रमिका अंकगणितीय आहे की भूमितीय? स्पष्ट करा.
चर्चा:
१. पाचवे सत्र
वर्ग संख्यांच्या क्रमाचा आकृतिबंध असा असतो:
\[
U_n = n^2
\]
दहाव्या पदासाठी (U_5):
\[
U_{5} = 5^2 = 25
\]
२. रेषेचा प्रकार
ही क्रमावली अंकगणितीय आहे की भूमितीय, हे तपासण्यासाठी पदांमधील फरक (सामान्य फरक) आणि पदांमधील गुणोत्तर तपासा.
– पदांमधील फरक (d):
\[
U_2 – U_1 = 4 – 1 = 3 \\
U_3 – U_2 = 9 – 4 = 5
\]
फरक स्थिर नसल्यामुळे, ही अनुक्रम अंकगणितीय नाही.
– आंतर-जमाती गुणोत्तर (r):
\[
\frac{U_2}{U_1} = \frac{4}{1} = 4 \\
\frac{U_3}{U_2} = \frac{9}{4} = 2.25
\]
पदांमधील गुणोत्तर स्थिर नसल्यामुळे, ही अनुक्रम भूमितीय नाही.
म्हणून, वर्ग संख्यांची ही क्रमवार मालिका अंकगणितीय किंवा भूमितीय क्रमवार नाही, तर ती वर्ग संख्यांच्या आकृतिबंधाचे अनुसरण करणारी एक विशेष क्रमवार मालिका आहे.
उदाहरण ५: अनंत अंकगणितीय श्रेणी
प्रश्न:
अनंत अंकगणितीय श्रेणीची बेरीज काढणे शक्य आहे का? असल्यास, एक उदाहरण द्या. नसल्यास, त्याचे कारण स्पष्ट करा.
चर्चा:
भूमितीय श्रेणींच्या विपरीत, अनंत अंकगणितीय श्रेणींची बेरीज सामान्यतः मर्यादित नसते. याचे कारण असे की, प्रत्येक पद रेषीय पद्धतीने वाढते किंवा कमी होते, त्यामुळे बेरीज अनिश्चित काळासाठी वाढतच राहते.
उदाहरणार्थ, पहिले पद १ आणि सामान्य फरक १ असलेली एक अनंत अंकगणितीय श्रेणी विचारात घ्या:
\[
१ + २ + ३ + ४ + ...
\]
जर आपण त्यांची बेरीज करण्याचा प्रयत्न केला, तर हे स्पष्ट होते की श्रेणी एका निश्चित मूल्याकडे अभिसरण करणार नाही, तर अनंताकडे जाईल. म्हणून, अनंत अंकगणितीय श्रेणीची बेरीज सर्वसाधारणपणे अनंत असते आणि तिची गणना अभिसारी भूमितीय श्रेणीप्रमाणे करता येत नाही.
-
या लेखात, आम्ही अनेक उदाहरणे पाहिली आहेत आणि अनुक्रम व श्रेणींवर चर्चा केली आहे. आपण अंकगणितीय आणि भूमितीय अनुक्रमांची उजळणी केली आहे, n वे पद आणि त्यांच्या पहिल्या पदांची बेरीज कशी काढावी हे पाहिले आहे, आणि अनंत श्रेणींबद्दलच्या प्रश्नांची उत्तरे दिली आहेत. या मूलभूत संकल्पना आणि उदाहरणे समजून घेतल्याने, गणितातील अनुक्रम आणि श्रेणी हाताळताना तुम्हाला अधिक आत्मविश्वास वाटेल, अशी आम्हाला आशा आहे.
