Математикийн баталгааны аргууд

### Математикийн баталгааны аргууд

Математикийн нотолгоо нь математик сэтгэлгээний тулгын чулуу бөгөөд математикийн бүхэл бүтэн салбарыг бий болгох үндэс суурь юм. Нотолгоо нь таамаглал, теорем, математикийн мэдэгдлийн зөвийг баталгаажуулахад үйлчилдэг. Төрөл бүрийн нотолгооны техникийг эзэмших нь математикчид, эрдэмтэд, инженерүүд болон нарийн аналитик сэтгэлгээнд оролцдог хэн бүхэнд зайлшгүй шаардлагатай. Энэхүү нийтлэлд математикийн нотолгооны аргуудын янз бүрийн төрлийг судалж, арга бүр нь математикийн баталгаажуулалтын салбарт хэрхэн өвөрмөц давуу талыг авчирдагийг харуулах болно.

#### 1. Шууд нотолгоо

Шууд нотолгоо нь логик алхмуудын дарааллыг ашиглан өгөгдсөн таамаглалаас шууд дүгнэлт гаргадаг энгийн арга барилаар тодорхойлогддог. Энэ аргыг хамгийн ойлгомжтой бөгөөд энгийн нотолгооны хэлбэр гэж өргөнөөр үздэг.

Жишээ нь:
Дурын хоёр тэгш тооны нийлбэр тэгш гэдгийг батлахын тулд:
1. \( a \) ба \( b \)-г хоёр тэгш тоо гэж үзье.
2. Тодорхойлолтоор бол, зарим бүхэл тоонуудын хувьд \( a = 2k \) ба \( b = 2m \) байна.
3. Нийлбэр \( a + b = 2k + 2m = 2(k + m) \).
4. \( k + m \) нь бүхэл тоо тул \( a + b \) нь тэгш байна.

#### 2. Шууд бус нотолгоо

Шууд бус нотолгоо нь ихэвчлэн зөрчилдөөнөөр нотолгоотой ижил утгатай бөгөөд батлагдах ёстой мэдэгдлийн үгүйсгэлийг авч үзэж, энэ таамаглал нь логик зөрчилдөөнд хүргэдэг болохыг харуулахыг хэлнэ. Энэ дүгнэлт нь анхны мэдэгдэл үнэн гэсэн үг юм.

Жишээ нь:
\(\sqrt{2}\) нь утгагүй гэдгийг батлахын тулд:
1. Эсрэгээр нь \(\sqrt{2}\) нь рационал гэж үзье.
2. Тэгвэл \(\sqrt{2} = \frac{p}{q}\) энд \(p \) ба \(q \) нь копеанс (өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн хамгийн их ерөнхий хуваагч нь 1) байна.
3. Хоёр талыг квадрат болгоно, \( 2 = \frac{p^2}{q^2} \), эндээс \( 2q^2 = p^2 \ ).
4. Тиймээс, \( p^2 \) нь тэгш байна, энэ нь \( p \) нь мөн тэгш байна гэсэн үг (сондгой тооны квадрат нь сондгой тул).
5. Ямар нэгэн бүхэл тоо болох \(k\)-г \(p = 2k\) гэж үзье. Тэгвэл \(2q^2 = (2k)^2 = 4k^2\), тиймээс \(q^2 = 2k^2\).
6. Энэ нь \( q^2 \) тэгш гэсэн үг бөгөөд тиймээс \( q \) тэгш байх ёстой.
7. Гэсэн хэдий ч энэ нь \( p \) ба \( q \) нь хоёулаа тэгш байдаг тул хамтын анхны гэсэн таамаглалтай зөрчилдөж байна.
8. Тиймээс \(\sqrt{2}\) нь иррационал байх ёстой.

#### 3. Ядарч туйлдсанаар нотлох

Ядралтаар нотлох буюу тохиолдлын шинжилгээ нь мэдэгдлийг хязгаарлагдмал тооны тохиолдлуудад хувааж, тохиолдол бүр үнэн болохыг нотлохыг хэлнэ. Энэ арга нь тохиолдлын тоог удирдахад хялбар цөөн үед онцгой ашигтай байдаг.

Жишээ нь:
Бүхэл тооны квадрат нь үргэлж сөрөг биш гэдгийг батал:
1. \(n\) бүхэл тоог авч үзье.
2. 1-р тохиолдол: \( n \geq 0 \). Энэ тохиолдолд, \( n^2 \geq 0 \).
3. 2-р тохиолдол: \( n < 0 \). Энд, \( n^2 = (-n)^2 \), энэ нь хэвээрээ \(\geq 0 \) байна.

Эцэст нь хэлэхэд, бүх тохиолдолд \(n^2 \) нь сөрөг биш байна. #### 4. Индукцийн аргаар баталгаажуулах Математикийн индукц нь бүхэл тооны талаарх мэдэгдлийг батлахад онцгой ач холбогдолтой хүчирхэг арга юм. Энэ нь хоёр үндсэн алхамыг агуулдаг: анхны утгын мэдэгдлийг баталгаажуулдаг суурь тохиолдол, хэрэв мэдэгдэл нь дурын бүхэл тооны хувьд \(k \) хувьд мөн хүчинтэй болохыг батлах индуктив алхам. Жишээ: \(n \geq 1 \) бүхэл тоо бүрийн хувьд эхний \(n \) эерэг бүхэл тооны нийлбэр нь \( \frac{n(n+1)}{2} \) болохыг батал: 1. Үндсэн тохиолдол: \(n = 1 \) үед зүүн тал нь \( 1 \), баруун тал нь \( \frac{1(1+1)}{2} = 1 \) байна. Үндсэн тохиолдол үнэн байна. 2. Индуктив алхам: Тухайн мэдэгдлийг ямар нэгэн бүхэл тооны хувьд \(k \) хувьд үнэн гэж үзье; өөрөөр хэлбэл, \( 1 + 2 + \cdots + k = \frac{k(k+1)}{2} \). 3. Бид \( 1 + 2 + \cdots + k + (k+1) = \frac{(k+1)(k+2)}{2} \) гэдгийг батлах хэрэгтэй. Индуктив таамаглалаас эхлэн: \( 1 + 2 + \cdots + k + (k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) \) \( = \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} \) \( = \frac{(k+1)(k+2)}{2} \). Тиймээс индукцийн аргаар энэ мэдэгдэл бүх \( n \geq 1 \)-д хүчинтэй байна. #### 5. Бүтээлчээр баталгаажуулах Бүтээлчээр баталгаажуулах нь объектыг тодорхой бүтээснээр математикийн объект оршин байгааг харуулдаг. Энэ арга нь бүтцийн бус баталгаатай харьцуулахад илүү их ойлголтыг өгдөг. Жишээ: Тэгш анхны тоо байгааг батал: 1. 2 тоог авч үзье. 2. Тодорхойлолтоор бол 2 нь яг хоёр ялгаатай эерэг хуваагчтай тул анхны тоо юм: 1 ба 2. 3. 2 нь 2-оор харагдаж байгаа тул мөн тэгш тоо юм. 4. Тиймээс 2 нь тэгш анхны тоо юм. #### 6. Эсрэг жишээгээр батал. Батлах арга биш боловч эсрэг жишээ өгөх нь дор хаяж нэг тохиолдол бүтэлгүйтсэнийг харуулснаар мэдэгдлийг няцаах хүчирхэг арга юм. Энэ арга нь таамаглал, таамаглалыг хүчингүй болгоход онцгой ач холбогдолтой юм. Жишээ: "Бүх анхны тоонууд сондгой" гэсэн мэдэгдлийг няцаа: 1. 2 тоог авч үзье. 2. Өмнө үзүүлсэнчлэн 2 нь анхны тоо юм. 3. 2 нь сондгой биш, тэгш тоо юм. 4. Тиймээс "Бүх анхны тоонууд сондгой" гэсэн мэдэгдэл худал байна. #### 7. Эсрэгээр батал. Энэ арга нь өгөгдсөн таамаглалын эсрэгээр батална. "Хэрэв P бол Q" гэсэн мэдэгдлийн эсрэг тэсрэг нь "Хэрэв Q биш бол P биш" гэсэн үг юм. Хоёр мэдэгдэл хоёулаа логикийн хувьд тэнцүү тул эсрэг тэсрэгийг батлах нь анхны мэдэгдлийг нотолж байна. Жишээ: "Хэрэв тоо 6-аар харагдахгүй бол 3-аар харагдахгүй" гэдгийг эсрэг тэсрэгээр батал: 1. Эсрэг тэсрэг нь "Хэрэв тоо 3-аар харагдахгүй бол 6-аар харагдахгүй" гэсэн үг юм. 2. \(n \) тоог 3-аар харагдахгүй гэж үзье. 3. Энэ нь \(n = 3k \ байх бүхэл тоо \(k \) байхгүй гэсэн үг юм.