दोन अनन्य घटना A आणि B यांची बेरीज करण्याच्या नियमावर चर्चा करणारे उदाहरणादाखल प्रश्न
संभाव्यता सिद्धांतामध्ये, अनेक घटनांची संभाव्यता मोजण्यासाठी वापरल्या जाणाऱ्या मूलभूत तत्त्वांपैकी एक म्हणजे दोन घटनांच्या बेरजेचा नियम. विशिष्ट घटनांचे संभाव्य परिणाम समजून घेण्यासाठी ही संकल्पना अनेकदा विविध परिस्थितींमध्ये लागू केली जाते. या लेखात, आपण दोन परस्पर अनन्य घटनांच्या बेरजेच्या नियमावर चर्चा करणार आहोत आणि ही संकल्पना स्पष्ट करण्यासाठी उदाहरणे देणार आहोत.
दोन परस्पर अनन्य घटनांच्या बेरजेचा नियम
सर्वप्रथम, परस्पर अनन्य घटना म्हणजे काय हे समजून घेणे महत्त्वाचे आहे. दोन घटनांना विसंयुक्त किंवा परस्पर अनन्य म्हटले जाते, जर त्या एकाच वेळी घडू शकत नसतील. दुसऱ्या शब्दांत सांगायचे झाल्यास, एका घटनेच्या संचातील कोणताही घटक दुसऱ्या घटनेच्या संचामध्येही नसतो.
संभाव्यतेमधील बेरीज नियमानुसार, जर दोन घटना \(A\) आणि \(B\) परस्पर अनन्य असतील, तर घटना \(A\) किंवा \(B\) घडण्याची संभाव्यता ही त्या दोन घटनांच्या संभाव्यतेची बेरीज असते. गणितानुसार, हा नियम खालीलप्रमाणे मांडता येतो:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \]
येथे \(P(A \cup B)\) ही \(A\) किंवा \(B\) ची संभाव्यता आहे, \(P(A)\) ही घटना \(A\) ची संभाव्यता आहे आणि \(P(B)\) ही घटना \(B\) ची संभाव्यता आहे.
चर्चेसाठी नमुना प्रश्न
दोन परस्पर अनन्य घटनांची बेरीज करण्याच्या नियमाचा वापर स्पष्ट करण्यासाठी आपण काही उदाहरणांवर चर्चा करूया.
उदाहरण प्रश्न १
प्रश्न:
सहा बाजू असलेला एक फासा एकदा फेकला जातो. येणारा अंक २ किंवा ४ असण्याची संभाव्यता काढा.
चर्चा:
आपण घटना \(A\) म्हणजे 2 या मूल्याची उपस्थिती, आणि घटना \(B\) म्हणजे 4 या मूल्याची उपस्थिती अशी व्याख्या करू शकतो. अशाप्रकारे:
– \(P(A)\) ही 2 ही किंमत येण्याची संभाव्यता आहे.
– \(P(B)\) ही 4 ही किंमत येण्याची संभाव्यता आहे.
एका फाशाला सहा समान संभाव्य बाजू असल्यामुळे, विशिष्ट अंक येण्याची संभाव्यता \( \frac{1}{6} \) आहे. म्हणून:
\[ P(A) = \frac{1}{6} \]
\[ P(B) = \frac{1}{6} \]
घटना \(A\) आणि \(B\) परस्पर अनन्य आहेत कारण फासा टाकल्यावर 2 आणि 4 ही मूल्ये एकाच वेळी येऊ शकत नाहीत. म्हणून, दोन परस्पर अनन्य घटनांसाठी बेरजेचा नियम वापरून:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
म्हणून, 2 किंवा 4 ही संख्या येण्याची शक्यता \( \frac{1}{3} \) किंवा सुमारे 33.33% आहे.
उदाहरण प्रश्न १
प्रश्न:
एका पिशवीत १० चेंडू आहेत, ज्यात ४ लाल आणि ६ निळे चेंडू आहेत. जर आपण त्यातून यादृच्छिकपणे एक चेंडू निवडला, तर काढलेला चेंडू लाल किंवा निळा असण्याची संभाव्यता काय आहे?
चर्चा:
आपण लाल चेंडू घेणे ही घटना \(A\) आणि निळा चेंडू घेणे ही घटना \(B\) अशी परिभाषित करू शकतो. अशाप्रकारे:
– \(P(A)\) ही लाल चेंडू निवडण्याची संभाव्यता आहे.
– \(P(B)\) ही निळा चेंडू निवडण्याची संभाव्यता आहे.
प्रत्येक घटनेची संभाव्यता खालीलप्रमाणे मोजता येते:
\[ P(A) = \frac{\text{लाल चेंडूंची संख्या}}{\text{एकूण चेंडूंची संख्या}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \]
\[ P(B) = \frac{\text{निळ्या चेंडूंची संख्या}}{\text{एकूण चेंडूंची संख्या}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]
घटना \(A\) आणि \(B\) परस्पर अनन्य आहेत कारण एक चेंडू एकाच वेळी लाल आणि निळा असू शकत नाही. म्हणून, दोन परस्पर अनन्य घटनांसाठी बेरीज नियम वापरून:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{2}{5} + \frac{3}{5} = 1 \]
म्हणून, काढलेला चेंडू लाल किंवा निळा असण्याची शक्यता १, म्हणजेच १००% आहे. हे तर्कसंगत आहे, कारण पिशवीतील सर्व चेंडू एकतर लाल किंवा निळे असतात.
उदाहरण प्रश्न १
प्रश्न:
२० विद्यार्थ्यांच्या वर्गात, ७ जणांना गणित, ५ जणांना विज्ञान आवडते आणि कोणालाही दोन्ही आवडत नाहीत. जर यादृच्छिकपणे एका विद्यार्थ्याची निवड केली, तर त्या विद्यार्थ्याला गणित किंवा विज्ञान आवडण्याची संभाव्यता शोधा.
चर्चा:
आपण घटना \(A\) म्हणजे गणित आवडणे, आणि घटना \(B\) म्हणजे विज्ञान आवडणे असे परिभाषित करू शकतो. म्हणून:
– \(P(A)\) ही विद्यार्थ्याला गणित आवडण्याची संभाव्यता आहे.
– \(P(B)\) ही विद्यार्थ्याला विज्ञान आवडण्याची संभाव्यता आहे.
प्रत्येक घटनेची संभाव्यता खालीलप्रमाणे मोजता येते:
\[ P(A) = \frac{\text{गणित आवडणाऱ्या विद्यार्थ्यांची संख्या}}{\text{एकूण विद्यार्थ्यांची संख्या}} = \frac{7}{20} \]
\[ P(B) = \frac{\text{विज्ञान आवडणाऱ्या विद्यार्थ्यांची संख्या}}{\text{एकूण विद्यार्थ्यांची संख्या}} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \]
घटना \(A\) आणि \(B\) परस्पर अनन्य आहेत कारण कोणत्याही विद्यार्थ्याला त्या दोन्ही आवडत नाहीत. म्हणून, दोन परस्पर अनन्य घटनांसाठी बेरीज नियम वापरून:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{7}{20} + \frac{5}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} \]
म्हणून, यादृच्छिकपणे निवडलेल्या विद्यार्थ्याला गणित किंवा विज्ञान आवडण्याची शक्यता \( \frac{3}{5} \) किंवा 60% आहे.
निष्कर्ष
दोन परस्पर अनन्य घटनांचा बेरीज नियम ही संभाव्यता सिद्धांतातील एक मूलभूत संकल्पना आहे, जी संयुक्त घटनेच्या संभाव्यतेची गणना सुलभ करते. वरील उदाहरणांमध्ये आपण पाहिले आहे की, हे तत्त्व फासे फेकणे, पिशवीतून चेंडू काढणे किंवा वर्गातून विद्यार्थी निवडणे यांसारख्या वास्तविक जीवनातील परिस्थितींमध्ये लागू केले जाऊ शकते. ही संकल्पना समजून घेऊन आणि त्यावर प्रभुत्व मिळवून, आपण दैनंदिन जीवनातील विविध परस्पर अनन्य घटनांच्या संभाव्यतेची अधिक प्रभावीपणे गणना करू शकतो.
