रिकाम्या जागा भरण्याच्या नियमांवर चर्चा करणारे नमुना प्रश्न
स्थान-भरणाचा नियम, किंवा मांडणीचा नियम, ही गणित आणि संभाव्यता यांमधील एक मूलभूत संकल्पना आहे जी अनेक परिस्थितींमध्ये खूप उपयुक्त ठरते. हा नियम सामान्यतः वस्तूंची विशिष्ट क्रमाने किंवा वेगवेगळ्या मांडणीत रचना करण्याच्या संदर्भात वापरला जातो. या लेखात, आपण स्थान-भरणाच्या नियमाशी संबंधित अनेक उदाहरणांवर चर्चा करणार आहोत आणि त्या प्रत्येकाची सविस्तर उत्तरे देणार आहोत.
पेंडाहुलुआन
अवकाश-भरण हे संयोजनशास्त्रामध्ये वापरले जाणारे एक सामान्य तंत्र आहे. संयोजनशास्त्र हे गणिताचे एक असे क्षेत्र आहे जे वस्तूंची मांडणी, संयोजन आणि निवड यांचा अभ्यास करते. संयोजनशास्त्राच्या मूलभूत तत्त्वांपैकी एक म्हणजे गुणाकाराचा नियम. या नियमानुसार, जर एखाद्या प्रक्रियेत अनेक टप्पे असतील आणि प्रत्येक टप्प्यात निवडींची एक निश्चित संख्या असेल, तर प्रत्येक टप्प्यातील निवडींच्या संख्येचा गुणाकार करून संभाव्य मांडण्यांची एकूण संख्या शोधता येते.
उदाहरणार्थ, जर आपल्याकडे दोन टप्पे असतील जिथे पहिल्या टप्प्यात \(m\) पर्याय आहेत आणि दुसऱ्या टप्प्यात \(n\) पर्याय आहेत, तर संभाव्य मांडण्यांची एकूण संख्या \(m \times n\) आहे.
चला, ही संकल्पना वापरून काही उदाहरणे सोडवूया.
उदाहरण १: शेल्फवर पुस्तकांची मांडणी करणे
प्रश्न:
५ वेगवेगळी पुस्तके आहेत आणि एक पुस्तकांचे कपाट आहे ज्यात भरण्यासाठी ५ जागा आहेत. ती पाच पुस्तके कपाटावर किती प्रकारे मांडता येतील?
चर्चा:
या प्रकरणात, आपल्याला पाच पुस्तके पाच वेगवेगळ्या जागांवर मांडायची आहेत. ही एक क्रमचय समस्या आहे, कारण यात क्रम अत्यंत महत्त्वाचा आहे. ही समस्या सोडवण्यासाठी आपण जागा भरण्याचा नियम किंवा गुणाकाराचा नियम वापरू शकतो.
पहिल्या खोलीसाठी आमच्याकडे ५ पुस्तकांचे पर्याय आहेत.
२. पहिल्या खोलीत एक पुस्तक ठेवल्यानंतर, दुसऱ्या खोलीसाठी आपल्याकडे पुस्तकांचे ४ पर्याय शिल्लक राहतात.
३. तिसऱ्या खोलीसाठी, आमच्याकडे पुस्तकांचे ३ पर्याय शिल्लक आहेत, आणि असेच पुढे.
एकूण सेटिंग्सच्या संख्येसाठीचे समीकरण खालीलप्रमाणे आहे:
\[ 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5! = 120 \]
तर, पाच पुस्तकांची मांडणी करण्याचे १२० मार्ग आहेत.
उदाहरण २: वेगवेगळ्या अक्षरांपासून शब्द बनवणे
प्रश्न:
“MATHEMATICS” या शब्दातील सर्व अक्षरांचा पुनरावृत्ती न करता किती वेगवेगळे शब्द तयार करता येतील?
चर्चा:
सर्वप्रथम आपल्याला 'MATHEMATICS' या शब्दात किती अक्षरे आहेत हे पाहावे लागेल. त्यात ११ अक्षरे आहेत, त्यापैकी काही अक्षरांची पुनरावृत्ती झाली आहे. पुनरावृत्त झालेली अक्षरे खालीलप्रमाणे आहेत:
– M जास्तीत जास्त २
– तब्बल ३
– टी जास्तीत जास्त २
– इतर अक्षरे (E, I, K) प्रत्येकी एकदाच येतात.
पुनरावृत्त घटकांसाठी आपण क्रमचय सूत्र वापरतो, म्हणजेच:
\[ \frac{n!}{n_1! \times n_2! \times \ldots \times n_k!} \]
येथे \( n \) ही घटकांची (अक्षरांची) एकूण संख्या आहे आणि \( n_1, n_2, \ldots, n_k \) ही प्रत्येक वेगळ्या घटकाच्या पुनरावृत्तीची संख्या आहे.
“MATHEMATICS” या शब्दासह:
\[ n = 11, n_1 = 2 \text{ (M)}, n_2 = 3 \text{ (A)}, n_3 = 2 \text{ (T)}, n_4 = 1 \text{ (E)}, n_5 = 1 \text{ (I)}, n_6 = 1 \text{ (K)} \]
तर तयार होऊ शकणाऱ्या शब्दांची संख्या आहे:
\[ \frac{11!}{2! \times 3! \times 2! \times 1! \times 1! \times 1!} = \frac{39916800}{2 \times 6 \times 2 \times 1 \times 1 \times 1} = \frac{39916800}{24} = 1663200 \]
१,६६३,२०० वेगवेगळे शब्द तयार केले जाऊ शकतात.
उदाहरण ३: मार्टाबॅकमधील संयोगांची संख्या निश्चित करणे
प्रश्न:
एक मार्टाबाक विक्रेता पाच प्रकारचे सारण (चीज, चॉकलेट, शेंगदाणे, केळे आणि मनुका) देतो. जर एखाद्या ग्राहकाला आपल्या मार्टाबाकसाठी पाचपैकी तीन सारण निवडायचे असतील, तर तो किती वेगवेगळे संयोग निवडू शकतो?
चर्चा:
ही एक संयोजन समस्या आहे, क्रमचय नाही, कारण क्रम महत्त्वाचा नाही. आपण संयोजन सूत्र वापरतो:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(nk)!} \]
येथे \( n \) ही एकूण निवडींची संख्या आहे आणि \( k \) ही घेतलेल्या निवडींची संख्या आहे.
या प्रकरणात, \( n = 5 \) आणि \( k = 3 \), म्हणून:
\[ C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \times 2!} = \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = 10 \]
५ पर्यायांमधून ३ सामग्री निवडण्यासाठी १० वेगवेगळे संयोग आहेत.
उदाहरण ४: सामन्यातील सहभागींची मांडणी
प्रश्न:
एका धावण्याच्या शर्यतीत ८ स्पर्धक आहेत. पहिल्या ३ क्रमांकावर येणाऱ्या स्पर्धकांना किती प्रकारे स्थान देता येईल?
चर्चा:
ही पुनरावृत्ती नसलेली क्रमचय समस्या आहे, कारण यात स्थान म्हणजेच क्रम महत्त्वाचा आहे. आपण क्रमचय सूत्र वापरतो:
\[ P(n, k) = \frac{n!}{(nk)!} \]
या प्रकरणात, \( n = 8 \) आणि \( k = 3 \), तर:
\[ P(8, 3) = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = \frac{40320}{120} = 336 \]
म्हणून, 8 स्पर्धकांपैकी पहिल्या तीन स्थानांवर स्पर्धकांना ठेवण्याचे 336 मार्ग आहेत.
या लेखात, आम्ही विविध परिस्थितींमध्ये जागा भरण्याच्या नियमांचा वापर करून अनेक उदाहरणे आणि त्यांची उत्तरे दिली आहेत: जसे की कपाटात पुस्तके लावण्यापासून ते स्पर्धेचा विजेता ठरवण्यापर्यंत. ही मूलभूत तत्त्वे समजून घेतल्याने, तुम्हाला भविष्यात येणाऱ्या विविध संचयनशास्त्र आणि संभाव्यता समस्या सोडवताना अधिक आत्मविश्वास मिळेल.
