വെക്‌ടറുകൾ സാധാരണ സംഖ്യകളല്ല, അതിനാൽ സാധാരണ ഗുണനം അവയിൽ നേരിട്ട് പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയില്ല. നമ്മൾ വെക്‌ടർ ഗുണനം ഉപയോഗിക്കണം. രണ്ട് തരം വെക്‌ടർ ഗുണനങ്ങളുണ്ട്: ഡോട്ട് ഗുണനം, ക്രോസ് ഗുണനം. ഡോട്ട് ഗുണനം ഒരു സ്കെയിലർ അളവ് ഉൽ‌പാദിപ്പിക്കുന്നതിനാൽ ഇതിനെ സ്കെയിലർ ഗുണനം എന്നും വിളിക്കുന്നു. ക്രോസ് ഗുണനം ഒരു വെക്‌ടർ അളവ് ഉൽ‌പാദിപ്പിക്കുന്നതിനാൽ ഇതിനെ വെക്‌ടർ ഗുണനം എന്നും വിളിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, രണ്ട് വെക്‌ടറുകൾ ഉണ്ട്, അതായത് A ദാൻ B. വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഗുണനം A ദാൻ B പ്രസ്താവിച്ചത് എബി കെഅരീന ഡോട്ട് നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിക്കുന്നതിനാൽ, ഈ ഗുണനത്തെ വിളിക്കുന്നു ഡോട്ട് പ്രോഡക്റ്റ്. വെക്റ്റർ ഗുണനം A ദാൻ B പ്രസ്താവിച്ചത് A x ബി. കാരണം അത് നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു x, അപ്പോൾ ഈ ഗുണനത്തെ ക്രോസ് ഗുണനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
ഉദാഹരണത്തിന്, വെക്റ്റർ നൽകിയാൽ A ദാൻ B താഴെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ. വെക്റ്ററുകൾക്കിടയിലുള്ള ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം A ദാൻ B എഴുതിയത് എബി (A പോയിന്റ് B).
വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം നിർവചിക്കാൻ A ദാൻ B (എബി), ചിത്രീകരിച്ച വെക്റ്റർ A വെക്റ്ററുകളും y എഴുതിയത്ഒരു കോൺ രൂപപ്പെടുത്തുന്നത് θ. അടുത്തതായി നമ്മൾ വെക്റ്ററിന്റെ പ്രൊജക്ഷൻ വരയ്ക്കുന്നു. B വെക്റ്ററിന്റെ ദിശയിലേക്ക് Aഈ പ്രൊജക്ഷൻ വെക്റ്ററിന്റെ ഒരു ഘടകമാണ്. B വെക്റ്ററിന് സമാന്തരമായി സ്ഥിതിചെയ്യുന്നത് A, ഇത് അതേ വലുപ്പമാണ് B cos θ.
അങ്ങനെ, നമ്മൾ നിർവചിക്കുന്നത് എബി ഒരു വലിയ വെക്‌ടറായി A വെക്റ്റർ ഘടകങ്ങൾ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ B ഇത് സമാന്തരമാണ് Aഗണിതശാസ്ത്രപരമായി നമുക്ക് ഇത് ഇങ്ങനെ എഴുതാം:
AB cos θ ഒരു സാധാരണ സംഖ്യയാണ് (സ്കെയിലർ). അതിനാൽ, ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നത്തെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം എന്നും വിളിക്കുന്നു. വെക്റ്ററുകൾക്കിടയിലുള്ള ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നമാണെങ്കിൽ എന്തുചെയ്യും? A ദാൻ B വിപരീതമായി ബി.എ ? നിർവചിക്കുന്നതിന് മുമ്പ് ബി.എ, ആദ്യം നമ്മൾ വെക്റ്ററിന്റെ പ്രൊജക്ഷൻ വരയ്ക്കുന്നു A വെക്റ്ററുകളിലേക്ക് ബി (താഴെയുള്ള ചിത്രം കാണുക).
ഈ ചിത്രത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ, നമുക്ക് നിർവചിക്കാം ബി.എ ഒരു വലിയ വെക്‌ടറായി B വെക്റ്റർ ഘടകങ്ങൾ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ A ഇത് സമാന്തരമാണ് Bഗണിതശാസ്ത്രപരമായി നമുക്ക് ഇത് ഇങ്ങനെ എഴുതാം:
ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്ന ഫലം എബി = AB cos θ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഫലവും ബി.എ = BA cos θകാരണം AB cos θ = BA cos θ, അപ്പോൾ അത് ബാധകമാണ് എബി = ബി.എ
ഡോട്ട് ഗുണനത്തെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾ അറിഞ്ഞിരിക്കേണ്ട ചില കാര്യങ്ങൾ:
1. ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് നിയമം പാലിക്കുന്നു.
എബി = ബിഎ
2. ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം വിതരണ നിയമം പാലിക്കുന്നു.
എ. (ബി + സി) = എബി + എസി
3. A , B എന്നീ വെക്‌ടറുകൾ പരസ്പരം ലംബമാണെങ്കിൽ, AB എന്ന ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം = 0
വെക്റ്റർ എപ്പോൾ A ദാൻ B പരസ്പരം ലംബമായി, അപ്പോൾ രൂപം കൊള്ളുന്ന കോൺ 90 ആണ്oകോസ് 90o = 0. അങ്ങനെ: എബി = AB cos ടെറ്റ = AB cos 90o = 0. മറുവശത്ത്, ബി.എ = BA cos ടെറ്റ = BA cos 90o = 0
4. വെക്‌ടർ A യും വെക്‌ടർ B യും ഒരേ ദിശയിലാണെങ്കിൽ , AB = AB cos 0 o = AB
വെക്റ്റർ എപ്പോൾ A ദാൻ B അതേ ദിശയിൽ, അപ്പോൾ രൂപം കൊള്ളുന്ന കോൺ 0 ആണ്oഅതായത് 0 = 1. അങ്ങനെ, എബി = AB cos ടെറ്റ = AB cos 0o = AB. വിപരീതമായി ബി.എ = BA cos ടെറ്റ = BA cos 0o = BA
(നിങ്ങൾ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാകരുത് AB ദാൻ BAവലുത് AB = വലുത് BAഉദാഹരണത്തിന്, വെക്റ്ററിന്റെ കാന്തിമാനം A = 2. വെക്റ്ററിന്റെ കാന്തിമാനം B = 3. പിന്നെ എബി = 2.3 = 6; ഇത് സമാനമാണ് ബി.എ = 3.2 = 6.
5. ഒരേ ദിശയിലുള്ള രണ്ട് വെക്‌ടറുകൾക്കുള്ള മറ്റൊരു വ്യവസ്ഥ, A = B ആണെങ്കിൽ നമുക്ക് AA = A 2 അല്ലെങ്കിൽ BB = B 2 ലഭിക്കും .
6. A , B എന്നീ വെക്‌ടറുകൾ വിപരീത ദിശകളിലാണെങ്കിൽ (രണ്ട് വെക്‌ടറുകൾ വിപരീത ദിശകളിലായിരിക്കുമ്പോൾ, രൂപം കൊള്ളുന്ന കോൺ 180º ആണ്) , അപ്പോൾ ഗുണനത്തിന്റെ ഫലം AB = AB cos 180º = AB (-1) = -AB.
കോസ് 180º = -1.
പ്രശ്ന ഉദാഹരണങ്ങൾ:
ഒരു വെക്‌ടർ A യുടെ കാന്തിമാനം 4 യൂണിറ്റും വെക്‌ടർ B യുടെ കാന്തിമാനം 3 യൂണിറ്റുമാണ്. രണ്ട് വെക്‌ടറുകൾ രൂപപ്പെടുത്തുന്ന കോണുകൾ 60º, 90º, 180º ആണെങ്കിൽ രണ്ട് വെക്‌ടറുകളുടെയും ഡോട്ട് പ്രോഡക്‌ട് നിർണ്ണയിക്കുക.
ചർച്ച
AB = BA ആയതിനാൽ , നമുക്ക് ഏതെങ്കിലും ഒന്ന് ഉപയോഗിക്കാമോ എന്ന് തിരഞ്ഞെടുക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, നമ്മൾ AB ഉപയോഗിക്കുന്നു
AB = AB കോസ് തീറ്റ
A യുടെ വലിപ്പം = 4 യൂണിറ്റുകളും B യുടെ വലിപ്പം = 3 യൂണിറ്റുകളും.
