परस्पर अनन्य नसलेल्या दोन घटना A आणि B यांच्या बेरजेच्या नियमावर चर्चा करणारे उदाहरणादाखल प्रश्न.
पेंडाहुलुआन
संभाव्यता क्षेत्रात, मूलभूत संकल्पना आणि त्यांचे उपयोजन समजून घेणे अत्यंत महत्त्वाचे आहे. वारंवार समोर येणारी एक संकल्पना म्हणजे संभाव्यतेच्या बेरजेचा नियम. या लेखात, आपण दोन परस्पर-अनन्य नसलेल्या घटनांसाठीच्या बेरजेच्या नियमाचा अधिक सखोल अभ्यास करणार आहोत. परस्पर-अनन्य नसलेल्या घटना तेव्हा घडतात, जेव्हा दोन घटनांमध्ये एक समान संभाव्य घटक असतो, किंवा दुसऱ्या शब्दांत सांगायचे झाल्यास, दोन्ही घटना एकाच वेळी घडू शकतात. समजण्यास सोपे जावे म्हणून, आपण एक उदाहरण आणि त्याचे स्पष्टीकरण पाहूया.
मूलभूत सिद्धांत
जर आपल्याकडे A आणि B या दोन घटना असतील ज्या परस्पर अनन्य नाहीत, तर घटना A किंवा B ची संभाव्यता मोजण्याचा बेरीज नियम खालीलप्रमाणे मांडता येतो:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \]
येथे:
– \( P(A \cup B) \) ही A किंवा B (किंवा दोन्ही) घडण्याची संभाव्यता आहे.
– \( P(A) \) ही घटना A घडण्याची संभाव्यता आहे.
– \( P(B) \) ही घटना B घडण्याची संभाव्यता आहे.
– \( P(A \cap B) \) ही A आणि B एकाच वेळी घडण्याची संभाव्यता आहे.
समस्यांचे उदाहरण
प्रश्न १: एका शाळेत, ७०% विद्यार्थ्यांना सॉकर (घटना A) खेळायला आवडते, ४०% विद्यार्थ्यांना बास्केटबॉल (घटना B) खेळायला आवडते आणि २०% विद्यार्थ्यांना दोन्ही खेळ खेळायला आवडतात. एखाद्या विद्यार्थ्याला सॉकर किंवा बास्केटबॉल खेळायला आवडण्याची संभाव्यता काय आहे?
चर्चा:
हे ज्ञात आहे:
– \( P(A) = 0.70 \)
– \( P(B) = 0.40 \)
– \( P(A \cap B) = 0.20 \)
दोन परस्पर अनन्य घटनांची बेरीज करण्याच्या नियमाचा वापर करून:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \]
\[ P(A \cup B) = 0.70 + 0.40 – 0.20 \]
\[ P(A \cup B) = 0.90 \]
म्हणून, एखाद्या विद्यार्थ्याला फुटबॉल किंवा बास्केटबॉल खेळायला आवडण्याची शक्यता 0.90 किंवा 90% आहे.
प्रश्न २: एका सर्वेक्षणात, ३५% प्रतिसादकांना कॉफी आवडते (घटना A), ५०% प्रतिसादकांना चहा आवडतो (घटना B), आणि १०% प्रतिसादकांना दोन्ही आवडतात. एखाद्या प्रतिसादकाला कॉफी किंवा चहा आवडण्याची संभाव्यता काय आहे?
चर्चा:
हे ज्ञात आहे:
– \( P(A) = 0.35 \)
– \( P(B) = 0.50 \)
– \( P(A \cap B) = 0.10 \)
दोन परस्पर अनन्य घटनांची बेरीज करण्याच्या नियमाचा वापर करून:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \]
\[ P(A \cup B) = 0.35 + 0.50 – 0.10 \]
\[ P(A \cup B) = 0.75 \]
म्हणून, प्रतिसादकर्त्याला कॉफी किंवा चहा आवडण्याची शक्यता 0.75 किंवा 75% आहे.
प्रश्न ३: सांख्यिकीय माहितीनुसार, असे ज्ञात आहे की ६०% लोकांना पुस्तके वाचायला आवडतात (घटना A), ३०% लोकांना चित्रपट पाहायला आवडतात (घटना B), आणि १५% लोकांना दोन्ही करायला आवडतात. एखाद्या व्यक्तीला पुस्तके वाचायला किंवा चित्रपट पाहायला आवडण्याची संभाव्यता काय आहे?
चर्चा:
हे ज्ञात आहे:
– \( P(A) = 0.60 \)
– \( P(B) = 0.30 \)
– \( P(A \cap B) = 0.15 \)
दोन परस्पर अनन्य घटनांची बेरीज करण्याच्या नियमाचा वापर करून:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \]
\[ P(A \cup B) = 0.60 + 0.30 – 0.15 \]
\[ P(A \cup B) = 0.75 \]
म्हणून, एखाद्या व्यक्तीला पुस्तके वाचायला किंवा चित्रपट पाहायला आवडण्याची शक्यता 0.75 किंवा 75% आहे.
प्रश्न ४: एका रेस्टॉरंटमधील सर्वेक्षणातून असे दिसून आले की, ५५% ग्राहकांनी पिझ्झा (घटना A), ३५% ग्राहकांनी पास्ता (घटना B) आणि २०% ग्राहकांनी दोन्ही मागवले. ग्राहकाने पिझ्झा किंवा पास्ता यांपैकी एक मागवण्याची संभाव्यता काय आहे?
चर्चा:
हे ज्ञात आहे:
– \( P(A) = 0.55 \)
– \( P(B) = 0.35 \)
– \( P(A \cap B) = 0.20 \)
दोन परस्पर अनन्य घटनांची बेरीज करण्याच्या नियमाचा वापर करून:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \]
\[ P(A \cup B) = 0.55 + 0.35 – 0.20 \]
\[ P(A \cup B) = 0.70 \]
म्हणून, ग्राहकाने पिझ्झा किंवा पास्ता ऑर्डर करण्याची शक्यता 0.70 किंवा 70% आहे.
निष्कर्ष
संभाव्यतेचा अभ्यास करताना, दोन परस्पर-अनन्य नसलेल्या घटना A आणि B यांच्या बेरजेचा नियम, एक किंवा दोन्ही घटना एकाच वेळी घडण्याची संभाव्यता निश्चित करण्यासाठी खूप महत्त्वाचा आहे. \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \) या सूत्राचा वापर करून, ज्या दोन घटनांमध्ये छेद किंवा सामायिक घटक असतो, त्यांची संयुक्त संभाव्यता मोजणे सोपे होते.
वरील उदाहरणांवरून आपल्याला दिसून येते की, या गणनेच्या मूलभूत पायऱ्या समजून घेतल्यास, शिक्षण, सर्वेक्षण किंवा दैनंदिन जीवन अशा विविध परिस्थितींमध्ये त्याचा उपयोग करता येतो. कोणत्या घटनांमध्ये समान घटक आहेत हे ओळखण्यात स्पष्टता आणि अचूकता असणे, संभाव्यतेची अचूक गणना करण्यासाठी अत्यंत महत्त्वाचे आहे. त्यामुळे, सातत्यपूर्ण सराव आणि मूलभूत संकल्पनांचे आकलन या विषयावर प्रभुत्व मिळवण्यासाठी खूप मदत करेल.
