Хероны томъёог ашиглах нь: Гурвалжны талбайг тооцоолох нууцыг тайлах нь
Гурвалжин нь геометрийн хамгийн энгийн хэрнээ хамгийн үндсэн дүрсүүдийн нэг бөгөөд тэдгээрийн шинж чанар нь мянга мянган жилийн турш математикчдыг гайхшруулж ирсэн. Нэг гайхалтай тал нь тэдгээрийн талбайг тооцоолох явдал юм. Олон хүн үндсэн томъёо (суурийн өндөр 1/2)-ийг мэддэг боловч гоёмсог бөгөөд бага мэдэгддэг арга нь гурвалжны өндрийн талаарх мэдлэг шаарддаггүй Хероны томъёог ашигладаг. Энэ нийтлэлд Хероны томъёог гүнзгийрүүлэн судалж, түүний түүх, гарал үүсэл, хэрэглээ, математикийн салбарт ач холбогдлыг судлах болно.
Хероны томъёоны түүх
Хероны томъёог МЭ 1-р зуунд амьдарч байсан Грекийн инженер, математикч Александрийн Баатарын нэрээр нэрлэжээ. Херон гэгддэг Херо нь механик, пневматик, геометр зэрэг янз бүрийн салбарыг хамарсан бүтээл туурвисан эрдэмтэн байв. Түүний математикт оруулсан хувь нэмэр, ялангуяа гурвалжны талбайг зөвхөн талуудын уртыг ашиглан тодорхойлох томъёо өнөөг хүртэл алдаршуулагдсаар байна.
Формула дэлгэгдсэн нь
Хероны томъёо нь гурвалжны талбайг тооцоолох боломжийг олгодог бөгөөд гурван талын уртыг мэдэж байх үед бид үүнийг дараах байдлаар өгнө.
\[ A = \sqrt{s(sa)(sb)(sc)} \]
энд \(s \) нь гурвалжны хагас периметр, \(a \), \(b \), болон \(c \) нь гурвалжны талуудын урт юм. \(s \) хагас периметрийг дараах байдлаар тооцоолно:
\[ s = \frac{a + b + c}{2} \]
Хероны томъёоны гарал үүсэл
Хероны томъёоны гоо үзэсгэлэнг үнэлэхийн тулд түүний гарал үүслийг судлах нь гэгээрүүлэхүйц юм. Уламжлалт аргуудын нэг нь тригонометрийн ижил төстэй байдал болон косинусын хуулийг хэрэглэх явдал юм. Холбогдох алхмуудын хялбаршуулсан хувилбарыг энд оруулав:
1. Косинусын хууль: \(a\), \(b\), болон \(c\) талуудтай гурвалжинд хэрэглэх косинусын хуулиас эхэлье:
\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cdot \cos(C) \]
2. Тригонометрийн аргаар талбайг тооцоолох: Гурвалжны талбайг синусыг ашиглан дараах томъёог ашиглан тооцоолж болно:
\[ A = \frac{1}{2}ab \cdot \sin(C) \]
3. Косинус ба синусын хамаарал: Дээрх ижил төстэй байдал болон Пифагорын тригонометрийн ижил төстэй байдлаас бид \(\sin(C)\)-г гурвалжны талуудаар илэрхийлж болно. Энэ нь тэгшитгэлийг хагас периметрийн хувьд хялбаршуулдаг туслах хувьсагчдыг оролцуулахад хүргэдэг бөгөөд хагас периметр ба хажуугийн уртын зөрүүг илэрхийлдэг.
4. Нэгтгэх ба Хялбаршуулах: Квадрат болон орлуулах алхмуудын дараа эцсийн хялбаршуулсан илэрхийлэл нь квадрат язгуурын доор байрлах Хероны бүрэлдэхүүн хэсэг рүү хөтөлдөг:
\[ A = \sqrt{s(sa)(sb)(sc)} \]
Хэрэглээний жишээ
Жишээ 1: Энгийн тооцоо
Талуудын урт нь 7, 8, 9 нэгжтэй гурвалжинг авч үзье.
Хагас периметрийг тооцоол:
\[ s = \frac{7 + 8 + 9}{2} = 12 \]
Хероны томъёог хэрэглэнэ үү:
\[ A = \sqrt{12(12-7)(12-8)(12-9)} = \sqrt{12 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{720} = 26.83 \]
Тиймээс талбай нь ойролцоогоор 26.83 хавтгай дөрвөлжин нэгж юм.
Жишээ 2: Практик бодлого
Гурвалжин газрын талбай нь 50м, 60м, 70м хэмжээтэй талуудтай гэж үзье. Хероны томъёог ашиглан талбайг нь тооцоолно уу:
Хагас периметрийг тооцоол:
\[ s = \frac{50 + 60 + 70}{2} = 90 \]
Хероны томъёог хэрэглэнэ үү:
\[ A = \sqrt{90(90-50)(90-60)(90-70)} = \sqrt{90 \cdot 40 \cdot 30 \cdot 20} = \sqrt{2160000} = 1469.69 \]
Тиймээс талбайн талбай нь ойролцоогоор 1469.69 хавтгай дөрвөлжин метр юм.
Хероны томъёог ашиглахын давуу талууд
1. Өндөр шаардлагагүй: Суурь болон өндрийг шаарддаг уламжлалт аргаас ялгаатай нь Хероны томъёо нь зөвхөн хажуугийн уртыг шаарддаг.
2. Олон талт байдал: Хурц, мохоо, тэгш өнцөгт гурвалжингийн бүх төрөлд хамаарна.
3. Хялбаршуулсан байдал: Өндөрийг тооцоолоход хэцүү бодит хэрэглээнд зөвхөн хажуугийн уртыг мэдэх нь асуудлыг мэдэгдэхүйц хялбарчилдаг.
Практик хэрэглээ
1. Газарзүй ба зураг зүй: Гурвалжин хэлбэртэй газрын талбай эсвэл жигд бус хэлбэртэй судалгааны өгөгдлийн бүсийн талбайг тооцоолох.
2. Инженерчлэл: Гурвалжин бүрэлдэхүүн хэсгүүд оролцдог янз бүрийн бүтцийн болон механик инженерчлэлийн асуудлуудад чухал ач холбогдолтой.
3. Компьютерийн график: Тор үүсгэх, дүрслэх, геометрийн тооцооллыг оновчтой болгох алгоритмуудад ашиглагддаг.
Болзошгүй хязгаарлалт
Хероны томъёо асар хүчтэй боловч зарим хязгаарлалттай. Жишээлбэл:
– Тоон тогтвортой байдал: Маш том эсвэл маш жижиг талуудын урттай гурвалжны хувьд тооцоолол нь хөвөгч цэгийн нарийвчлалтай холбоотой асуудалтай тулгарч магадгүй.
– Гурвалжин бус хэлбэрийн нарийн төвөгтэй байдал: Хероны томъёог гурвалжинд зориулан тусгайлан бүтээсэн бөгөөд бусад олон өнцөгтүүдэд өөрчлөлтгүйгээр шууд хэрэглэхгүй.
Дүгнэлт
Хероны томъёо нь математикийн дэгжин байдлын гэрч бөгөөд нарийн төвөгтэй мэт санагдах бодлогуудыг энгийн овсгоо самбаагаар хэрхэн шийдэж болохыг харуулж байна. Та геометрийг судалж буй оюутан, бодит ертөнцийн бодлогуудыг шийдэж буй инженер эсвэл газрын зураг зүйч байсан ч Хероны томъёо нь зөвхөн талуудын уртыг ашиглан аливаа гурвалжны талбайг тооцоолох найдвартай, үр ашигтай аргыг санал болгодог. Үүний түүхэн үндэс, практик ач холбогдол нь үүнийг геометрийн хэрэгслийн жинхэнэ эрдэнэс болгодог. Хероны томъёог эзэмшсэнээр та зөвхөн геометрийн таавруудыг шийдээд зогсохгүй математикийн сэтгэлгээний мөнхийн гоо үзэсгэлэнг үнэлэх болно.
