Нэгэн зэрэг тэгшитгэлийг бодох
Нэгэн зэрэг тэгшитгэл буюу тэгшитгэлийн систем нь олон хувьсагчтай тэгшитгэлийн багц юм. Эдгээр тэгшитгэлийг нэгэн зэрэг гэж нэрлэдэг, учир нь тэдгээрийг хамтад нь шийддэг бөгөөд энэ нь шийдэл нь бүх тэгшитгэлийг нэгэн зэрэг хангах ёстой гэсэн үг юм. Нэгэн зэрэг тэгшитгэлийг бодох нь физик, эдийн засаг, инженерчлэл, компьютерийн шинжлэх ухаан зэрэг янз бүрийн салбарт хэрэглэгддэг математикийн үндсэн ур чадвар юм. Энэхүү нийтлэл нь нэгэн зэрэг тэгшитгэлийг бодоход түгээмэл хэрэглэгддэг аргуудын цогц тоймыг өгөх зорилготой юм.
Үндсэн ойлголтууд
Нэгэн зэрэг тэгшитгэлийг бодох аргуудыг судлахаасаа өмнө зарим үндсэн нэр томьёо, ойлголтуудыг ойлгох нь чухал юм.
– Хувьсагч: Үл мэдэгдэх утгуудыг илэрхийлдэг тэмдэгтүүд бөгөөд ихэвчлэн x, y, z гэх мэт үсгээр тэмдэглэгддэг.
– Шугаман тэгшитгэлүүд: Хувьсагчдыг нэгийн зэрэгт өргөж, шугаман хэлбэрээр харуулдаг тэгшитгэлүүд (жишээ нь, \(2x + 3y = 6\)).
– Шугаман бус тэгшитгэлүүд: Нэгээс өөр зэрэгт дэвшүүлсэн хувьсагчдыг хамарсан, хувьсагчдын үржвэр, тригонометрийн функц гэх мэтийг хамарсан тэгшитгэлүүд (жишээ нь, \(x^2 + y^2 = 9\)).
– Тэгшитгэлийн систем: Нэг ижил хувьсагчдын багцыг хуваалцдаг хоёр ба түүнээс дээш тэгшитгэлийн багц.
Шугаман тэгшитгэлийн системийн стандарт жишээг авч үзье:
\[
\эхлэх{тохиолдол}
2x + 3y = 6
4x – y = 5
\төгсгөл{тохиолдол}
\]
Энэ системийн шийдэл нь хоёр тэгшитгэлийг нэгэн зэрэг хангадаг дурын хос ((x, y)) байна.
Зэрэгцээ тэгшитгэлийг бодох аргууд
1. График арга
График арга нь тэгшитгэл бүрийг координатын сүлжээнд зурж, графикууд огтлолцох цэгүүдийг тодорхойлохыг хэлнэ. Огтлолцлын цэгүүд нь тэгшитгэлийн системийн шийдлийг илэрхийлнэ.
Алхам:
1. Тэгшитгэл бүрийг \( y = mx + c \) хэлбэрт хөрвүүл. Энд \( m \) нь налуу, \( c \) нь y-ийн огтлолцол юм.
2. Эдгээр тэгшитгэлээр илэрхийлэгдсэн шугамуудыг график дээр зур.
3. Шугамын огтлолцлын цэг(үүд)-ийг ол.
Жишээ нь:
Тэгшитгэлийн системийг авч үзье:
\[
\эхлэх{тохиолдол}
2x + 3y = 6
4x – y = 5
\төгсгөл{тохиолдол}
\]
Эдгээрийг налуу-огтлолцол хэлбэрт хөрвүүл:
\[
\эхлэх{тохиолдол}
y = -\frac{2}{3}x + 2 \\
y = 4x - 5
\төгсгөл{тохиолдол}
\]
Шийдлийг илэрхийлсэн огтлолцлын цэгийг олохын тулд график дээр шулуунуудыг зур. Энэ жишээнд шийдэл нь \((x, y) = (1.5, 1)\) байна.
2. Орлуулах арга
Орлуулах арга нь нэг хувьсагчийн тэгшитгэлийн аль нэгийг бодож, тэр илэрхийллийг нөгөө тэгшитгэлд орлуулахыг хэлнэ.
Алхам:
1. Нэг хувьсагчийн тэгшитгэлийн нэгийг бод.
2. Энэ илэрхийллийг нөгөө тэгшитгэлд орлуулснаар нэг хувьсагчтай ганц тэгшитгэл гарна.
3. Энэ ганц хувьсагчтай тэгшитгэлийг бод.
4. Хоёр дахь хувьсагчийн утгыг авахын тулд олж авсан утгыг 1-р алхамд олдсон илэрхийлэлд буцааж орлуулна уу.
Жишээ нь:
Системийг авч үзье:
\[
\эхлэх{тохиолдол}
2x + 3y = 6
4x – y = 5
\төгсгөл{тохиолдол}
\]
\(y\)-ийн эхний тэгшитгэлийг бод:
\[
y = 2 – \frac{2}{3}x
\]
Энэ илэрхийллийг хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна уу:
\[
4x – (2 – \frac{2}{3}x) = 5
\]
\( x \)-г хялбарчилж, бодоорой:
\[
4x – 2 + \frac{2}{3}x = 5 \\
\frac{14x}{3} = 7 \\
x = \frac{3}{2}
\]
\( x = \frac{3}{2} \)-г \( y = 2 – \frac{2}{3}x \) болгон буцааж орлуулна уу:
\[
y = 2 – \frac{2}{3} \times \frac{3}{2} = 2 – 1 = 1
\]
Тиймээс шийдэл нь \( (x, y) = \left(\frac{3}{2}, 1\right) \).
3. Устгах арга
Хасах арга нь нэг хувьсагчийг арилгахын тулд тэгшитгэл нэмэх эсвэл хасах үйлдлийг агуулдаг бөгөөд энэ нь үлдсэн хувьсагчийн хувьд бодох боломжийг олгодог.
Алхам:
1. Хувьсагчдын нэгний коэффициентүүд эсрэг байхаар нэг буюу хоёр тэгшитгэлийг тогтмол тоогоор үржүүл.
2. Нэг хувьсагчийг хасахын тулд тэгшитгэлүүдийг нэмэх эсвэл хасах.
3. Үлдсэн хувьсагчдын хувьд үүссэн тэгшитгэлийг бод.
4. Хасагдсан хувьсагчийн утгыг олохын тулд энэ утгыг анхны тэгшитгэлүүдийн аль нэгэнд орлуулна уу.
Жишээ нь:
Системийг авч үзье:
\[
\эхлэх{тохиолдол}
2x + 3y = 6
4x – y = 5
\төгсгөл{тохиолдол}
\]
Хоёр дахь тэгшитгэлийг 3-аар үржүүлье:
\[
4x – y = 5
12x – 3y = 15
\]
Өөрчлөгдсөн хоёр дахь тэгшитгэлийг эхний тэгшитгэлд нэмнэ үү:
\[
2x + 3y + 12x – 3y = 6 + 15
14x = 21 \\
x = \frac{21}{14} = \frac{3}{2}
\]
\( x = \frac{3}{2} \)-г анхны тэгшитгэлүүдийн аль нэгэнд орлуулна уу:
\[
2 \left(\frac{3}{2}\right) + 3y = 6 \\
3 + 3y = 6
3y = 3 \\
y = 1
\]
Тиймээс шийдэл нь \( \left(x, y\right) = \left(\frac{3}{2}, 1\right) \).
4. Матрицын арга (Гауссийн хасалт ба урвуу)
Том системүүдийн хувьд Гауссын арилгах арга эсвэл урвуу матриц ашиглах зэрэг матрицын аргууд илүү үр дүнтэй байж болно.
Гауссын хасалт:
1. Системийг өргөтгөсөн матриц хэлбэрээр бич.
2. Матрицыг мөрийн эшелон хэлбэрт хөрвүүлэхийн тулд мөрийн үйлдлүүдийг ашиглана уу.
3. Шийдлийг олохын тулд буцааж орлуулах.
Жишээ нь:
Систем нь:
\[
\эхлэх{тохиолдол}
2x + 3y = 6
4x – y = 5
\төгсгөл{тохиолдол}
\]
Өргөтгөсөн матриц:
\[
\эхлэх{pmatrix}
2 & 3 & | & 6 \\
4 & -1 & | & 5
\end{pmatrix}
\]
Мөрийн үйлдлүүд нь мөрийн эшелон хэлбэрт шилждэг:
1. \( R2 \leftarrow R2 – 2R1 \):
\[
\эхлэх{pmatrix}
2 & 3 & | & 6 \\
0 & -7 & | & -7
\end{pmatrix}
\]
Буцаан орлуулагч:
\[
-7y = -7 \ нь y = 1 гэсэн үг \\
2x + 3(1) = 6 гэсэн үг 2x = гэсэн үг
