Гурвалжны талбайг тооцоолох нь: Гүнзгий гарын авлага
Гурвалжин нь геометрийн хамгийн энгийн бөгөөд хамгийн үндсэн дүрсүүдийн нэг боловч тэдгээрийн талбайг тооцоолох нь олон төрлийн сонирхолтой бэрхшээлийг дагуулж болзошгүй юм. Үндсэн математикаас эхлээд дэвшилтэт инженерчлэл хүртэлх хэрэглээний хувьд гурвалжны талбайг хэрхэн тооцоолохыг ойлгох нь маш их хэрэгтэй байж болно. Энэ нийтлэлд янз бүрийн төрлийн гурвалжны талбайг олох олон аргыг авч үзэх бөгөөд сонгодог болон шинэлэг аргуудыг харуулах болно. Та оюутан, мэргэжлийн хүн эсвэл математикийн хорхойтон байсан ч энэхүү гарын авлага нь энэхүү чухал сэдвийн талаар цогц ойлголттой болоход тань туслах зорилготой юм.
Томъёоны үндэс: Суурь ба өндөр
Гурвалжны талбайг тооцоолох хамгийн энгийн арга бол суурийн өндрийн томъёог ашиглах явдал юм:
\[ \text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height} \]
Энэ томъёо нь суурийн урт болон сууриас эсрэг орой хүртэлх перпендикуляр өндрийг (өндөр) мэдэж байгаа тохиолдолд бүх төрлийн гурвалжинд хамаарна.
Жишээ нь:
Суурь нь 8 нэгж, өндөр нь 5 нэгж бүхий гурвалжинг авч үзье. Талбайг дараах байдлаар тооцоолно.
\[ \text{Area} = \frac{1}{2} \times 8 \times 5 = 20 \, \text{квадрат нэгж} \]
Хероны томъёо
Хероны томъёо нь гурвалжны гурван талын уртыг мэдэж байгаа ч өндрийг нь мэдэхгүй үед онцгой ашигтай байдаг. Энэ арга нь гурвалжны хагас периметр буюу периметрийг тооцоолохыг шаарддаг.
\[ s = \frac{a + b + c}{2} \]
\[ \text{Area} = \sqrt{s(s – a)(s – b)(s – c)} \]
энд \(a\), \(b\), болон \(c\) нь талуудын урт юм.
Жишээ нь:
5, 6, 7 талуудтай гурвалжны хувьд:
\[ s = \frac{5 + 6 + 7}{2} = 9 \]
\[ \текст{Талбай} = \sqrt{9 (9 – 5)(9 – 6)(9 – 7)} \]
\[ \текст{Талбай} = \кв.м² {9 \удаа 4 \удаа 3 \удаа 2}}
\[ \текст{Талбай} = \кв.м216} \апрокс 14.7 \, \текст{квадрат нэгж} \]
Тригонометрийг ашиглах нь
Зарим тохиолдолд та гурвалжны хоёр тал болон тэдгээрийн хоорондох өнцөгийг (хоёр талын хоорондох өнцөг) мэдэж болно. Ийм тохиолдолд талбайг дараах тригонометрийн томъёогоор тооцоолж болно:
\[ \text{Area} = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(C) \]
энд \(a\) ба \(b\) нь талууд, \(C\) нь оруулсан өнцөг юм.
Жишээ нь:
Хэрэв гурвалжин нь 7 ба 9 нэгж талуудтай бөгөөд түүний доторх өнцөг нь 30° байвал:
\[ \text{Area} = \frac{1}{2} \times 7 \times 9 \times \sin(30^\circ) \]
\[ \text{Area} = \frac{1}{2} \times 7 \times 9 \times 0.5 \]
\[ \текст{Талбай} = 15.75 \, \текст{квадрат нэгж} \]
Координатын геометр
Гурвалжны талбайг олох өөр нэг арга, ялангуяа аналитик геометрт ашигтай байдаг нь түүний оройн координатыг мэдэх явдал юм. Талбайг тодорхойлогч томъёог ашиглан тооцоолж болно:
\[ \text{Area} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 – y_3) + x_2(y_3 – y_1) + x_3(y_1 – y_2) \right| \]
энд \((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\), болон \((x_3, y_3)\) нь оройнуудын координатууд юм.
Жишээ нь:
Хэрэв гурвалжны оройнууд нь (1, 2), (4, 6), болон (7, 4) цэгүүд дээр байвал:
\[ \text{Area} = \frac{1}{2} \left| 1(6 – 4) + 4(4 – 2) + 7(2 – 6) \right| \]
\[ \text{Area} = \frac{1}{2} \left| 1(2) + 4(2) + 7(-4) \right| \]
\[ \text{Area} = \frac{1}{2} \left| 2 + 8 – 28 \right| }
\[ \text{Area} = \frac{1}{2} \left| -18 \right| \]
\[ \текст{Талбай} = 9 \, \текст{квадрат нэгж} \]
Тусгай хэрэг
Тэгш талт гурвалжин
Бүх гурван тал нь тэнцүү тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд талбайг дараах томъёогоор тооцоолж болно.
\[ \text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \]
энд \(a\) нь хажуугийн урт юм.
Жишээ нь:
Талуудын урт нь 6 нэгжтэй тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд:
\[ \text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 6^2 \]
\[ \text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 36 \]
\[ \text{Tare} = 9 \sqrt{3} \approx 15.59 \, \text{квадрат нэгж} \]
Баруун гурвалжин
Тэгш өнцөгт гурвалжинд суурь ба өндөр нь гурвалжны хоёр хөлтэй давхцдаг тул талбайг хялбархан тооцоолж болно:
\[ \text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{leg}_1 \times \text{leg}_2 \]
Жишээ нь:
3 ба 4 нэгжийн хөлтэй тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд:
\[ \text{Area} = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \, \text{квадрат нэгж} \]
Дүгнэлт
Гурвалжны талбайг тооцоолохдоо өгөгдсөн мэдээллийн өөр өөр багцад тохирсон янз бүрийн техникийг ашиглан хийж болно. Сонгодог суурийн өндрийн томъёоноос эхлээд Хероны томъёо, тригонометр, координатын геометрийг хамарсан аргууд хүртэл олон сонголт бий. Эдгээр аргуудыг ойлгох нь зөвхөн геометрийн зарчмуудын талаарх ойлголтыг бататгаад зогсохгүй бодит ертөнцийн асуудлыг шийдвэрлэх практик хэрэгслийг өгдөг. Та газар төлөвлөх, бүтэц зохион бүтээх эсвэл зүгээр л зугаа цэнгэлийн математикт оролцож байгаа эсэхээс үл хамааран эдгээр техникүүд зайлшгүй шаардлагатай. Энэхүү мэдлэгээр зэвсэглэсэн та одоо гурвалжны талбайтай холбоотой асуудлыг итгэлтэй, нарийвчлалтай шийдвэрлэхэд сайн бэлтгэгдсэн байна.
